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江苏省盐城中学2023-2024学年高二数学上学期8月月考试题(Word版附解析)

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高二年级基础性学情检测数学试卷一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.一条直线过点和,则该直线的倾斜角为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据倾斜角与斜率的关系可求得答案【详解】设直线的倾斜角为(),因为直线过点和,且斜率存在,所以,因为,所以,故选:B2.已知复数(为虚数单位),则复数的虚部为()A.2B.C.D.【答案】A【解析】【分析】复数的乘法运算求解即可.【详解】,即复数的虚部为2,故选:.3.已知过点和点的直线为l1,.若,则的值为()A.B.C.0D.8【答案】A【解析】 【分析】由平行、垂直直线的斜率关系得出的值.【详解】因为,所以,解得,又,所以,解得.所以.故选:A.4.直线按向量平移后得直线,设直线与之间的距离为,则的范围是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据直线的方向向量与的位置关系考虑.【详解】当直线的方向向量与共线时,这时候直线与重合,距离为最短,;当直线的方向向量与垂直时,这时候直线与平行且距离为最长,.故选:B.5.苏格兰数学家纳皮尔发明了对数,在此基础上,布里格斯制作了第一个常用对数表,对数是简化大数运算的有效工具.若一个正整数n的32次方仍是一个20位整数m,则根据下表数据,可知()x237A.3B.4C.6D.7【答案】B【解析】【分析】由题可得,同取以10为底的对数再化简得,查对数表进行估值运算即可求解.【详解】因为正整数n的32次方是一个20位整数m,所以,将以上不等式同时取以10为底的对数得,所以,即,而, ,因为,由选项知故选:B6.若直线y=x+b与曲线有公共点,则b的取值范围是A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】试题分析:如图所示:曲线即(x-2)2+(y-3)2=4(-1≤y≤3),表示以A(2,3)为圆心,以2为半径的一个半圆,直线与圆相切时,圆心到直线y=x+b的距离等于半径2,可得=2,∴b=1+2,b=1-2当直线过点(4,3)时,直线与曲线有两个公共点,此时b=-1结合图象可得≤b≤3故答案为C7.在三棱锥中,是等腰直角三角形,,且平面,则三棱锥的外接球的表面积为() A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先证明出,判断出AP为球的直径,求出AP,即可得到半径,求出表面积.【详解】因为是等腰直角三角形,,所以.因为平面平面,所以,所以AP为球的直径,且,所以三棱锥的外接球的半径为2,所以三棱锥的外接球的表面积为.故选:.8.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,他对圆锥曲线有深刻系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是:已知动点M与两定点A,B的距离之比为λ(λ>0,λ≠1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.下面我们来研究与此相关的一个问题,已知圆O:x2+y2=1上的动点M和定点A,B(1,1),则2|MA|+|MB|的最小值为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】讨论点M在x轴上与不在x轴上两种情况,若点M不在x轴上,构造点K(-2,0),可以根据三角形的相似性得到,进而得到2|MA|+|MB|=|MB|+|MK|,最后根据三点共线求出答案.【详解】①当点M在x轴上时,点M的坐标为(-1,0)或(1,0). 若点M的坐标为(-1,0),则2|MA|+|MB|=2×+;若点M的坐标为(1,0),则2|MA|+|MB|=2×+.②当点M不在x轴上时,取点K(-2,0),如图,连接OM,MK,因为|OM|=1,|OA|=,|OK|=2,所以.因为∠MOK=∠AOM,所以△MOK∽△AOM,则,所以|MK|=2|MA|,则2|MA|+|MB|=|MB|+|MK|.易知|MB|+|MK|≥|BK|,所以|MB|+|MK|的最小值为|BK|.因为B(1,1),K(-2,0),所以(2|MA|+|MB|)min=|BK|=.又<1+<4,所以2|MA|+|MB|的最小值为.故选:C二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分.部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列说法正确的是()A.直线的倾斜角的取值范围是B.“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C.圆上有且仅有3个点到直线:的距离都等于1D.经过平面内任意相异两点,的直线都可以用方程表示.【答案】ACD【解析】【分析】对A:根据可求倾斜角的取值范围;对B:根据两直线垂直的条件求出的值即可判断;对C:求出圆心到直线的距离,可以找到到直线的距离为1的圆上的点只有3个;对D:对斜率为0、斜率不存在特殊情况讨论可以确定所求直线均可用表示.【详解】对A:直线的倾斜角为,则,因为,所以,故A正确.对B:当时,直线与直线斜率分别为,斜率之积为,故两直线相互垂直,所以充分性成立,若“直线与直线互相垂直”,则,故或,所以得不到,故必要性不成立,故B错误.对C:圆心到直线的距离,圆的半径,作交圆于,则到直线的距离为1,过作交圆于,则到直线的距离为1,圆上不存在其它的点到直线的距离为1,故C正确.对D:经过任意两个不同的点的直线: 当斜率等于0时,,方程为,能用方程表示;当斜率不存在时,,方程为,能用方程表示;当斜率不为0且斜率存在时,直线方程为也能用此方程表示,故D正确;故选:ACD.10.已知实数满足曲线的方程,则下列选项正确的是()A.的最大值是B.的最大值是C.的最小值是D.过点作曲线的切线,则切线方程为【答案】BD【解析】【分析】由表示圆上的点到定点的距离的平方,可判定A错误;由表示圆上的点与点的斜率,设,结合点到直线的距离公式,列出不等式,可判定B正确;由表示圆上任意一点到直线的距离的倍,进而可判定C错误;根据点在圆上,结合圆的切线的性质,可判定D正确.【详解】由圆可化为,可得圆心,半径为,对于A中,由表示圆上的点到定点的距离的平方,所以它的最大值为,所以A错误;对于B中,表示圆上的点与点的斜率,设,即,由圆心到直线的距离,解得,所以的最大值为,所以B正确;对于C中,由表示圆上任意一点到直线的距离的倍, 圆心到直线的距离,所以其最小值为,所以C错误;对于D中,因为点满足圆的方程,即点在圆上,则点与圆心连线的斜率为,根据圆的性质,可得过点作圆的切线的斜率为,所以切线方程为,即,所以D正确.故选:BD.11.已知动直线:和:,是两直线的交点,、是两直线和分别过的定点,下列说法正确的是()A.点的坐标为B.C.的最大值为10D.的轨迹方程为【答案】BC【解析】【分析】根据直线方程求出定点的坐标,判断A,证明直线垂直,判断B,再结合判断C,D.【详解】直线的方程可化为,所以直线过定点,直线的方程可化为,所以直线过定点,所以点的坐标为,点的坐标为,所以A错误,由已知,所以直线与直线垂直,即,B正确,因为,所以,故, 所以,当且仅当时等号成立,C正确;因为,故,设点的坐标为,则,化简可得,又点不是直线的交点,点在圆上,故点的轨迹为圆除去点,D错误;故选:BC.12.设中角,,所对应的边长度分别为,,,满足,则以下说法中正确的有()A.为钝角三角形B.若确定,则的面积确定C.D.【答案】BCD【解析】【分析】利用给定条件结合三角形内角和定理、诱导公式、和角的正弦公式求出,再逐项分析即可作答.【详解】在中,因,令,则,, 显然,若,即,因,,则,有,同理,,,矛盾,于是得,即角A,B,C都为锐角,A不正确;,即有,亦即:,显然,都小于0,否则,矛盾,则,即,而,解得,,于是得,,C正确;从而有,,,因此,的内角,,是定值,若确定,即确定,其面积确定,B正确;,D正确.故选:BCD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.设集合,,若,则实数________.【答案】或4##4或-2【解析】【分析】化简集合A、集合B,再结合,确定直线与平行或直线过点,最后求实数a值.【详解】集合A表示直线,即上的点,但除去点,集合B表示直线上的点, 当时,直线与平行或直线过点,所以或,解得或.故答案:或414.袋子中有5个大小质地完全相同的球,其中2个红球、3个黄球,从中不放回地依次随机摸出2个球,则两次都摸到红球的概率是______.【答案】【解析】【分析】利用古典概型的概率公式求解即可【详解】解:由题意可得所求概率为,故答案为:15.已知圆:,圆:,M,N分别为圆和圆上的动点,P为直线l:上的动点,则的最小值为___________【答案】##【解析】【分析】利用配方法求出圆的圆心坐标和半径,利用圆和直线的对称性,结合两圆位置关系进行转化求解即可.【详解】解:圆的标准方程为,圆,则圆心坐标,半径为1,圆心坐标,半径为2,设关于对称的点的坐标为.所以圆关于对称的点的坐标为圆,半径为1,由对称性知问题转化为到,的距离之和的最小值, 由图象知当,,三点共线时,的距离最小,此时最小值为,故答案为:16.已知函数的图象关于对称,且对,,当且时,恒成立,若对任意的恒成立,则实数的取值范围为________.【答案】【解析】【分析】根据函数的图象关于对称,得到是偶函数,再根据且时,恒成立,得到在上递减,在上递增,将对任意的恒成立,转化为对任意的恒成立求解.【详解】解:因为函数的图象关于对称,所以函数的图象关于对称,所以是偶函数,又因为,当且时,恒成立, 所以在上递减,则在上递增,因为对任意的恒成立,所以对任意的恒成立,所以对任意的恒成立,当时,对任意的恒成立,当时,对任意的恒成立,令,则,当且仅当,即时,等号成立,所以,即,则实数的取值范围为,故答案为:四、解答题:本题共6小题,17题10分,其余每小题12分共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知直线.(1)当直线l在x轴上的截距是它在y上的截距3倍时,求实数a的值:(2)当直线l不通过第四象限时,求实数a的取值范围.【答案】(1)或(2)【解析】【分析】(1)先求出且,再求出直线l在x轴上的截距,在y上的截距,列出方程,求出a的值;(2)考虑直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况,列出不等式组,求出实数a取值范围.【小问1详解】 由条件知,且,在直线l的方程中,令得,令得∴,解得:,或,经检验,,均符合要求.【小问2详解】当时,l的方程为:.即,此时l不通过第四象限;当时,直线/的方程为:.l不通过第四象限,即,解得综上所述,当直线不通过第四象限时,a的取值范围为18.已知圆C:.(1)若点,求过点的圆的切线方程;(2)若点为圆的弦的中点,求直线的方程.【答案】(1)或(2)【解析】【分析】(1)求出圆的圆心与半径,分过点的直线的斜率不存和存在两种情况,利用圆心到直线距离等于半径,即可求出切线方程;(2)根据圆心与弦中点的连线垂直线,可求出直线的斜率,进而求出结果.【小问1详解】解:由题意知圆心的坐标为,半径,当过点的直线的斜率不存在时,方程为.由圆心到直线的距离知,此时,直线与圆相切.当过点的直线的斜率存在时,设方程为, 即.由题意知,解得,∴方程为.故过点的圆的切线方程为或.【小问2详解】解:∵圆心,,即,又,∴,则.19.如图,在四棱锥中,平面,底面四边形是正方形,,点E为的中点.(1)求证:平面;(2)求平面与平面所成锐二面角的大小.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)设与的交点为O,连接,则,由平面,可证得平面,则,而由正方形的性质可得,所以由线面垂直的判定可证得结论,(2)以A为坐标原点,所在的直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,利用空间向量求解即可.【小问1详解】证明:设与的交点为O,连接.因为底面四边形为正方形,所以. 又点E为的中点,所以.因为平面,平面,所以,所以,因为平面,所以平面,又平面,所以.因为,平面,所以平面.小问2详解】解:设,则.以A为坐标原点,所在的直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,可得.由(1)知,平面的一个法向量为.设平面的一个法向量为,则,取,可得,所以,设平面与平面所成锐二面角为, 则,因为,所以,即平面与平面所成锐二面角的大小为.20.为解决城市的拥堵问题,某城市准备对现有的一条穿城公路进行分流,已知穿城公路自西向东到达城市中心点后转向东北方向(即).现准备修建一条城市高架道路,在上设一出入口,在上设一出入口.假设高架道路在部分为直线段,且要求市中心与的距离为.(1)求两站点,之间距离的最小值;(2)公路段上距离市中心处有一古建筑群,为保护古建筑群,设立一个以为圆心,为半径的圆形保护区.在古建筑群和市中心之间设计入口,使高架道路所在直线不经过保护区(不包括临界状态),求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)过点O作于点E,则,设,则,,然后由,利用三角函数的性质求解.,(2)以O为原点建立平面直角坐标系,得到圆C的方程为:,设直线AB的方程为:,根据题意由,且求解.【小问1详解】 如图所示:过点O作于点E,则,设,则,,所以,而,,所以当时,,.【小问2详解】以O为原点建立平面直角坐标系,则圆C的方程为:,设直线AB的方程为:,,由题意得:,且,所以,代入,化简得:, 解得或(舍去),因为,所以,所以,当时,,又,所以,所以.21.已知函数(1)若的最小正周期为,求,的单调区间(2)将(1)中的函数图像上所有的点向右平移个单位长度,得到函数,且图像关于对称.若对于任意的实数,函数,与的公共点个数不少于6个且不多于10个,求正实数的取值范围.【答案】(1)在上单调递增,在上单调递减.(2)【解析】【分析】(1)使用降幂扩角公式和辅助角公式将化简为正弦型函数,再使用正弦函数的单调性性质求解;(2)根据图像平移的知识得到,由为偶函数可得,进一步化简,对于,结合函数图像列不等式组求解.【小问1详解】 的最小正周期为,,,由,可得,在上单调递增,在上单调递减.【小问2详解】将(1)中的函数图像上所有的点向右平移得,,图像关于对称,,又,,,又对于任意的实数,函数与的公共点个数不少于6个且不多于10个,设的周期为,则.所以正实数的取值范围.22.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点,圆与x轴的负半轴的交点是Q ,过点P的直线l与圆O交于不同的两点A,B.(1)设直线QA,QB的斜率分别是,求的值:(2)设AB中点为M,点,若,求的面积.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)由已知可得直线的斜率存在,设出直线方程,与圆的方程联立,由斜率公式结合根与系数的关系即可求得的值;(2)设中点,由(1)知求得M的坐标,再由,得,把M的坐标代入,即可求得值,然后利用垂径定理求弦长,再求出Q到直线的距离,则的面积可求.【详解】(1)当直线垂直于轴时,不合题意,设直线方程为,联立,整理得,设,则, 所以即.(2)设中点,由(1)知,,①代入直线l的方程得,②又由,得,化简得:,将①②代入上式,可得,所以圆心到直线l的距离,所以,Q到直线l的距离,所以=.【点睛】解决直线与圆的位置关系的常见方法:1、几何法:圆心到直线的距离与圆的半径比较大小,结合圆的性质,判断直线与圆的位置关系,这种方法的特点时计算量较小;2、代数法:将直线方程与圆的方程联立方程组,转化为一元二次方程,结合一元二次方程解得个数,判断直线与圆的位置关系,特点是计算量较大,更适合直线与圆锥曲线的位置关系的判定问题;

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2023-09-25 22:00:02 页数:22
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文章作者:随遇而安

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