第四章　必刷小题8　解三角形

成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期必刷小题8　解三角形一、单项选择题1．(2023·重庆模拟)在△ABC中，sinA＝，AC＝，B＝45°，则BC等于(　　)A．2B.C．2D．2答案　D解析　由正弦定理知，＝，∴BC＝＝＝2.2．(2023·南昌模拟)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝3，c＝2，△ABC的面积为2sinB，则cosA等于(　　)A.B.C.D.答案　D解析　因为b＝3，c＝2，△ABC的面积为2sinB，所以S△ABC＝acsinB＝2sinB，所以a＝2，由余弦定理得cosA＝＝.3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若asinA＋b(sinB＋sinA)＝csinC，则C等于(　　)A．30°B．60°C．120°D．150°答案　D解析　因为asinA＋b(sinB＋sinA)＝csinC，所以由正弦定理得a2＋b(b＋a)＝c2，化简得a2＋b2－c2＝－ab，所以由余弦定理得cosC＝＝＝－，因为C∈(0，π)，所以C＝150°.4．(2023·郑州模拟)2021年11月，郑州二七罢工纪念塔入选全国职工爱国主义教育基地名单．某数学建模小组为测量塔的高度，获得了以下数据：甲同学在二七广场A地测得纪念塔顶D的仰角为45°，乙同学在二七广场B地测得纪念塔顶D的仰角为30°，塔底为C(A，B，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期C在同一水平面上，DC⊥平面ABC)，测得AB＝63m，∠ACB＝30°，则纪念塔的高CD为(　　)A．40mB．63mC．40mD．63m答案　B解析　如图所示，∠DAC＝45°，∠CBD＝30°，∠ACB＝30°，设塔高CD为t，因为DC⊥平面ABC，所以DC⊥CA，DC⊥CB，所以AC＝t，BC＝t，又AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB，即632＝t2＋3t2－2×t×t×，解得t＝63m.5．(2022·南宁模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝2，b2＋c2＝a2＋bc，则△ABC外接圆的面积是(　　)A.B.C．2πD．4π答案　B解析　因为b2＋c2＝a2＋bc，所以b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理得cosA＝＝，所以sinA＝，设△ABC外接圆的半径为R，由正弦定理得2R＝＝，所以R＝，所以△ABC外接圆的面积是πR2＝.6．设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，tanA＝，且B为钝角．则sinA＋sinC的取值范围是(　　)A.B.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期C.D.答案　A解析　由tanA＝以及正弦定理得＝＝，所以sinB＝cosA，即sinB＝sin，又B为钝角，所以＋A∈，故B＝＋A，C＝π－(A＋B)＝－2A>0⇒A∈，于是sinA＋sinC＝sinA＋sin＝sinA＋cos2A＝－2sin2A＋sinA＋1＝－22＋，因为A∈，所以0<sinA<，由此<－22＋≤，即sinA＋sinC的取值范围是.7．(2022·洛阳模拟)已知在△ABC中，AB＝5，AC＝4，则当函数f(A)＝sin＋cos－cos2A取得最大值时，BC等于(　　)A．4B.C.D．2答案　B解析　f(A)＝2－cos2A＝2sin－cos2A＝2cosA－(2cos2A－1)＝－2cos2A＋2cosA＋1，当cosA＝，即A＝时，f(A)max＝，∴BC2＝52＋42－2×5×4×＝21，∴BC＝.8．(2022·吉安模拟)在△ABC中，AB＝BC，点D是边AB的中点，△ABC的面积为，则线段CD的取值范围是(　　)A．(0,1)B．(1，＋∞)C.D.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期答案　C解析　设AB＝BC＝t，CD＝m，所以S△ABC＝t2sinB＝，即t2sinB＝，①在△BCD中，由余弦定理得m2＝t2＋2－2t··cosB，即t2cosB＝t2－m2，②由①②得t4＝2＋，即9t4－40m2t2＋16m4＋＝0，令t2＝x>0，设g(x)＝9x2－40m2x＋16m4＋，则方程g(x)＝0在(0，＋∞)上有解，所以g＝92－40m2×＋16m4＋≤0，解得m4≥，即m≥.二、多项选择题9．(2022·福州模拟)下列对△ABC解的个数的判断中正确的是(　　)A．a＝7，b＝14，A＝30°，有一解B．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解C．a＝，b＝，A＝60°，有一解D．a＝6，b＝9，A＝45°，有两解答案　AB解析　选项A，bsinA＝14sin30°＝7＝a，则三角形有一解，判断正确；选项B，bsinA＝25sin150°＝，则a>b>bsinA，则三角形有一解，判断正确；选项C，bsinA＝sin60°＝，则a<bsinA，则三角形无解，判断错误；选项D，bsinA＝9sin45°＝，则a<bsinA，则三角形无解，判断错误．10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＋＝0，则△ABC的形状为(　　)A．直角三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形答案　AD解析　＋＝0，变形得＝，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期结合余弦定理得＝，因为c≠0，所以sinBcosB＝sinAcosA，即sin2A＝sin2B.因为A，B∈(0，π)，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．11．(2023·宁波模拟)已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ccosA＋asinC＝0，若角A的角平分线交BC于D点，且AD＝1，则下列结论正确的是(　　)A．A＝B．A＝C．b＋c的最小值为2D．b＋c的最小值为4答案　AD解析　由ccosA＋asinC＝0及正弦定理，得sinCcosA＋sinAsinC＝0，因为C∈(0，π)，sinC≠0，所以cosA＋sinA＝0，即tanA＝－，因为A∈(0，π)，所以A＝，故A正确；S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，所以bc·sin ＝c·1·sin ＋b·1·sin ，所以bc＝b＋c，即＋＝1，所以b＋c＝(b＋c)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当b＝c＝2时，等号成立，所以b＋c的最小值为4，故D正确．12．(2023·南昌模拟)已知O是△ABC的外心，若··＋·＝2m2，且2sinB＋sinC＝，则实数m可取的值为(　　)A.B.C.D．1答案　AB解析　设△ABC的外接圆半径为R，因为O是△ABC的外心，故可得|AO|＝R，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期且·＝||2＝c2，·＝||2＝b2，故·＋·＝2m2，即|AB|·|AC|＋|AB|·|AC|＝2mR2，也即bc＝2mR2，则m＝，又2sinB＋sinC＝，由正弦定理可得2b＋c＝2R，则R2＝，故m＝＝≤＝，当且仅当＝，即c＝2b时，m取得最大值，故结合选项知m可取的值为或.三、填空题13．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足c＝，tanAtanB＝＋tanA＋tanB，则a2＋b2的取值范围为________．答案　(5,6]解析　方法一　由tanAtanB＝＋tanA＋tanB，得tanA＋tanB＝(tanAtanB－1)，则＝－，即tan(A＋B)＝－，∴tanC＝.又0<C<，∴C＝，∴A＋B＝.又∵0<A<，0<B<，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期∴<A<.由正弦定理，得＝＝＝＝2，∴a2＋b2＝(2sinA)2＋(2sinB)2＝4＝4＝4＝4.又∵<A<，∴<2A－<，∴<sin≤1，∴5<a2＋b2≤6，即a2＋b2的取值范围为(5,6]．方法二　由tanAtanB＝＋tanA＋tanB，得tanA＋tanB＝(tanAtanB－1)，则＝－，即tan(A＋B)＝－，∴tanC＝.又0<C<，∴C＝.设A＝－α，B＝＋α.∵0<－α<，0<＋α<，∴－<α<.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 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