江苏省扬州中学2022-2023学年高二数学下学期5月月考试题（Word版附解析）

江苏省扬州中学高二数学5月考试卷一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．如果，，三点共线，那么（    ）A．1B．2C．3D．42．的展开式中的系数为（    ）A．B．32C．8D．3．已知是空间的一组基底，则可以与向量，构成基底的向量是（   ）A．B．C．D．4．算盘起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国传统的计算工具：现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作数字1（如图2中算盘表示整数51）.如果拨动图1算盘中的两枚算珠，则表示的数字大于50的概率为（    ）A．B．C．D．5．由组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（    ）个A．360B．192C．312D．2406．已知P（B）=0.3，，，则=（    ）A．B．C．D．7．为了预防肥胖，某校对“学生性别和喜欢吃甜食”是否有关做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢吃甜食的人数占男生人数的，女生喜欢吃甜食的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢吃甜食与和性别有关，则被调查的男生人数可能是（    ）参考公式及数据：，其中.附：0.050.010 3.8416.635A．7B．11C．15D．208．已知，，，则下列排序正确的是（    ）A．B．C．D．二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.9．下列命题正确的是（    ）A．对于事件A，B，若，且，，则B．若随机变量，，则C．相关系数r的绝对值越接近1，两个随机变量的线性相关程度越强D．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越宽表示回归效果越好10．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（    ）A．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有18种C．甲乙不相邻的排法种数为72种D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种11．已知离散型随机变量服从二项分布，其中，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法正确的有（    ）A．B．，且为偶数时，C．时，随着的增大而增大D．时，随着的增大而减小12．如图所示，圆锥PO中，PO为高，AB为底面圆的直径，圆锥的轴截面是面积等于2的等腰直角三角形，C为母线PA的中点，点M为底面上的动点，且OM⊥AM，点O在直线PM上的射影为H．当点M运动时，（    ）A．三棱锥M-ABC体积的最大值为B．直线CH与直线PA垂直不可能成立C．H点的轨迹长度为πD．AH+HO的值小于2三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知随机变量服从正态分布，且，则的展开式中的系数为_______.14．如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，则点C到平面的距离等于_______.15．定义在R上的奇函数满足，，且当时，，则_______．16．某工厂的某种产品成箱包装，每箱件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．记件产品中恰有件不合格品的概率为，则取最大值时，_______．四、解答题：本大题共6小题，共70分.17．现有7本不同的书准备分给甲、乙、丙三人.(1)若甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得4本，则不同的分配方法有多少种？(2)若甲、乙、丙三人中，一人得3本，另外两人每人得2本，则不同的分配方法有多少种？18．在①，②二项式系数之和为64，③二项式系数最大项仅为第4项这三个条件中任选一个，补充在下面横线中，已知，　　　　　，求:(1)n的值;(2)的值.19．设某幼苗从观察之日起，第x天的高度为ycm，测得的一些数据如下表所示：第x天1234567高度ycm0479111213作出这组数据的散点图发现：y（cm）与x（天）之间近似满足关系式.(1)试借助一元线性回归模型，根据所给数据，求出y关于x的线性回归方程；(2)在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的3个点，记这3个点中幼苗的高度大于 的点的个数为，其中为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量的分布列和数学期望.附：回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式，分別为，20．新能源汽车是中国战略新兴产业之一，政府高度重视新能源产业的发展，某企业为了提高新能源汽车品控水平，需要监控某种型号的汽车零件的生产流水线的生产过程，现从该企业生产的该零件中随机抽取100件，测得该零件的质量差（这里指质量与生产标准的差的绝对值）的样本数据统计如下表.质量差（单位：）5667707886件数（单位：件）102048193(1)求样本平均数的值；根据大量的产品检测数据，得到该零件的质量差（这里指质量与生产标准的差的绝对值）X近似服从正态分布，其中的近似值为36，用样本平均数作为的近似值，求概率的值；(2)若该企业有两条生产该零件的生产线，其中第1条生产线的生产效率是第2条生产线的生产效率的两倍.若第1条生产线出现废品的概率约为0.015，第2条生产线出现废品的概率约为0.018，将这两条生产线生产出来的零件混放在一起，这两条生产线是否出现废品相互独立.现从该企业生产的该零件中随机抽取一件.（i）求该零件为废品的概率；（ii）若在抽取中发现废品，求该废品来自第1条生产线的概率.参考数据：若随机变量服从正态分布，则：，，21．如图，在多面体中，侧面为菱形，侧面为直角梯形，分别为的中点，且.(1)证明：平面；(2)若平面平面，多面体的体积为，求直线与平面所成角的正弦值. 22．已知函数．(1)当时，证明：当时，；(2)当时，恒成立，求a的取值范围． 参考答案：1．D【分析】确定，，根据共线得到，计算得到答案.【详解】即，，，，三点共线，故，即，解得，，，故.故选：D2．A【分析】由题设写出展开式通项，进而确定的值，即可求其系数.【详解】由题设，展开式通项为，∴时，的系数为.故选：A3．D【分析】利用空间共面向量定理及基底的概念判断即可.【详解】∵，，∴与共面，故A，B错误；∵，∴与共面，故C错误；∵是基底，∴不存在使成立，∴与不共面，故可以与构成空间的一组基底，故D正确.故选：D.4．B【分析】根据给定条件分类探求出拨动两枚算珠的结果，从而得到表示不同整数的个数和表示的数字大于50的个数，再根据古典概型概率计算公式即可求解.【详解】拨动图1算盘中的两枚算珠，有两类办法，第一类，只在一个档拨动两枚算珠共有4种方法，表示的数字分别为；第二类，在每一个档各拨动一枚算珠共有4种方法，表示的数字分别为，所以表示不同整数的个数为8.其中表示的数字大于50的有共3个，所以表示的数字大于50的概率为.故选：B 5．D【分析】根据题意可分为两类：个位数字为和个位数数字为或，结合排列、组合数的公式，即可求解.【详解】解：根据题意可分为两类：个位数字为和个位数数字为或，当个位数字为时，小于的偶数有个；当个位数字为或时，小于的偶数有个，所以小于的偶数共有个.故选：D.6．A【分析】根据已知利用全概率公式得，即可求解.【详解】由全概率公式可得：可得，解得：.则.故选：A.7．C【分析】设男生的人数为：，根据题意可列出列联表，由公式求出，由求出的取值范围，可得答案.【详解】由题意被调查的男女生人数相同，设男生的人数为：，由题意可列出列联表：男生女生合计喜欢吃甜食不喜欢吃甜食合计.由于有的把握认为是否喜欢吃甜食和性别有关，所以；解得：，因为， 所以选项ABC错误，选项D正确.故选：D.8．A【分析】先直接计算得的值，构造函数，利用导数研究其单调性得到，再利用二项式定理求得的值，从而得解.【详解】因为，，令，则，故在上单调递减，所以，即，故，因为，所以，即.故选：A.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是构造函数证得，再利用二项式定理求得，从而得解.9．AC【分析】对于A，根据事件之间的关系，可得概率计算，结合条件概率的计算公式，可得答案；对于B，根据正态分布的性质，利用其对称性，可得答案；对于C，根据相关系数的性质，可得答案；对于D，根据残差图的性质，可得答案.【详解】对于A，由，则，故，故A正确；对于B，由随机变量，则随机变量满足的正态分布曲线关于直线对称，故，，，故B错误；对于C，根据相关系数的性质，可得C正确；对于D，根据残差图的性质，可知宽度越窄表示回归效果越好，故D错误.故选：AC.10．ACD 【分析】根据题意，由捆绑法，插空法，特殊元素优先处理法，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A，甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，将甲乙看成一个整体，与丙，丁，戊全排列，有种排法，A正确；对于B，若甲站在最左端，乙和丙，丁，戊全排列，有种排法，故B错误；对于C，先将丙，丁，戊三人排成一排，再将甲乙安排在三人的空位中，有种排法，C正确；对于D，甲，乙，丙，丁，戊五人全排列有种排法，甲乙丙全排列有种排法，则甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，故D正确.故选：ACD.11．AC【分析】根据二项分布的概率公式判断A、C、D，根据组合数公式判断B.【详解】因为，所以，且，对于A：由二项分布可知，故正确；对于B，由时，，则所以，，所以，故B不正确，对于C、D：，当时，，且为正项且单调递增的数列，故随着的增大而增大，故C正确，当时，，且为摆动数列，故D不正确.故选：AC12．ACD【分析】根据圆锥体积公式结合最值判断A选项，由已知得出矛盾判断B选项，由线面垂直得出轨迹判断C选项，结合不等式判断最值判断D选项. 【详解】设圆锥的底面半径为R，高为h，母线长为l．由已知，圆锥的轴截面为面积等于2的等腰直角三角形，则其面积，解得l=2，所以．对于A项，如图2，由OM⊥AM可知，点M在以OA为直径的圆上．因为，所以点M到平面PAB距离的最大值为．易知，故三棱维M-ABC体积的最大值为，故A正确．对于B项，易知PO⊥平面AMB，AM平面AMB，所以AM⊥PO，又AM⊥OM，OM∩PO=O，OM平面POM，PO平面POM，所以AM⊥平面POM，又OH平面POM，则AM⊥OH，又OH⊥PM，PM∩AM=M，AM平面PAM，PM平面PAM，则OH⊥平面PAM，又PA平面PAM，则OH⊥PA，由△PAB是等腰直角三角形，可得PO=OA，即△POA为等腰三角形，连接OC，又C为PA的中点，故PA⊥OC，又OH∩OC=O，OH平面OHC，OC平面OHC，则PA⊥平面OHC，所以PA⊥CH恒成立，故B项不正确．对于C项，由B项可知PA⊥平面OHC，又OH⊥平面PAM，HC平面PAM，所以OH⊥HC，过点C且与PA垂直的平面仅有一个，则H点的轨迹为以OC为直径的圆（除去O，C两点）．又，则H点形成的轨迹周长为π，故C项正确.对于D项，设，由B项可知CH⊥PA，CH⊥OH，则，．所以，则AH+HO的值小于2，D项正确． 故选:ACD．13．【分析】根据正态分布的性质求，结合二项式定理展开式的通项公式求展开式中的系数.【详解】因为随机变量服从正态分布，且，所以，故，二项式展开式的通项，令，可得，所以展开式中的系数为，故答案为：.14．【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离.【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，设平面的一个法向量为，，即，取，又，所以点到面的距离，故答案为：.15．1012【分析】根据函数的奇偶性、周期性求解即可.【详解】因为是奇函数，且， 所以，故是周期为4的周期函数．所以，令,可得，所以，因为函数为奇函数且周期为4，所以，则，则．故答案为:1012.16．/【分析】利用独立重复试验的概率可得出的表达式，利用导数法可求得函数取最大值对应的值.【详解】因为每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立，所以，件产品中恰有件不合格品的概率为，则，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，故当时，取最大值.故答案为：.17．(1)(2)【分析】（1）首先将7本书分成1本、2本、4本（不平均分组），再将三组作全排即可得结果；（2）首先将7本书分成3本、2本、2本（部分平均分组），再将三组作全排即可得结果；【详解】（1）首先将7本书分成1本、2本、4本，共三组有种，再将三组分给甲、乙、丙三人有种，所以共有种. （2）首先将7本书分成3本、2本、2本，共三组有种，再将三组分给甲、乙、丙三人有种，所以共有种.18．(1)6；(2)63.【分析】（1）选①，根据二项式通项列方程可解；选②，根据二项式系数和列方程可解；选③，根据二项式系数的性质可解；（2）先根据二项式通项表示出，然后带入目标式由二项式系数和可得.【详解】（1）若选①，因为，所以=60，化简可得=30，且，解得n=6.若选②，则，∴n=6.若选③，则+1=4，∴n=6.（2）由（1）知，n=6的展开式通项，所以，所以==6319．(1)(2)分布列见解析，数学期望.【分析】（1）由y关于x的回归直线方程的计算公式求得结果；（2）利用超几何分布概率公式计算，求得随机变量的分布列，并根据分布列，利用数学期望计算求得期望值.【详解】（1）由表格数据，得，，则，所以， 所以y关于x的线性回归方程为.（2）7天中幼苗高度大于的有4天，小于等于8的有3天，从散点图中任取3个点，即从这7天中任取3天，所以这3个点中幼苗的高度大于的点的个数的取值为0，1，2，3，；；；；所以随机变量的分布列为：随机变量的期望值.20.(1)，(2)（i）；（ii）【分析】（1）先由表格计算平均数，再根据正态分布三段区间公式计算概率即可；（2）（i）根据全概率公式计算即可，（ii）根据贝叶斯公式计算即可.【详解】（1）由得：（2）（i）设“随机抽取一件该企业生产的该零件为废品”，“随机抽取一件零件为第1条生产线生产”，“随机抽取一件零件为第2条生产线生产”，则由题意可知，又，于是. （ii）.21．(1)证明见解析(2)【分析】（1）取的中点，连接，易证四边形为平行四边形，则有，再由线面平行的判定证结论；（2）由题设及面面、线面垂直的性质可得、，线面垂直的判定有平面，连接得到为三棱柱，设，用表示多面体的体积求参，构建空间直角坐标系，向量法求直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）取的中点，连接，则为的中位线，所以，且，又，且，所以，且，即四边形为平行四边形，所以，又平面平面，故平面.（2）连接，在菱形中，则.在直角梯形中，所以，因为面面，面面面，所以平面，又平面，故，又，面，所以平面.连接，因为，即，且，所以为平行四边形，且，则为三棱柱，设，则，三棱柱的体积.连接，则三棱锥的体积.取中点，连接，则，面面，面面面，则面， 所以三棱锥的体积，由多面体的体积为，得：，解得.综上，两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，设面的法向量为，由，令，则，设直线与平面所成角为，所以，故直线与平面所成角的正弦值为.22．(1)证明见解析(2)【分析】（1）法一：求导后利用放缩法得到，故；法二：多次求导，结合隐零点，得到先增后减，结合端点值的符号，得到在上恒成立，求出；（2）法一：构造，变形后结合，，，且在处取等号，得到时，符合题意，时，结合函数单调性及零点存在性定理得到矛盾，求出答案；法二：构造，求导后考虑，利用放缩法及函数单调性可证，再考虑，由在单调递增，且，分与两种情况，进行求解，得到答案. 【详解】（1）法一：首先证明，，理由如下：构造，，则恒成立，故在上单调递减，故，所以，，，，，故在上恒成立，所以在单调递增，故法二：，，，且，令，则，令，则在上恒成立，所以单调递减，又，其中，故，故，使得，且当时，，当时，，所以先增后减，又，，∴在上恒成立，所以单调递增，；（2）法一：，，下证：，，，且在处取等号，令，则，故单调递增， 故，且在处取等号，在（1）中已证明；令，则，故单调递增，故，且在处取等号，当时，，当时，即时，符合题意，当时，，，，其中当时，，，，故，令，，则在上恒成立，故在上单调递增，故，使得，在单调递减，故与矛盾，舍去；综上：a的取值范围为；法二：，，，①当时，，，在单调递增，且符合题意，②当时，在单调递增，，③当时，即时，  在单调递增，符合题意，②当时，即时，，，， 其中当时，，，，故，令，，则在上恒成立，故在上单调递增，故，使得，在单调递减，故与矛盾，舍去；综上：a的取值范围为.【点睛】方法点睛：隐零点的处理思路：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.