22.1.4 第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式导学案

第二十二章二次函数22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第2课时用待定系数法求二次函数的解析式学习目标：1.会用待定系数法求二次函数的解析式.2.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.重点：会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.难点：会用待定系数法求二次函数的解析式.自主学习一、知识链接1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的解析式？2.求一次函数解析式的方法是什么？它的一般步骤是什么？课堂探究二、要点探究探究点1：用一般式法求二次函数的解析式问题1（1）由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应满足什么条件？（2）如果一个二次函数的图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）三点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式.想一想确定二次函数的这三点应满足什么条件？典例精析例1一个二次函数的图象经过(0，1)、(2，4)、(3，10)三点，求这个二次函数的解析式. 归纳总结：一般式法求二次函数解析式的方法已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法.其步骤是：①设函数解析式为y=ax2+bx+c；②代入已知的三点的坐标后得到一个三元一次方程组；③解方程组得到a，b，c的值；④把待定系数用所求得的值换掉，写出函数解析式.练一练下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分，试求出这个二次函数的解析式.x－3－2－1012y010－3－8－15探究点2：用顶点法求二次函数的解析式试一试已知二次函数y=a(x-1)2+4的图象经过点(-1，0)．求这个二次函数的解析式.例2一个二次函数的图象经点(0，1)，它的顶点坐标为(8，9)，求这个二次函数的解析式.归纳总结：顶点法求二次函数的方法这种知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点法.其步骤是：①设函数解析式是y=a(x－h)2+k；②先代入顶点坐标，得到只含一个参数a的解析式；③将另一点的坐标代入解析式求出a的值；④将a用所求得的值换掉，写出函数解析式.练一练已知一个二次函数有最大值4，当x＞5时，y随x的增大而减小；当x＜5时，y随x的增大而增大，且该函数图象经过点(2，1)，求该函数的解析式． 探究点3：交点法求二次函数的解析式问题选取(－3，0)，(－1，0)，(0，－3)，试出这个二次函数的解析式.归纳总结：交点法求二次函数解析式的方法这种已知抛物线与x轴的交点，求解析式的方法叫做交点法.其步骤是：①设函数解析式是y=a(x－x1)(x－x2)(其中x1，x2分别是两交点的横坐标)；②讲抛物线经过的第三点的坐标代入到解析式中，得到关于a的一元一次方程；③解方程得出a值；④将a用所求得的数值换掉，写出函数解析式.例3分别求出满足下列条件的二次函数的解析式．（1）图象经过点A(1，0)，B(0，-3)，对称轴是直线x=2；（2）图象顶点坐标是(-2，3)，且过点(1，-3)；（3）如图，图象经过A，B，C三点．三、课堂小结待定系数法求二次函数解析式已知条件所选方法已知三点坐标用一般式法：y=ax2+bx+c已知顶点坐标或对称轴或最值用顶点法：y=a(x－h)2+k已知抛物线与x轴的两个交点用交点法：y=a(x－x1)(x－x2)(x1，x2为与x轴交点的横坐标) 当堂检测1.如图，平面直角坐标系中，函数图象的解析式应是.2.若抛物线过点(2，4)，且当x=1时，y有最值为6，则其解析式是.3.已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个二次函数的解析式．4.已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的解析式．5.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴交于点B，对称轴是x＝－3，请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积． 参考答案自主学习知识链接1.2个2个2.(1)设：（解析式）(2)代：（坐标代入）(3)解：方程（组）(4)还原：（写解析式）课堂探究二、要点探究探究点1：用一般式法求二次函数的解析式问题（1）3个由两点(连线不与坐标轴垂直)的坐标，可以确定一次函数的解析式；类似地，由三点(不在同一条直线上)的坐标，可以确定二次函数的解析式.（2）解：设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c.由已知，图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）三点，得关于a，b，c的三元一次方程组解得所求二次函数解析式为y=2x2-3x+5.想一想任意三点不在同一直线上(其中两点的连线可垂直于y轴，但不可以垂直于x轴).典例精析例1解：设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c，由于这个函数经过点(0，1)，可得c=1.又由于其图象经过(2，4)、(3，10)两点，可得解得∴所求的二次函数的解析式是练一练解：设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c，把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入y=ax2+bx+c得解得∴所求的二次函数的解析式是y=-x2-4x-3.探究点2：用顶点法求二次函数的解析式试一试解：把（-1，0）代入二次函数解析式得4a+4=0，即a=-1，则函数解析式为y=-(x-1)2+4即y=−x2+2x+3.例2解：因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8，9)，因此，可以设函数解析式为y=a(x-8)2+9.又由于它的图象经过点（0，1），可得1=a(0-8)2+9.解得a=∴所求的二次函数的解析式是y=即练一练解：由题意得，二次函数的顶点坐标为（5，4），设关系式为y=a(x-5)2+4，把(2，1)代入得，1=9a+4，解得a=∴二次函数的关系式为y=探究点3：用交点法求二次函数的解析式问题：解：∵(-3，0)、(-1，0)是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的解析式是y=a(x-x1)(x-x2).其中x1、x2为交点的横坐标.因此得y=a(x+3)(x+1).再把点（0，-3）代入上式得a(0+3)(0+1)=-3，解得a=-1，∴所求的二次函数的解析式是y=-(x+3)(x+1),即 y=-x2-4x-3.例3解：（1）∵图象经过点A(1，0)，对称轴是直线x=2，∴图象经过另一点(3，0).∴设该二次函数的解析式为y=a(x-1)(x-3).将点(0，-3)代入，得-3=a·(-1)(-3).解得a=-1.∴该二次函数的解析式为y=-(x-1)(x-3)=-x2+4x-3.（2）解：∵图象的顶点为(-2，3)，且经过点(1，-3)，设抛物线的解析式为y=a(x+2)2+3，把(1，-3)代入，得a(1+2)2+3=-3，解得a=∴抛物线的解析式为y=即为（3）根据图象可知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1，0），B（0，-3），C（4，5）三点，代入可得解得∴所求的二次函数的解析式是y=x2-2x-3.当堂检测1.2.y=-2x2+4x+43.解：设这个二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c．依题意得解得∴这个二次函数的解析式为y＝2x2＋3x－4.4.解：因为点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点，所以设二次函数的解析式为y＝a(x＋1)(x－1)．又因为抛物线过点M(0，1)，所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1，所以所求抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－1)，即y＝－x2＋1.5.解：(1)把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c得16－4b＋c＝－3，c－4b＝－19.∵对称轴是x＝－3，∴＝－3，∴b＝6，∴c＝5，∴抛物线的解析式是y＝x2＋6x＋5.(2)∵CD∥x轴，∴点C与点D关于x＝－3对称．∵点C在对称轴左侧，且CD＝8，∴点C的横坐标为－7，∴点C的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.∵点B的坐标为(0，5)，∴△BCD中CD边上的高为12－5＝7，∴S△BCD＝×8×7＝28.