江西省上饶市六校2023届高三数学（理）上学期第一次联考试题（Word版附解析）

江西省上饶市六校2023届高三第一次联考理科数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置.2．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效.3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上.4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分请将答案写在答题卡内．）1.已知，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】确定集合P，Q中的元素，再求即可.【详解】，故选：B.2.若，则可能为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设，根据条件求出关系，然后逐一验证选项即可.【详解】设， 则观察得仅满足故选：D.3.用一平面去截一长方体，则截面的形状不可能是（）A.四边形B.五边形C.六边形D.七边形【答案】D【解析】【分析】用平面去截正方体时最多和六个面相交得六边形.【详解】如图，用平面去截正方体时最多和六个面相交得六边形，因此截面的形状可能有：三角形、四边形、五边形、六边形，不可能为七边形，故选:D.4.的内角、、的对边分别为、、，已知，，的面积为，则等于（）A.4B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先利用面积公式求出，再利用余弦定理求出.【详解】因为，，的面积为，所以,所以. 由余弦定理得：.故选：D.5.将数据这五个数中随机删去两个数，则所剩下的三个数的平均数大于5的概率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】计算出所有的随机删去两个数的方法，再求出剩下数据的平均数大于5的删去方法，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.【详解】从5个数中随机删去两个数有共10种方法，要使剩下数据的平均数大于5，删去的两个数可以是共有4种，所以剩下数据的平均数大于5的概率为，故选：C6.已知的单调减区间为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求出函数的定义域，然后根据复合函数的单调性求解即可.【详解】由得，解得或即函数的定义域为因为在上单调递减，故的单调减区间即为的单调增区间,故的单调减区间为. 故选：D.7.若函数在上仅有一个最值，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据三角恒等变换求得的解析式，再讨论函数的最值，列出不等式即可求解.【详解】，因为当时，即时函数有最大值，当时，即时函数有最小值，且区间关于原点对称，所以要使得函数在上仅有一个最值，则解得，故选:B.8.已知是拋物线上一动点，直线的方程为，定点，到的距离为.则的最小值为（）A.B.C.5D.7【答案】B【解析】【分析】结合抛物线的定义，利用几何法求出的最小值.【详解】如图示：拋物线的焦点，准线. 过作于,于，则.由抛物线的定义可知：.所以（当且仅当在，即三点共线时“=”成立）.故选：B9.已知，，，则、、的大小关系为（）.A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用对数函数，指数函数，幂函数的单调性比较大小.【详解】根据在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故故选：B10.朱世杰是元代著名的数学家，有“中世纪世界最伟大的数学家”之称.其著作《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，受到数学史研究者的高度评价.《四元玉鉴》下卷“杂范类会”中第一问为：“今有沈香立圆球一只，径十寸，今从顶截周八寸四分，问厚几何？”大意为现有一个直径为10的球，从上面截一小部分，截面圆周长为8.4，问被截取部分几何体的高为多少.已 知朱世杰是以圆周率为3来计算，则《四元玉鉴》中此题答案为（）（注：）A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8【答案】A【解析】【分析】利用圆的周长公式算出截面的半径，再根据勾股定理可得，解方程即可.【详解】设截面圆半径为，截下来的几何体高为，若以3作为圆周率，则，又，故，故选：A.【点睛】本题考查了球截面，考查了空间想象能力，属于基础题.11.若，令，则的最小值属于区间（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】令，可得，根据导数讨论其单调性并确定极值点，进而可表示出的最小值，利用双勾函数性质确定的取值范围.【详解】令，则，所以，令，令，所以在单调递增，即在单调递增，因为 所以存在使得，且，所以当时，当时，所以函数在单调递减，单调递增，所以，因为，根据双勾函数性质，即的最小值属于区间，故选:B.12.已知向量、满足，与夹角为，若存在实数，有解，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】对两边同时平方，根据向量数量积的运算律，整理为关于的一元二次不等式有解，利用判别式即可求解.【详解】对不等式两边同时平方，得，即，因为,所以，整理得有解，所以得， 解得，又因为，所以，故选:C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若展开式中的系数为30，则________.【答案】【解析】【分析】求出展开式通式和相乘，然后利用的系数为30列方程求解.【详解】展开式通式为则，，解得故答案为：.14.若，则________.【答案】【解析】【分析】利用诱导公式及倍角公式变形计算即可.【详解】故答案为：.15.已知函数，，，若所有点，构成一个正方形区域，则________.【答案】【解析】【分析】根据题意可得，结合的单调性即可求解. 【详解】因为，单调递增，且，所以，又因为，且构成一个正方形区域，所以，解得，故答案为:.16.如图，在中，，且，则面积的最大值________.【答案】【解析】【分析】以为基底表示，然后利用平方的方法进行化简，结合基本不等式以及三角形的面积公式求得正确答案.详解】由于，所以，两边平方得,所以， 所以，当且仅当时等号成立.，则为锐角，所以，所以面积.故答案为：三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23匙为选考匙，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知为数列的瞐项和.且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由得，两式相减后得数列为等比数列，利用等比数列的通项公式求解即可;（2）由（1）可得的通项公式，利用裂项相消法可得数列的前项和.【小问1详解】①当时，②，①-②得，即， 又当时，，得，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，；【小问2详解】由（1）得，18.如图，在斜三棱柱中，是边长为4的正三角形，侧棱，顶点在平面上的射影为边的中点.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先证明出面，利用面面垂直的判定定理即可证明；（2）以为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系.利用向量法求解. 【小问1详解】因为是边长为4的正三角形，边的中点，所以.因为顶点在平面上的射影为，所以平面,.因为面，面，,所以面.所以面，所以平面平面.【小问2详解】以为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系.因为是边长为4的正三角形，为边的中点，所以.在直角三角形中，.所以，，，，.所以,.在三棱柱中，由，可求得：.同理求得：.所以，,.设为平面的一个法向量，为平面的一个法向量. 因为，即，不妨设，则.同理可求：.设为二面角的平面角，由图可知：为锐角，所以.即二面角的余弦值为.19.为坚持上饶市“创文活动”某社区特制订了饲养宠物的管理规定，为了解社区住户对该规定的态度（赞同与不赞同），工作人员随机调查了社区220户住户，得到如下2×2列联表（单住户）：赞同规定住户不赞同规定住户合计家里有宠物住户7040110家里没有宠物住户9020110合计16060220同时工作人员还从上述调查的不赞同管理规定的住户中，用分层抽样的方法按家有宠物，家里没有宠物抽取了12户组成样本T，进一步研究完善宠物的管理规定；（1）根据上述列联表，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“社区住户对饲养宠物的管理规定的态度与家里是否有越物有关系”?（2）工作人员从样本T中随机抽取6户住户进行访谈，X为抽取的6户住户中为家里没有宠物住户的户数，求X的分布列及期望.附：，其中.0.100.0100.0012.7066.63510.828 【答案】（1）不能（2）分布列见解析，期望为【解析】【分析】(1)根据独立性检验的概念，求得，即可下结论；(2)利用超几何概率分布模型求解即可【小问1详解】因为，所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下，不能认为“社区住户对饲养宠物的管理规定的态度与家里是否有越物有关系”.【小问2详解】根据图表可得在不赞同管理规定的住户中，用分层抽样的方法按家有宠物，家里没有宠物抽取了12户组成样本T，则家里有宠物住户有家里没有宠物住户有所以可能的取值有，分布列如下，01234所以.20.已知点在椭圆上，且长轴长为4.（1）求椭圆C的方程：（2）过点的直线与椭圆C相交于、两点，点关于轴的对称点为，直线 与轴相交于点.求的面积的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由长轴长为4得，再将代入解方程可得；（2）设，利用两点坐标表示出直线，解得利用直线方程和韦达定理化简得，又，结合函数知识易得面积的取值范围.【小问1详解】因为长轴长为4，所以，将代入解方程得，解得，所以椭圆C的方程为；【小问2详解】易知直线斜率存在且不为0，设直线方程为：则，联立得：，，直线的方程为：，令，得 即,则化简得令，易知在上单调递增，则代回得，所以的面积的取值范围为.21.已知函数，.（1）当时，求函数的最小值；（2）当时，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）1.（2）.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，对导数再次求导，判断函数的单调性，进而求得最小值；（2）根据题意可知，恒成立,故设，借助于处的导数值以及函数值结合可求得，因此要证明此时不等式在上恒成立，故构造函数，利用导数判断函数单调性，求解最值，说明不等式在上恒成立，从而求得答案.【小问1详解】 当时，,，令，等号仅在时取得，∴在上为增函数，则，∴在上为增函数，∴函数的最小值为.【小问2详解】时，,由已知得，恒成立,令,则,则，又，即的图象均过点，∴，令，，由（1）可知且，所以，令，，则，令，则，等号仅在时取得，所以在单调递增，故，等号仅在时取得，故，故在上单调递增，所以，所以，即， 即在上恒成立，当时,，，设，当时，是R上的增函数，在上单调递增，即时，在上递增，，故在内存在唯一解，当时，，则在上递减，则，则在上递减，故，当时，在上递减，则，即当时，存在x使得，这与不等式在上恒成立矛盾，综合可知a的取值范围是.【点睛】关键点点睛：根据不等式在上恒成立，求参数的取值范围时，借助于时的函数值以及导数值，可确定a的范围，因此下面的关键点就在于要根据a的范围，证明恒成立，由此构造函数，利用导数求解函数最值，解决问题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数)，以坐标原点O为极点， 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为－2cos=3．（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）曲线与相交于两点，求的值．【答案】（1）；；（2）3．【解析】【分析】（1）曲线参数方程消去参数t，可得到的普通方程，进而将其转化为极坐标方程即可，利用极坐标方程与直角坐标方程间的关系，可将的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）结合曲线、的极坐标方程，可得，设两点所对应的极径分别为，可求得的值，进而可得到的值．【详解】曲线的普通方程为，即极坐标方程为曲线的直角坐标方程为，即．曲线的极坐标方程为，代入，可得，则．【点睛】求解与极坐标有关的问题的主要方法：（1）直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用；（2）转化为直角坐标系，用直角坐标求解.23.已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）对x分段讨论，脱掉绝对值符号，解不等式，即得答案;（2）分段讨论脱掉绝对值符号，确定函数的单调性，确定其最小值，根据恒成立可得不等式，解得答案.【小问1详解】当时，，当时，，解得，此时，当时，,解得，此时,当时，，解得,此时，故当时，不等式的解集为；【小问2详解】若,函数,由-次函数性质可知在减函数，在为增函数因为不等式恒成立，即，即，又因为，所以，即实数a取值范围.