22.1.4 第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式课件

22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第二十二章二次函数第2课时用待定系数法求二次函数的解析式 情景引入给我几个点的坐标，我就能求出对应的二次函数解析式，你会吗？那有什么难的？不就和求一次函数解析式一样的吗？看到下面的对话，你还记得求一次函数解析式的方法吗？ 1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的解析式？2.求一次函数解析式的方法是什么？它的一般步骤是什么？2个2个待定系数法(1)设：解析式(2)代：坐标代入(3)解：方程(组)(4)还原：写出解析式 用一般式法求二次函数的解析式探究归纳问题(1)由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应满足什么条件？3个由两点(连线不与坐标轴垂直)的坐标，可以确定一次函数的解析式；类似地，由三点(不在同一条直线上)的坐标，可以确定二次函数的解析式.(2)如果一个二次函数的图象经过(−1，10)，(1，4)，(2，7)三点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式. 故所求二次函数解析式为y=2x2−3x+5.(2)解：设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c.由函数图象经过(−1，10)，(1，4)，(2，7)三点，得关于a，b，c的三元一次方程组解得 想一想确定二次函数的这三点应满足什么条件？任意三点不在同一直线上，其中两点的连线可垂直于y轴，但不可以垂直于x轴. 例1一个二次函数的图象经过(0，1)、(2，4)、(3，10)三点，求这个二次函数的解析式.解：设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c，由于这个函数经过点(0，1)，可得c=1.又由于其图象经过(2，4)、(3，10)两点，可得4a+2b+1=4，9a+3b+1=10.∴所求的二次函数的解析式是解得 这种已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法.其步骤是：①设函数解析式为y=ax2+bx+c；②代入已知的三点的坐标后得到一个三元一次方程组；③解方程组得到a，b，c的值；④把待定系数用所求得的值换掉，写出函数解析式.归纳总结一般式法求二次函数解析式的方法 练一练：下面是我们用描点法画二次函数的图象时所列表格的一部分：x−3−2−1012y010−3−8−15试求出这个二次函数的解析式. ①选取(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)三点，试求出这个二次函数的解析式.解：设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c，把(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)代入y=ax2+bx+c得9a-3b+c=0，a-b+c=0，c=-3.解得a=-1，b=-4，c=-3.∴所求的二次函数的解析式是y=-x2-4x-3.待定系数法步骤:1.设：解析式2.代：坐标代入3.解：方程(组)4.还原：写出解析式 已知二次函数y=a(x−1)2+4的图象经过点(−1，0)，求这个二次函数的解析式.试一试则函数解析式为y=−(x−1)2+4，即y=−x2+2x+3.解：把(−1，0)代入二次函数解析式得4a+4=0，即a=−1.已知顶点坐标，只需知一个点的坐标便能求出该二次函数的解析式用顶点法求二次函数的解析式 例2一个二次函数的图象经点(0，1)，它的顶点坐标为(8，9)，求这个二次函数的解析式.解：∵这个二次函数的图象的顶点坐标为(8，9)，∴可设其解析式为y=a(x-8)2+9.由其图象经过点(0，1)，可得1=a(0-8)2+9.解得∴所求的二次函数的解析式是即 归纳总结顶点法求二次函数的方法这种知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点法.其步骤是：①设函数解析式是y=a(x-h)2+k；②先代入顶点坐标，得到只含一个参数a的解析式；③将另一点的坐标代入解析式求出a的值；④将a用所求得的值换掉，写出函数解析式. 练一练已知一个二次函数有最大值4，当x＞5时，y随x的增大而减小；当x＜5时，y随x的增大而增大，且该函数图象经过点(2，1)，求该函数的解析式．解：由题意得该二次函数图象的顶点坐标为(5，4)，设解析式为y=a(x−5)2+4，把(2，1)代入，得1=9a+4，解得∴二次函数的解析式为当题目中有最值、对称轴等条件时，可由此得出顶点坐标，利用顶点式求解析式即 解：∵(-3，0)，(-1，0)是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点，∴可设这个抛物线解析式为y=a(x+3)(x+1).再把点(0，-3)代入上式得∴a(0+3)(0+1)=-3，解得a=-1.∴二次函数的解析式是y=-(x+3)(x+1)，即y=-x2-4x-3.问题选取(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求出这个二次函数的解析式.xyO12-1-2-3-4-2-41交点法求二次函数的解析式 归纳总结交点法求二次函数解析式的方法这种已知抛物线与x轴的交点，求解析式的方法叫做交点法.其一般步骤是：①设函数解析式为y=a(x-x1)(x-x2)(其中x1，x2分别是两交点的横坐标)；②将抛物线经过的第三点的坐标代入到解析式中，得到关于a的一元一次方程；③解方程得出a值；④将a用所求得的数值换掉，写出函数解析式. 例3分别求出满足下列条件的二次函数的解析式．(1)图象经过点A(1，0)，B(0，-3)，对称轴是直线x=2；解：∵图象经过点A(1，0)，对称轴是直线x=2，∴图象经过另一点(3，0).故可设该二次函数的解析式为y=a(x−1)(x−3).将点(0，−3)代入，得−3=a(0−1)(0−3)，解得a=−1.∴该二次函数的解析式为y=−(x−1)(x−3)=−x2+4x−3. (2)图象顶点坐标是(−2，3)，且过点(1，−3)；解：∵图象的顶点为(−2，3)，且经过点(1，−3)，∴可设抛物线的解析式为y=a(x+2)2+3.把(1，−3)代入，得a(1+2)2+3=−3.解得∴抛物线的解析式为即为 (3)如图，图象经过A，B，C三点．解：根据图象可知抛物线y=ax2+bx+c经过A(−1，0)，B(0，−3)，C(4，5)三点，代入可得解得∴该二次函数的解析式为y=x2−2x−3. 1.如图，平面直角坐标系中，函数图象的解析式应是y=ax2、y=ax2+k、y=a(x-h)2与y=a(x-h)2+k一样都是顶点式，只不过前三者是顶点式的特殊形式.注意xyO12-1-2-3-421-1345. 2.若抛物线过点(2，4)，且当x=1时，y有最值为6，则其解析式为.顶点坐标是(1，6)y=-2x2+4x+4 3.已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个二次函数的解析式．解：设这个二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c.依题意得∴这个二次函数的解析式为y＝2x2＋3x－4.a＋b＋c＝1.c＝－4，a－b＋c＝－5，解得b＝3，c＝－4.a＝2， 4.已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的解析式．解：∵点A(－1，0)，B(1，0)是抛物线与x轴的交点，∴可设此函数的解析式为y＝a(x＋1)(x－1)．又∵抛物线过点M(0，1)，∴1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1.∴所求抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－1)，即y＝－x2＋1. 5.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴交于点B，对称轴是x＝－3，请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；解：把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c，得16－4b＋c＝－3，即c＝4b－19.∵对称轴是x＝－3，∴＝－3，即b＝6.∴c＝5.∴抛物线的解析式是y＝x2＋6x＋5.xyOx=-3AB (2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积．解：∵CD∥x轴，∴点C与点D关于x＝－3对称．∵点C在对称轴左侧，且CD＝8，∴点C的横坐标为－7.∴点C的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.∵点B的坐标为(0，5)，∴△BCD中CD边上的高为12－5＝7.∴△BCD的面积为×8×7＝28.xyOx=-3AB ①已知三点坐标②已知顶点坐标或对称轴或最值③已知抛物线与x轴的两个交点已知条件选择适当的方法用一般式法：y=ax2+bx+c用顶点法：y=a(x-h)2+k用交点法：y=a(x-x1)(x-x2)(x1，x2为与x轴交点的横坐标)待定系数法求二次函数解析式