贵州省六盘水市2022-2023学年高二数学下学期期末教学质量监测试题（Word版附解析）

六盘水市2022-2023学年度第二学期期末教学质量监测高二年级数学试题卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答题前，务必在答题卷上填写姓名和考号等相关信息并贴好条形码.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卷上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将答题卷交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，若，则实数的值为（）A.或3B.C.3D.或3或6【答案】A【解析】【分析】根据子集关系结合集合中元素的互异性即可求解.【详解】由得，所以或，故选：A2.已知复数（是虚数单位，，），则（）A.5B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据复数相等的充要条件可得，进而利用复数的除法运算化简，即可由模长公式求解.【详解】由得，所以，故选：B3.已知向量，，若，则实数的值为（） A.1B.4C.D.【答案】A【解析】【分析】由共线向量基本定理求解.【详解】由题意，由，得，解得，选项A正确.故选：A4.已知一个球的体积与表面积的数值之比为2∶1，则其半径（）A.12B.6C.3D.【答案】B【解析】【分析】由球的体积和表面积公式即可求解.【详解】球的体积为，表面积为，依题意有，即，解得.故选：B5.红心猕猴桃是六盘水市著名特产之一，富含维生素C及多种矿物质和18种氨基酸，特别是微量元素中的含钙量为果中之首，被誉为“人间仙果”“果中之王”“维C之王”．据统计，六盘水市某种植基地红心猕猴桃的单果重量（单位：克）近似服从正态分布，则单果重量在的概率约为（）（附：若，则，，）A.0.9545B.0.6827C.0.2718D.0.1359【答案】D【解析】【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求解.【详解】根据正态分布可知，所以 故选：D6.第八届中国凉都·六盘水夏季马拉松将于2023年7月16日在六盘水市开跑．本次赛事以“清凉马拉松·激情六盘水”为主题，设有马拉松（42.195公里）、半程马拉松（21.0975公里）、大众健身跑三个项目．现从六盘水市某中学选出4名志愿者，每名志愿者需要去服务一个项目，每个项目至少安排一个志愿者，则不同的分配方案有（）种．A.12B.24C.36D.72【答案】C【解析】【分析】按先分组再分配的方法求解即可.【详解】可将这4名志愿者先分成3组，每组至少1个志愿者，共有种分法，再将这3组志愿者分配给三个项目，每个项目分配1组志愿者，共有种分配法，故不同的分配方案有种.故选：C7.已知数列的前项和（为常数），则“为等比数列”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的定义结合充分条件和必要条件的定义分析判断.【详解】因为数列的前项和（为常数），所以当时，，当时，，若数列为等比数列，则，解得，当时，，满足，此时数列是以6为首项，3为公比的等比数列，所以“为等比数列”是“”的充要条件，故选：C8.已知直线与抛物线：交于，两点，过，分别作的切线交于点 ，若的面积为，则（）A.1B.C.D.2【答案】A【解析】【分析】联立方程得根与系数的关系，求导得切线方程，即可利用弦长公式以及点到直线的距离公式求解面积.【详解】由得，．因为，，，故．由，则，抛物线经过点的切线方程是，将代入上式整理得，同理得到抛物线经过点的切线方程是．解方程组得，所以．所以到直线的距离，的面积，所以故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知数列，，下列说法正确的有（）A.若是等差数列，则B.若，，则为等比数列C.若，则为递减数列D.若是等比数列，且公比，则 【答案】AB【解析】【分析】由等差数列的通项公式即性质判断选项A、C；由等比数列的定义及性质判断选项B、D.【详解】若是等差数列，由，得，故选项A正确；若，，则，由等比数列的定义可知为等比数列，故选项B正确；若，则为首项为4，公差为3的等差数列，是递增数列，故选项C错误；若是等比数列，且公比，但首项时，，故选项D错误.故选：AB10.下列说法正确的有（）A.若变量关于的经验回归方程为且，，则B.若随机变量，则C.在回归模型中，决定系数越大，模型的拟合效果越好D.若随机变量的方差，则【答案】AC【解析】【分析】根据回归直线经过样本中心即可判断A，根据二项分布的期望公式即可判断B，根据决定系数的定义即可判断C，根据方差的性质即可判断D.【详解】对于A,将，代入得，故A正确，对于B,则，故B错误，对于C，在回归模型中，决定系数越接近于1，模型的拟合效果越好，故C正确，对于D，,故D错误， 故选：AC11.现有来自某校高三年级的3袋专项计划审查表，第一袋有4个男生和2名女生的高校专项审查表，第二袋有5名男生和3名女生的国家专项审查表，第三袋有3名男生和2名女生的地方专项审查表．现从3袋中随机选择一袋，再从中随机抽取1份审查表，设“抽到第袋”（，2，3），“随机抽取一份，抽到女生的审查表”，则（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】对于选项A和B，利用古典概率公式即可判断出结果的正误；对于选项C，利用条件概率公式即可求出，从而判断出结果的正误；选项D，先求出，，，再利用全概率公式即可求，从而判断出结果的正误.【详解】选项A，易知，故选项A正确；选项B，因为，故选项B错误；选项C，因为，所以，故选项C正确；选项D，因为，，，所以，故选项D正确.故选：ACD.12.若，，，则（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】 【分析】记，，利用导数判断函数的单调性，从而可得，，，由此能判断，，的大小关系．【详解】记则，所以在单调递增，故，记，则，令，解得，故在上单调递减，故,即，即，故，记，则，故当时，，故在上是增函数，故，即，故，故，故选：BD【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式大小问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知的展开式中，各项系数之和为243，则二项式系数之和为____________．【答案】32【解析】【分析】令可得展开式各项系数之和，即可求出，从而得到其二项式系数之和. 【详解】令可得的展开式中，各项系数之和为，解得，所以二项式的展开式中，二项式系数之和.故答案为：14.已知圆：，直线：，则圆上的点到直线的距离最小值为____________．【答案】##【解析】【分析】由圆心到直线的距离减去半径可得结果.【详解】由，得圆心，半径，圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线的距离最小值为.故答案为：.15.已知，其中，则____________．【答案】【解析】分析】设，结合，两式平方相加，化简即可得答案.【详解】因为，所以，设①②，①的平方与②的平方相加可得：， 解得，因为，所以，即，故答案为：16.若有且只有1个零点，则实数____________．【答案】【解析】【分析】先讨论函数的零点情况，再由，令得，结合的零点情况即可求解.【详解】设，则，①当时，显然恒成立，无零点；②当时，令，得，时，，单调递减，时，，单调递增，所以恒成立，无零点；③当时，，令，得，时，，单调递减，时，，单调递增，所以恒成立，当且仅当时取等号，有唯一零点；④当时，时，，单调递减，时，，单调递增，由③可知，即恒成立，可得，即恒成立，所以， 又因为，，所以分别在，上存在唯一零点，此时共有两个零点；综上所述，当时，无零点；当时，有唯一零点为1；当时，有两个零点.令，得，即，令，则，因为有且只有1个零点，由上分析可知，只有且方程只有一个实根满足题意，即有唯一实根，令，，时，，单调递减，时，，单调递增，所以恒成立，当且仅当时，所以只有时满足题意.故答案为：四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知的内角，，的对边分别为，，，且．（1）求；（2）若，且，，成等差数列，求的周长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角的余弦公式结合诱导公式即可求出，再根据的范围即可得到答案；（2）根据等差数列定义得，再利用正弦定理进行角换边得，结合 余弦定理即可求出，最后即可求出周长.【小问1详解】由，得，又由，得，所以或，因为，所以，所以．【小问2详解】因为，，成等差数列，所以，由正弦定理可得：①由余弦定理可得：②由①②可得，所以所以.所以的周长为．18.“村”后，贵州“村超”又火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事——榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．为了解外地观众对“村超”赛事的满意度，从中随机抽取了200名进行调查，得到满意率为80%．（1）根据所给数据，完成2×2列联表；性别满意度合计满意不满意男性20女性40 合计（2）依据小概率值独立性检验，能否认为性别与满意度有关联？附，．0.0500.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828【答案】（1）答案见解析（2）小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为性别与满意度有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005．【解析】【分析】（1）根据总人数200以及满意率为80%．即可求解满意的人数，进而可求.（2）计算卡方，与临界值比较即可求解.【小问1详解】成2×2列联表如下性别满意度合计满意不满意男性12020140女性402060合计16040200【小问2详解】零假设：性别与满意度无关联根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为性别与满意度有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005． 19.在平面直角坐标系中，为坐标原点，椭圆：经过点，且离心率．（1）求标准方程；（2）经过原点的直线与椭圆交于，两点，是上任意点，设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，证明：是定值．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将已知点代入方程，再由离心率的定义可求方程；（2）因为直线过原点，设，，，由斜率公式化简可得.【小问1详解】依题意得：，解得．所以椭圆的标准方程为．【小问2详解】因为直线过原点，设，，．所以，，所以 又因为，，所以所以是定值．20.如图，在长方体中，，，点在长方体内（含表面）且满足．（1）当时，证明：平面；（2）当时，是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在，点为的中点【解析】【分析】（1）依题意可得，即可得到，从而得到点在，即可得到，从而得证；（2）依题意可得，建立空间直角坐标系，利用空间向量法得到方程，求出，即可得解.【小问1详解】因为，所以，所以，又因为， 所以，所以点在，所以，又因为平面，平面，所以平面．【小问2详解】因为，所以，所以，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，．所以，，，，，设平面的法向量为，则，所以，取，则，所以平面的一个法向量为．又因为直线与平面所成角的正弦值为，所以所以，解得或，因为点在长方体内，所以，所以， 所以，存在点为的中点，使得直线与平面所成角的正弦值为．21.已知函数的最小值为1．（1）求实数的值；（2）若，求实数的值．【答案】（1）（2）【解析】【小问1详解】函数的定义域为，且，当时，，则函数在上单调递增，不存在最小值．当时，令，则，所以时，；时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，即，设，则，令，即；令，即，所以函数在上单调递增，在上单调递减，又，所以.【小问2详解】 由（1）知，所以，令，则，所以，当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，又，所以，即，由（1）知，，且当时等号成立，所以，当时等号成立，所以，此时.22.已知数列的前项和为．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用可得答案；（2）由（1）可知，设的前项和为，利用错位相减可得，再求出等比数列的前项和可得答案.【小问1详解】当时，；当时， 所以，又，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以；【小问2详解】由（1）可知，设的前项和为，则，，两式相减得，，，两式相减得，，，又因为的前项和是，所以．