江西省南昌市2022届高三数学（文）下学期核心模拟卷（中）试题（Word版附解析）

2021~2022学年高三核心模拟卷（中）文科数学（一）注意事项：1．本卷满分150分，考试时间120分钟．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先化简集合，再利用交集运算求解.【详解】因为，所以，即;所以．故选:B．2.已知（为虚数单位），则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘除运算求复数即可. 【详解】由题设，则，所以，得，故选：A.3.近年来，人口问题已成为一个社会问题，人口老龄化，新生儿数量减少等问题已对我国的经济建设产生影响．为应对人口问题的挑战，自2016年1月1日起全面放开二胎，2021年1月1日起全面放开三胎．下表是2016年~2020年我国新生儿数量统计：年份x20162017201820192020数量y（万）17861758153214651200研究发现这几年的新生儿数量与年份有较强的线性关系，若求出的回归方程为，则的值约为（）A.B.C.D.146.5【答案】B【解析】【分析】先求得，再根据回归直线过样本点中心，即可求解.【详解】，由回归直线的性质知，所以．故选：B．4.已知直线和圆，则“”是“直线l与圆C相切”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】直线与圆相切等价于直线到圆心的距离等于半径，据此先算出再判断即可.【详解】直线l与圆C相切等价于圆心到l的距离等于圆C的半径1， 即，解得，所以“”是“直线l与圆C相切”的充要条件.故选：C.5.已知，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由，得到，再利用二倍角公式和商数关系求解.【详解】解：因为，所以，所以，，故选：D．6.已知实数满足约束条件，则目标函数的最大值为（）A.4B.3C.2D.1【答案】A【解析】【分析】根据线性规划的要求，画出可行域，由图象及直线间的斜率大小关系即可得出结果.【详解】画出可行域（如图阴影部分所示），当目标函数所表示的直线过点时，的截距取得最小值，即． 故选：A．7.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据对数的运算法则，对数函数性质、指数函数性质判断．【详解】，，，，，所以，故选：A．8.如图，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】延长至使得，则与平行且相等，是平行四边形， 所以，所以是异面直线与所成角或其补角，设，通过解三角形可得．【详解】延长至使得，则与平行且相等，是平行四边形，所以，所以是异面直线与所成角或其补角，正三棱柱中，平面，平面，，同理，设，则，，，，，，所以异面直线与所成角的余弦值．故选：C．9.在中，角所对的边分别为，若，，则（）A.4B.C.D.2【答案】C【解析】【分析】由，利用正弦定理得到，再利用余弦定理得到，然后由，求得，再由正弦定理求解. 【详解】根据条件，由正弦定理，得，所以，所以．由余弦定理，得，因为，所以．由，得，所以．由正弦定理，得，所以．故选：C.10.已知双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于、两点．若，则的离心率为（）A.B.C.2D.【答案】A【解析】【分析】不妨设的一条渐近线为，求出圆心到直线的距离，由，可得是腰长为的等腰直角三角形，从而得到，再求出离心率.【详解】不妨设的一条渐近线为，即，圆心到的距离．又，所以，所以是腰长为的等腰直角三角形，所以，所以．故选：A． 11.如图为函数的部分图像，将的图像上各点的横坐标变为原来的两倍，再向左平移个单位长度，得到函数的图像，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由周期求出，由五点法作图求出的值，可得f(x)的解析式，再利用函数的图像变换规律，得出结论.【详解】根据函数的部分图像，可得∴再根据五点法作图，可得，∴，∴.将函数的图像上各点的横坐标变为原来的两倍，可得得图像；在向左平移个单位长度，得到函数的图像，故选：D.12.已知定义在[1，+∞）上的函数，若∀x≥1，，则实数a的取值范围为（　　）A.[1，6]B.[2，9）C.（1，9]D.[1，6）【答案】D 【解析】【分析】二次求导得到在上单调递增，从而根据单调性解不等式，列出不等式组，求出实数a的取值范围.【详解】，令，，当时，恒成立，所以在上单调递增，所以，所以恒成立，所以在上单调递增，由得：，在上恒成立，其中在上单调递减，在上单调递减，所以，所以，由得：，因为，所以.综上：故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知两单位向量的夹角为，若，且，则实数_________．【答案】##-0.8【解析】【分析】利用向量的数量积公式和向量垂直的性质解决本题.【详解】因为单位向量的夹角为，所以； 因为，所以，所以．故答案：.14.已知定义在上的函数，若函数为奇函数，则________.【答案】【解析】【分析】根据题意得到，即可求解.【详解】因为函数为奇函数，所以，即，则.故答案为：.15.已知为球O的球面上的三个点，若，三棱锥的体积为6，则球O的表面积为___________．【答案】【解析】【分析】根据题意先确定球心，再计算半径即可【详解】如图所示，设外接圆的半径为r，球的半径为R，三棱锥的高为h，因为，则，所以，又，所以，所以，所以球O的表面积． 16.已知抛物线焦点为，过的直线交抛物线于，两点，则的最小值是______．【答案】9【解析】【分析】根据抛物线的定义，设出直线方程与抛物线方程联立消元，求出韦达定理即可求解.【详解】依题意，因为抛物线的焦点为，所以，①当斜率存在时：因为直线交抛物线于，两点，所以，设过的直线的直线方程为：，，由抛物线定义得：，由消整理得：，所以，即，所以；②当不存在时，直线为，此时，所以；综上可知，的最小值为：9.故答案为：9.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 大豆是我国重要的农作物，种植历史悠久．某种子实验基地培育出某大豆新品种，为检验其最佳播种日期，在A，B两块试验田上进行实验（两地块的土质等情况一致）．6月25日在A试验田播种该品种大豆，7月10日在B试验田播种该品种大豆．收获大豆时，从中随机抽取20份（每份1千粒），并测量出每份的质量（单位：克），按照，，进行分组，得到如下表格：A试验田/份4511B试验田/份6104把千粒质量不低于200克的大豆视为籽粒饱满，否则为籽粒不饱满．（1）判断是否有97.5%的把握认为大豆籽粒饱满与播种日期有关？（2）用分层抽样的方法从A，B两块实验田抽取的千粒质量在的样本中抽取5份样本，再从这5份样本中任取2份，求所抽取的2份来自不同试验田的概率．参考公式：，．0.150.100.050.0250.0100.00500012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）有（2）【解析】【分析】（1）根据完成列联表，然后根据公式计算，再与临界值表比较可得结论，（2）由用分层抽样的方法可计算得从A试验田抽取份数为2份，从B试验田抽取的份数为3份，然后利用列举法求解即可【小问1详解】列联表为6月25日播种7月10日播种合计饱满11415 不饱满91625合计202040，所以有97.5%的把握认为大豆籽粒饱满与播种日期有关．【小问2详解】用分层抽样的方法从A试验田抽取份数为，记为M，N；从B试验田抽取的份数为，记为x，y，z．从5份中抽2份所含基本事件有MN，，，，，，，xy，xz，yz，基本事件总数为10．来自不同试验田的基本事件有，，，，，，基本事件数为6．所以所求概率．18.在递增的等差数列中，，是和的等比中项．（1）求的通项公式；（2）若，数列的前n项和为，求．【答案】（1）（2）0【解析】【分析】（1）由条件结合等差数列的通项公式及等比中项的定义求解；（2）分，，，四种情况讨论，进而分组求和得出.【小问1详解】设的公差为，则，由题意得，解得（舍）或，所以．【小问2详解】 由（1）得，所以当时，，当时，，当时，，当时，．所以．19.如图，分别是圆台上、下底的圆心，为圆O的直径，以OB为直径在底面内作圆E，C为圆O的直径AB所对弧的中点，连接BC交圆E于点为圆台的母线，．（1）证明：//平面；（2）若，求C到平面的距离．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）圆台上下底面平行，利用面面平行的性质定理先说明四边形为平行四边形，然后根据线面平行的判定来证明；（2）由等体积法：进行求解即可.【小问1详解】因为平面//平面，平面平面，平面平面， 所以//，即//．又C为圆O的直径所对弧的中点，所以．又，所以，所以．因为D为圆E上的点，所以，又，所以D为的中点，即，所以，故四边形为平行四边形，所以//．又平面平面，所以//平面【小问2详解】过作，垂足为F，则F为的中点，且．因为，所以，，所以．又，所以，所以， 所以．设C到平面的距离为h，因为，所以．所以．20.已知函数．（1）当时，求在上的最值；（2）设，证明：当时，仅有2个零点．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）当时，，所以，判断函数单调性求出最值即可．（2）先求出，再根据单调性求出最小值，特殊函数值结合零点存在定理判断证明即得.【小问1详解】当时，，所以．当时，,在上单调递减，;当时，，在上单调递增．因为，所以．【小问2详解】因为，所以． 因为，当时，,在上单调递减，当时，，所以在上单调递增．因，所以在上有唯一零点，所以在上有唯一零点；当时，，所以在上有唯一零点，所以当时，仅有两个零点，符合题意；当时，，所以当时，在上有唯一零点，所以，当时，在上仅有两个零点．所以当时，仅有两个零点．21.已知点，，的周长等于，点满足.（1）求点的轨迹的方程；（2）是否存在过原点的直线与曲线交于，两点，与圆交于，两点（其中点在线段上），且，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，方程为和.【解析】【分析】（1）的周长等于，可得，从而得点的轨迹是以，为焦点的椭圆，可求出点的轨迹方程，再结合可求得点的轨迹的方程；（2）当直线与轴垂直时，可得符合条件，则直线的方程为：，当直线存在斜率时，设直线的方程为，，，将直线方程与椭圆方程联立方程组消去，利用根与系数的关系结合弦长公式可求得的长，再求出圆心到直线的距离，从而可求出的长，由，列方程可求出的值，进而可得答案【详解】解：（1）设，，由得，，.已知点，，的周长等于，，则点的轨迹是以 ，为焦点的椭圆.，，所以，，.故点的轨迹方程为（）.将，代入（）并化简得到点的轨迹的方程：（）.（2）当直线与轴垂直时，求得，，，，符合要求.此时直线的方程为：.当直线存在斜率时，设直线的方程为，，.由消去整理得，由韦达定理得，，则.圆心到直线的距离，则..，整理得，，即.此时直线的方程为.综上，符合条件的直线存在三条，其方程为和.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求曲线C的普通方程和l的直角坐标方程；（2）若l与x轴相交于M点，与曲线C相交于P，Q两点，求．【答案】（1）C：；l：（2）6【解析】【分析】（1）根据已知条件，消去参数α,即可求解曲线C的普通方程，再结合极坐标公式，即可求解；(2)先求出直线l的参数方程，再与曲线C的普通方程联立，再结合参数方程的几何意义，即可求解.【小问1详解】∵曲线C的参数方程为（为参数），∴，∵，∴，∴故C的普通方程为.∵直线l的极坐标方程为，又∵，∴直线l的直角坐标方程为.【小问2详解】令y=0，则x=3，即M的坐标为，∵直线l的斜率为1，所以直线l的倾斜角为，∴可设l直线的参数方程为（t为参数）， 即（t为参数），将直线l的参数方程代入可得，，设P，Q对应的参数为，则，.选修4-5：不等式选讲23.已知正数a，b，c满足．（1）求证：；（2）求证：．【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解；（2）结合（1）的结论，以及基本不等式的公式，即可求解.【小问1详解】证明：∵，当且仅当a=b=c时，等号成立，设，∴，即，解得，∵a，b，c为正数，∴，∴.【小问2详解】∵由（1）可得，∴ ∴，∵，当且仅当时，等号成立.∴，当且仅当时，等号成立.