第五章相交线与平行线5.3平行线的性质5.3.2命题定理证明课件（人教版七下）

5.3.2命题、定理、证明R·七年级下册 新课导入歌德是18世纪德国的一位著名文艺大师，一天，他与一位批评家“狭路相逢”，这位文艺批评家生性古怪，遇到歌德走来，不仅没有相让，反而卖弄聪明，边走边大声说道：“我从来不给傻子让路！”面对如此尴尬的局面，歌德笑容可掬，谦恭的闪在一旁，有礼貌地回答道：“呵呵，我可恰恰相反！”结果故作聪明的批评家，反倒自讨没趣，你知道歌德用的是什么语言技巧吗？你知道其中的数学道理吗？这涉及到我们今天要学习的内容中的一个概念. 学习目标：1．知道什么是命题，会把一个命题改写成“如果……那么……”的形式，从而能正确分清它的题设和结论.2．知道什么是真命题和假命题；能区分一些简单命题的真假. 探究新知知识点1命题请同学读出下列语句（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；（3）对顶角相等；（4）等式两边都加同一个数，结果仍是等式． 像这样判断一件事情的语句，叫做命题（proposition）.判断下列语句是不是命题？（1）两点之间，线段最短；（）（2）请画出两条互相平行的直线；（）（3）过直线外一点作已知直线的垂线；（）（4）如果两个角的和是90º，那么这两个角互余．（）√××√ （1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.（2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.（3）如果两个角的和是90º，那么这两个角互余.（4）等式两边都加同一个数，结果仍是等式.（5）两点之间，线段最短.思考下列各组命题是由几部分组成的？ 命题的结构命题由题设和结论两部分组成.许多数学命题常可以写成“如果……，那么……”的形式．“如果”后面连接的部分是题设，“那么”后面连接的部分是结论．已知事项由已知事项推出的事项 下列语句是命题吗？如果是，请将它们改写成“如果……，那么……”的形式.（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；（2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式；如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补.如果等式两边都加同一个数，那么结果仍是等式.练习 （3）互为相反数的两个数相加得0；（4）同旁内角互补；（5）对顶角相等．如果两个数互为相反数，那么这两个数相加得0.如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补.如果两个角互为对顶角，那么这两个角相等. 上面练习题中哪些命题是正确的，哪些命题是错误的？（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；（2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式；（3）互为相反数的两个数相加得0；（4）同旁内角互补；（5）对顶角相等．思考√××√√ 命题的真假真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题．假命题：如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题． 1.指出下列命题的题设和结论：（1）如果AB⊥CD，垂足为O，那么∠AOC=90°.练习题设：如果AB⊥CD，垂足为O，结论：∠AOC=90°. （2）如果∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3.（3）两直线平行，同位角相等.题设：如果∠1=∠2，∠2=∠3，结论：∠1=∠3.题设：如果两条直线平行，结论：同位角相等. 2.判断下列命题哪些是真命题？哪些是假命题？（1）在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么也垂直于另一条；（2）如果两个角互补，那么它们是邻补角；（3）如果|a|=|b|，那么a=b；（4）经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；（5）两点确定一条直线．真命题假命题假命题真命题真命题 上面练习第2题中的（1）（4）（5）它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理（theorem）．定理也可以作为继续推理的依据．你能写出几个学过的定理吗？知识点2定理与证明 在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明. 命题1在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条．命题2相等的角是对顶角．请判断下列两个命题的真假，并思考如何判断命题的真假． 题设：在同一平面内，一条直线垂直于两条平行线中的一条；结论：这条直线也垂直于两条平行线中的另一条．命题1：在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条．（1）这个命题的题设和结论分别是什么呢？ （2）命题1是真命题还是假命题？真命题命题1：在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条．（3）你能画出图形，写出已知、求证并证明它是真命题吗？已知：b∥c，a⊥b．求证：a⊥c．bca 证明：∵a⊥b（已知），∴∠1=90º（垂直的定义）.又∵b∥c（已知），∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）.∴∠2=∠1=90º（等量代换）.∴a⊥c（垂直的定义）.1b2ca例如图，已知：直线b∥c，a⊥b.求证：a⊥c. 证明中的每一步推理都要有根据，这些根据可以是已知条件，也可以是定义、基本事实、定理等.归纳 题设：两个角相等.结论：这两个角互为对顶角.（1）这个命题的题设和结论分别是什么呢？命题2相等的角是对顶角．（2）判断这个命题的真假.假命题 你能否举例说明“相等的角是对顶角”是假命题？如图，OC是∠AOB的平分线，∠1=∠2，但它们不是对顶角.判断一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了. 练习1.在下面的括号内，填上推理的根据.如图，∠A+∠B=180°，求证∠C+∠D=180°.证明：∵∠A+∠B=180°，∴AD∥BC（），∴∠C+∠D=180°（）.同旁内角互补，两直线平行两直线平行，同旁内角互补 2.如图，已知A、O、B三点在一条直线上，OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，求证：OD⊥OE.证明：∵OD是∠AOC的平分线（已知），∴∠1=∠AOC（角平分线的定义）. 同理：∠2=∠BOC.∴∠1+∠2=（∠AOC+∠BOC），∵点A、O、B在同一条直线上，∴∠AOC+∠BOC=180°（平角的定义），∴∠1+∠2=90°，∴OD⊥OE（垂直的定义）. 3.判断下列命题的真假.若a=b，b=c，则a=c.（）若a>b，b>c，则a>c.（）若a∥b，b∥c，则a∥c.（）若a⊥b，b⊥c，则a⊥c.（）若ac=bc，则a=b.（）若a2=b2，则a=b.（）同位角相等.（）锐角与钝角一定互补.（）真假真真假假假假 判断下列语句是否是命题.如果是，请写出它的题设和结论，并判断真假.（1）内错角相等；（2）对顶角相等；（3）画一个60°的角.误区对命题的定义及构成理解不透彻而出错错解（1）（2）（3）不是命题. 正解（1）是命题.这个命题的题设：两条直线被第三条直线所截；结论是：内错角相等.这个命题是假命题.（2）是命题.这个命题的题设：两个角是对顶角；结论是：这两个角相等.这个命题是真命题.（3）不是命题，它不是判断一件事情的语句，而是表示画图的语句. 错因分析错解在于对命题的定义理解不透彻，误认为只有存在因果关系关联词的语句才是命题.（1）（2）均是一个语句，且存在判断关系，是命题，而（3）是表示画图的语句，没有作出判断，所以不是命题. 基础巩固随堂演练1.下列语句是命题的个数为（）①画∠AOB的平分线；②直角都相等；③同旁内角互补吗？④若|a|=3，则a=3.A.1个B.2个C.3个D.4个B 2.“同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行”是_________，其中题设是_________________________________________，结论是_______________________.真命题这两条直线互相平行同一平面内，有两条直线垂直于同一条直线 综合运用3.判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例.（1）两个锐角的和是锐角；（2）邻补角是互补的角；（3）同旁内角互补. 解：（1）假命题，反例：两个锐角分别为80°和80°，和为160°，为钝角；（2）真命题；（3）假命题，反例，两相交直线被第三条直线所截时，同旁内角不互补. 命题、定理、证明定义结构形式分类真命题定理假命题举反例题设：已知事项结论：由已知事项推出的事项：判断一件事情的语句叫做命题：如果……那么……证明课堂小结 拓展延伸如图，给出下列论断：（1）AB∥DC，（2）AD∥BC，（3）∠A+∠B=180°，（4）∠B+∠C=180°，以其中一个作为题设，另一个作为结论，写出一个真命题.想一想，若连接BD，你能试着写出一个真命题并写出其推理过程吗？ 解：题设：AB∥DC，结论：∠ABC+∠C=180°.真命题：若AB∥DC，则∠ABC+∠C=180°.如图，连接BD.真命题：若∠ABD=∠CDB，则AB∥DC.证明：∵∠ABD=∠CDB，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）. 习题5.31.如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同.如果第一次的拐角∠A是135°，第二次的拐角∠B是多少度？为什么？复习巩固AB 解：第二次的拐角是135°.因为一条公路两次转弯后和原来的方向相同，说明两次转弯前后的路平行，两次拐的角为内错角，根据两直线平行，内错角相等.AB 2.如图，在四边形ABCD中，如果AD∥BC，∠A=60°，求∠B的度数，不用度量的方法，能否求得∠D的度数？ 解：∵AD∥BC，∴∠A+∠B=180°.又∠A=60°，∴∠B=180°-60°=120°.∵DC与AB不一定平行，∴∠D的度数只能用度量的方法求得. （1）从∠1=110°可以知道∠2是多少度？为什么？（2）从∠1=110°可以知道∠3是多少度？为什么？（3）从∠1=110°可以知道∠4是多少度？为什么？3.如图，平行线AB，CD被直线AE所截. 解：（1）∵AB∥CD，∠1与∠2是内错角，∴∠2=∠1=110°（两直线平行，内错角相等）.（2）∵AB∥CD，∠1与∠3是同位角，∴∠3=∠1=110°（两直线平行，同位角相等）. （3）∵AB∥CD，∠1与∠4是同旁内角，∴∠1+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）.故∠4=180°-∠1=180°-110°=70°. 4.如图，a∥b，c，d是截线，∠1=80°，∠5=70°.∠2，∠3，∠4各是多少度？为什么？解：∵a∥b，∴∠2=∠1=80°，∠3=180°-∠5=180°-70°=110°.又∠4与∠5互为邻补角，∴∠4=180°-∠5=180°-70°=110°. 5.如图，一条公路的两侧铺设了两条平行管道，如果公路一侧铺设的管道与纵向连通管道的角度为120°，那么，为了使管道对接，另一侧应以什么角度铺设纵向连通管道？为什么？解：另一侧应以60°的角度铺设.因为两直线平行，同旁内角互补.？120° 6.在下面的括号内，填上推理的根据.如图，AB和CD相交于点O，∠A=∠B，求证：∠C=∠D.证明：∵∠A=∠B，∴AC∥BD（），∴∠C=∠D（）.内错角相等，两直线平行两直线平行，内错角相等 7.选择题.（1）如图（1），由AB∥CD，可以得到（）.（A）∠1=∠2（B）∠2=∠3（C）∠1=∠4（D）∠3=∠4提示：正确认识同位角、内错角及同旁内角.综合运用C（1） （2）如图（2），如果AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=（）.（A）180°（B）270°（C）360°（D）540°C（2） 提示：∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°（两直线平行，同旁内角互补）.又CD∥EF，∴∠DCE+∠CEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）.因此∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°+180°.即∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°.结合图形，两次应用平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”.（2） 8.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，∠1=45°，∠2=122°，求图中其他角的度数. 解：由题意得：∠3=∠1=45°，∠1+∠7=180°，∴∠7=180°－∠1=135°.∴∠8=∠7=135°.又∠4=∠2=122°，∠2+∠5=180°，∴∠5=180°－∠2=58°.∴∠6=∠5=58°. 9.如图，用式子表示下列句子：（1）因为∠1和∠2相等，根据“内错角相等，两直线平等”，所以AB和EF平行；（2）因为DE和BC平行，根据“两直线平行，同位角相等”，所以∠1=∠B，∠3=∠C. 解：（1）∵∠1=∠2，∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行）.（2）∵DE∥BC，∴∠1=∠B，∠3=∠C（两直线平行，同位角相等）. 10.如图，这是一个国际象棋棋盘的示意图，它共有8行8列，依照它做出一张国际象棋的棋盘纸.类似地，你还能做出一张中国象棋的棋盘纸吗？ 解：国际象棋的棋盘纸，如左图；中国象棋的棋盘纸，如右图. 11.操场中的相交线与平行线.（1）举出操场中一些相交线、垂线、平行线的例子；（2）如果要你画出一个篮球场地，你怎样做才能保证相应的线垂直或平行呢？不妨在纸上试一试.解：（1）起跑线与跑道所在直线相互垂直；双杠的两条杠所在直线相互平行；长跑的起跑线与跑道相交. 12.判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例.（1）两个锐角的和是锐角；（2）邻补角是互补的角；（3）同旁内角互补.假命题真命题假命题 13.完成下面的证明.（1）如图，AB∥CD，CB∥DE.求证∠B+∠D=180°.证明：∵AB∥CD，∴∠B=_______（）.∵CB∥DE，∴∠C+∠D=180°（）.∴∠B+∠D=180°.∠BCD两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补 （2）如图，∠ABC=∠A′B′C′，BD，B′D′分别是∠ABC，∠A′B′C′的平分线.求证∠1=∠2. 证明：∵BD，B′D′分别是∠ABC，∠A′B′C′的平分线，∴∠1=∠ABC，∠2=_________（）.又∠ABC=∠A′B′C′，∴∠ABC=∠A′B′C′.∴∠1=∠2（）.∠A′B′C′等量代换角平分线的定义 14.如图，直线DE经过点A，DE∥BC，∠B=44°，∠C=57°.（1）∠DAB等于多少度？为什么？（2）∠EAC等于多少度？为什么？（3）∠BAC等于多少度？（通过这道题，你能说明为什么三角形的内角和是180°吗？）拓广探索 解：（1）∠DAB=44°.∵DE∥BC，∴∠DAB=∠B=44°（两直线平行，内错角相等）.（2）∠EAC=57°.∵DE∥BC，∴∠EAC=∠C=57°（两直线平行，内错角相等）.（3）∠BAC=180°-∠DAB-∠EAC=180°-44°-57°=79°. 15.如图，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，光线经过镜子反射时，∠1=∠2，∠3=∠4，∠2和∠3有什么关系？为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的？（提示：分析这两条光线被哪条直线所截.） 解：如图所示，∠2=∠3.因为两面镜子是互相平行放置的，根据“两直线平行，内错角相等”，得到∠2=∠3.进入潜望镜的光线a和离开潜望镜的光线c是平行的. ∵∠1=∠2，∠3=∠4，又∠2=∠3，∴∠1=∠2=∠3=∠4.又∵∠5=180°-∠1-∠2，∠6=180°-∠3-∠4，∴∠5=∠6.直线a（进入的光线）与直线c（离开的光线）被直线b所截.由于∠5=∠6（内错角相等），∴a∥c.即进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线平行.