2022年人教版九年级数学上册导学案：第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式

22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第2课时用待定系数法求二次函数的解析式一、新课导入1.导入课题:问题:如果一个二次函数的图象经过(-1,10),(1,4),(2,7)三点,能求出这个二次函数的解析式吗？板书课题：二次函数的解析式.2.学习目标:会用待定系数法求二次函数的解析式.3.学习重、难点:重点：用待定系数法求二次函数的解析式.难点：合理选用适当方法求二次函数的解析式.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：已知三点求二次函数的解析式.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：结合探究提纲完成探究任务.（4）自学参考提纲：①回忆一下用待定系数法求一次函数的解析式的一般步骤．求二次函数y=ax2+bx+c的解析式的关键是什么？②请仿照求一次函数的解析式的步骤，求图象经过(-1,10),(1,4),(2,7)三点二次函数的解析式.③总结用待定系数法设一般式求二次函数的解析式的一般步骤．2.自学：学生根据探究提纲完成探究.3.助学：（1）师助生：①明了学情：教师巡视课堂，了解学生的自学情况.②差异指导：根据学情进行相应指导.,（2）生助生：小组内同学相互交流研讨，纠错.4.强化：（1）已知三点坐标求二次函数解析式的一般步骤.（2）练习：已知抛物线经过点A（-1，0），B（4，5），C（0，-3），求抛物线的解析式.解：设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c.∵抛物线经过点A（-1，0）,B（4，5）,C（0，-3）.∴.解得∴抛物线的解析式为y＝x2-2x-31.自学指导:（1）自学内容：已知顶点求二次函数的解析式.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：结合探究提纲完成探究任务.（4）自学参考提纲：①图象顶点为(h,k)的二次函数的解析式是y=a(x-h)2+k，如果顶点坐标已知，那么求解析式的关键是什么？如何设解析式②已知抛物线顶点为(1,－4)，且又过点(2,－3)，求其解析式.设抛物线解析式为，抛物线过点（2,-3），则，则a=1.∴抛物线解析式为.③总结已知顶点坐标和一点，求二次函数的解析式的一般步骤.设解析式为y=a(x-h)2+k.将已知点坐标代入求a值得出解析式.2.自学:学生根据探究提纲完成探究.3.助学：（1）师助生：①明了学情：明了学生是否会设顶点式.,②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.（2）生助生：小组内相互交流、研讨、修正错误.4.强化：（1）已知顶点坐标求二次函数解析式的一般步骤.先设，再代值，求解（2）已知抛物线顶点为(2,3)，且又过点(0,1)，求其解析式.解：设其解析式为y=a(x-2)2+3,∵抛物线过点（0，1），则1=a(0-2)2+3,解得，∴其解析式为.1.自学指导：（1）自学内容：已知图象与x轴两交点坐标求二次函数的解析式.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：结合探究提纲完成探究任务.（4）自学参考提纲：一个二次函数，当自变量x＝0时，函数值y＝-1；当x＝-2与时，y＝0，求这个二次函数的解析式.①方法1：设y=a(x+2)(x-),再把x=0，y=-1代入其中求出a的值.方法2：设y=ax2+bx+c，由“x=0时，y=-1，x=-2与时，y=0”，列方程组求出a,b,c的值.两种方法的结果一样吗？哪种方法更简捷？②由①的探究结果，当二次函数的图象与x轴两交点为(x1,0)，(x2,0)时，可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三个点代入其中求a即得.③已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点(两点的纵坐标都为0)，与y轴交于点C（0，3），求这个二次函数的解析式.,∵图象与x轴交于A（1,0），B（3,0），∴设函数解析式为y＝a（x-1）（x-3）.∵图象过点（0,3），∴3=a（0-1）（0-3），解得a=1.∴二次函数解析式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3.2.自学：学生根据探究提纲完成探究.3.助学：（1）师助生：①明了学情：明了学生是否会设交点式.②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.（2）生助生：小组内相互交流、研讨、订正错误.4.强化：（1）已知图象与x轴两交点坐标求二次函数的解析式的一般步骤.（2）点一学生板演自学参考提纲第③题，并点评.1.自学指导：（1）自学内容：已知图象上关于对称轴对称的两点坐标求二次函数的解析式.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：结合探究提纲完成探究任务.（4）自学参考提纲：①已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1，1），B（3，1）两点，与y轴交于点C（0，3），求这个二次函数的解析式.方法1：设y=a(x-1)(x-3)+1,把C（0，3）代入其中求出a的值.方法2：把A（1，1），B（3，1），C（0，3）代入其中列方程组求a,b,c的值.两种方法的结果一样吗？两种方法哪一个更简捷？②由①的探究结果，当二次函数的图象经过两点(x1,k)，(x2,k)(两点的纵坐标相等)时，可设y=a(x-x1)(x-x2)+k，然后把第三个点代入其中求a即得.③已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（－1，3），（1，3），（2，6），求这个二次函数的解析式.设其解析式为y=a（x-1）（x+1）+3,∵图象经过点（2，6），,∴6=a（2-1）（2+1）+3，解得a=1.∴二次函数解析式为y=（x-1）（x+1）+3=x2+2.2.自学：学生根据探究提纲完成探究.3.助学：（1）师助生：①明了学情：明了学生是否会设对称式.②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.（2）生助生：小组内相互交流、研讨、修正错误.4.强化：（1）已知图象上关于对称轴对称的两点坐标，求二次函数的解析式的一般步骤.（2）点一学生板演自学参考提纲第③题，并点评.（3）练习：已知函数的图象过A（-2，2），B（1，2），C（0，3），求这个二次函数的解析式.解：设这个二次函数的解析式为y=a(x+2)(x-1)+2.∵图象过C(0，3).∴3=a(0+2)(0-1)+2,解得.∴这个二次函数的解析式为即.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？掌握了哪些解题技能和方法？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生学习的态度、积极性、学习方法、效果及存在的问题等.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）：在求解析式时应注意让学生灵活选用不同的方法，另外还要向学生渗透转化思想，即如何将相对复杂的一般式转化为其他解析式的形式.此外，对于用待定系数法求解析式，由于教材是选学内容，教师应让学生体验过程即可，关键是让学生灵活运用一般式、顶点式来求解析式.,(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（70分）1.(10分)如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A（-2，-2），且过点B（0，2），则y与x的函数关系式为（D）A.y=x2+2B.y=(x-2)2+2C.y=(x-2)2-2D.y=(x+2)2-22.(10分)抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过（1，2）和（-1，-6）两点，则a+c=-2．3.(10分)已知二次函数的图象经过点（4，－3），并且当x=3时有最大值4，则其解析式为.4.(40分)已知函数图象过已知三点，求出函数的解析式：（1）（-1，-1），（0，-2），（1，1）.y=2x2+x-2（2）（-1，0），（3，0），（1，-5）.二、综合应用（20分）5.(20分)如图所示，已知抛物线的对称轴是直线x=3，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是（8，0）、（0，4），求这个抛物线的解析式.解：由抛物线过A（8,0）及对称轴为直线x=3,知抛物线一定过点（-2，0）.设这个抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-8)，∵抛物线过点（0，4），∴4=a(0+2)(0-8)，解得.∴这个抛物线的解析式为三、拓展延伸（10分）6.(10分)已知抛物线顶点（1，16），且抛物线与x轴的两交点间的距离为8，求其解析式.解：由题意可知抛物线与x轴交点坐标为（5，0），（-3，0）,,设解析式为y=a(x-5)(x+3),∵抛物线过点（1，16），∴16=a(1-5)(1+3)，解得a=-1.∴抛物线的解析式为y=-(x-5)(x+3)=-x2+2x+15.