江西省2023届高三数学（理）高考适应性大练兵联考试题（Word版附解析）

2022-2023学年高三5月高考适应性大练兵联考数学理科注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i为虚数单位，若复数，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由复数的运算化简复数，再求共轭复数即可.【详解】因为，所以.故选：B.2.设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再求出集合，最后根据补集、交集的定义计算可得.【详解】由，即，解得，所以，又，所以，则.故选：A 3.已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】首先判断命题、的真假，再根据复合命题的真假性判断即可.【详解】因为正弦函数的值域为，所以命题为真命题，当时，故命题为假命题，所以为假命题，为假命题，为真命题，则为假命题，为真命题.故选：D4.已知某圆锥的底面半径为2，其体积与半径为1的球的体积相等，则该圆锥的母线长为（）A.1B.2C.D.5【答案】C【解析】【分析】设圆锥的高为，根据圆锥及球的体积公式求出，再由勾股定理计算可得.【详解】设圆锥的高为，则，解得，所以母线长为.故选：C5.近年来，我国无人机产业发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一张靓丽的新名片，其中民用无人机市场也异常火爆，销售量逐年上升．现某无人机专卖店统计了5月份前5天每天无人机的实际销量，结果如下表所示．日期编号12345销量/部9a17b27经分析知，与有较强的线性相关关系，且求得线性回归方程为，则的值为（）A.28B.30C.33D.35【答案】C【解析】【分析】求出、，根据回归直线方程必过样本中心点，代入计算可得. 【详解】依题意，，又回归直线方程过点，所以，解得.故选：C6.已知函数，若存在最大值，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先分别判断函数在各段的单调性，依题意可得在处取得最大值，即可得到在左侧函数值不大于处的函数值，即可求出参数的取值范围.【详解】因为，当时函数单调递增，当时函数单调递减，要使函数存在最大值，则最大值一定是在处取得，即，此时，解得，即实数的取值范围是.故选：B7.如图，若AD是的角平分线，则，该结论由英国数学家斯库顿发现，故称之为斯库顿定理，常用于解决三角形中的一些角平分线问题．若图中，在内任取一点P，则点P恰好落在内的概率为（）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】结合角平分线定理与斯库顿定理列方程组求解线段的长度，即可得的长，再由几何概率的性质结合三角形面积即可求得答案.【详解】设，由角平分线定理可得，即，整理得①，有斯库顿定理得，即②，由①②得：，即，则，所以点P恰好落在内的概率为.故选：C.8.已知的角，，的对边分别为，，，且，，，则（）A.3B.C.D.8【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式及正弦定理将边化角，即可求出，再由余弦定理计算可得.【详解】因为，所以，所以由正弦定理可得，即，所以，即，又，所以，所以，由余弦定理，即，解得.故选：B9.用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲而叫抛物面）的反射后，集中于它的焦点．用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中，对称轴与 轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线的方程为，平行于轴的光线从点射出，经过上的点反射后，再从上的另一点射出，则（）A.6B.8C.D.29【答案】C【解析】【分析】依题意设，代入抛物线方程，求出，即可得到直线的方程，联立直线与抛物线方程求出点坐标，即可求出.【详解】由，可得的纵坐标为，设，则，解得，由题意反射光线经过抛物线焦点，所以直线的方程为，整理可得，由消去整理得，解得，，则，所以，所以.故选：C10.已知在长方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，则平面截长方体所得的截面形状为（）A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形【答案】C【解析】【分析】连接并延长交的延长线于点，连接并延长交于点，过点作交于点，连接，即可得到截面图形，从而得解. 【详解】如图连接并延长交的延长线于点，连接并延长交于点，过点作交于点，连接，则五边形即为平面截该长方体所得的截面多边形.其中因为，，，所以，则，所以，又，所以，所以，则，显然，则，所以.故选：C11.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先根据三角函数的变换规则求出的解析式，再根据余弦函数的性质求出的单调递增区间，即可得到，从而得到不等式组，解得即可. 【详解】将函数的图象向左平移个单位得到，令，，解得，，所以单调递增区间为，，又函数在上单调递增，所以，所以，解得，即实数的取值范围为.故选：A12.已知函数的定义域为，其导函数为，若为奇函数，为偶函数，记，且当时，，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由为奇函数可得两边求导得到，即，同理可得，即可得到的对称性与周期，画出与的图象，数形结合即可得解.【详解】因为为奇函数，所以，即，两边同时求导得，即，所以的图象关于直线对称，且①；又为偶函数，所以，即，两边求导得，即， 所以的图象关于点中心对称，且②；由①②得，即，所以，所以的一个周期为，因为当时，，当时，则，所以，当时，则，所以，作出函数与的图象如图所示，由，解得，由，解得，结合图象可知不等式的解集为.故选：C【点睛】关键点睛：本题的关键是找到函数的对称性与周期性，再利用数形结合法.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知单位向量，满足，则__________．【答案】##【解析】【分析】将两边平方，根据数量积的运算律计算可得.【详解】因为，为单位向量且满足，所以，即，即，解得.故答案为： 14.已知数列满足，若，则_________．【答案】【解析】【分析】依题意可得为等比数列，设公比为，根据条件及等比数列通项公式计算可得.【详解】因为，所以为等比数列，设公比为，又，，所以，解得，所以.故答案为：15.琴、棋、书、画、诗、酒、花、茶被称为中国传统八雅．为弘扬中国传统文化，某校决定从“八雅”中挑选“六雅”，于某周末开展知识讲座，每雅安排一节，连排六节．若“琴”“棋”“书”“画”必选，且要求“琴”“棋”相邻，“书”与“画”不相邻，则不同的排课方法共__________种．（用数字作答）【答案】【解析】分析】先从诗、酒、花、茶中选“两雅”，“琴”“棋”相邻用捆绑法，“书”与“画”不相邻用插空法，最后按照分步乘法计数原理计算可得.【详解】首先从诗、酒、花、茶中选“两雅”有种选法，“琴”“棋”相邻用捆绑法看做一个整体，与除“书”与“画”外的“两雅”全排列，有种排法，再将“书”与“画”插入到刚刚所形成的个空中的个空，有种插法，按照分步乘法计数原理可得一共有种排法.故答案：16.已知双曲线的左焦点为，过点且与的一条渐近线平行的直线与圆相交于，两点，且，则的离心率为________．【答案】【解析】【分析】设的焦距为，设直线为，求出原点到直线的距离，再由勾股定理表示出，即可得到，从而求出离心率. 【详解】设的焦距为，双曲线的渐近线为，左焦点为，不妨设直线为，即，则原点到直线的距离，所以，整理得，即，所以，所以离心率.故答案为：三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知等差数列的前项和为，，．（1）求的通项公式及；（2）设__________，求数列的前项和．在①；②；③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解．注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1），（2）答案见解析【解析】【分析】（1）设公差为，依题意得到关于、的方程组，解得、，即可求出通项公式与前项和；（2）根据所选条件得到的通项公式，利用裂项相消法求和.【小问1详解】设公差为，由可得， 所以，解得，所以的通项公式为，则.【小问2详解】若选①；则，所以；若选②；则，则；若选③，则，所以.18.如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，点E在棱PD上，，．（1）证明：点E是PD的中点；（2）求直线BE与平面ACE所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明平面，再利用线面垂直的性质得，结合，即可得结论；（2）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量与平面的法向量，根据空间向量夹角公式求解线面角正弦值，再利用平方关系得余弦值即可.【小问1详解】证明：因为平面所以因为四边形是正方形,所以又平面,所以平面，又平面,所以，又平面，所以平面,因为平面,所以,又,所以点是的中点.【小问2详解】由已知可知两两垂直，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则所以设平面的一个法向量为，则，令，则，所以 设直线与平面所成的角为，则所以，即直线与平面所成角的余弦值为.19.第19届亚运会将于2023年9月23日在我国杭州举行，这是继北京亚运会后，我国第二次举办这一亚洲最大的体育盛会，为迎接这一体育盛会，浙江某大学举办了一次主题为“喜迎杭州亚运，讲好浙江故事”的知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机抽取了40人，统计他们的竞赛成绩（满分100分，每名参赛大学生至少得60分），并将成绩分成4组：（单位：分），得到如下的频率分布直方图．（1）现从该样本中随机抽取2人的成绩，求这2人中至少有1人成绩不低于90分的概率；（2）由频率分布直方图可以认为，这次竞赛中所有参赛大学生的竞赛成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表），，试用正态分布知识解决下列问题：①若这次竞赛共有万名大学生参加，试估计竞赛成绩超过分的人数（结果精确到个位）；②现从所有参赛的大学生中随机抽取人进行座谈，设其中竞赛成绩超过分的人数为，求随机变量的期望．附：若随机变量服从正态分布，则，，．【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求出成绩不低于分的人数，再根据古典概型的概率公式计算可得； （2）①首先求出，即可得到，根据正态分布的性质求出，即可估计人数；②依题意可得，根据二项分布的期望公式计算可得.【小问1详解】由频率分布直方图可知，成绩不低于分的有人，则随机抽取人至少有人成绩不低于分的概率.【小问2详解】①依题意，所以，则，所以，所以估计竞赛成绩超过分的大学生约为人；②由，所以，所以随机变量，所以.20.已知椭圆的上顶点为，点在圆上运动，且的最大值为．（1）求的标准方程；（2）经过点）且不经过点的直线与交于，两点，分别记直线，的斜率为，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．【答案】（1）（2）为定值【解析】【分析】（1）依题意可得，再由求出，即可得到椭圆方程；（2）设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，再由斜率公式计算可得.【小问1详解】 因为椭圆的上顶点为，所以，圆的圆心为，半径，所以，所以，所以椭圆方程为.【小问2详解】因为直线经过点且不经过点，所以直线的斜率存在，设直线的方程为，，，由消去整理得，所以，解得或，所以，，所以，，所以，所以为定值. 21.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）设函数，若的导函数存在两个零点，且，证明：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，在由点斜式求出切线方程；（2）依题意可得，即可得到，令，，从而得到，设，则，从而得到，构造函数，利用导数说明函数的单调性，再由，得到，即可求出的取值范围，从而得证.【小问1详解】当时，则，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即.【小问2详解】证明：，，依题意可得，即， 令，，则，两式相除得到，设，则，，所以，所以，，则，设，则，令，，则，所以在上单调递增，则，所以，即在上单调递增，又，所以，所以，而，所以，所以【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．【选修4-4：极坐标与参数方程】22.在平面直角坐标系中，直线经过点，倾斜角为，直线与关于轴对称．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求的一个参数方程和的直角坐标方程；（2）设直线与曲线交于，两点，求值． 【答案】（1）（为参数），（2）【解析】【分析】（1）题意可知，过点，倾斜角为，即可得到的一个参数方程，利用二倍角公式将曲线的极坐标方程化为，再根据代入计算可得；（2）设、对应的参数分别为，，把的参数方程代入的直角坐标方程，利用参数的几何意义计算可得.【小问1详解】由题意可知，过点，倾斜角为，所以的一个参数方程为（为参数），即（为参数），又曲线的极坐标方程为，所以，，，，即曲线的直角坐标方程为.【小问2详解】设、对应的参数分别为，，把的参数方程代入的直角坐标方程得，整理得，所以，，所以， 所以.【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依题意可得，再利用零点分段法分类讨论，分别求出不等式的解集，即可得解；（2）利用绝对值三角不等式求出的最小值，即可得到，从而解得.【小问1详解】由得，所以原不等式等价于或或，解得或或，所以不等式的解集为.【小问2详解】因为，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，因为恒成立，所以，所以或，解得或，所以实数的取值范围.