22.1.2 二次函数y=ax²的图象和性质课件

第二十二章二次函数22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 情境引入 二次函数y=ax2(a>0)的图象与性质画出y=x2的图象.合作探究x…-3-2-10123…y=x2……94101941.列表：在y=x2中自变量x可以取任意实数.列表表示几组对应值： 24-2-4O369xy2.描点：根据表中x，y的数值在坐标平面中描点(x，y).3.连线：如图，再用平滑的曲线顺次连接各点，就得到y=x2的图象．点击播放 -33O369xy对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点，它是抛物线的最低点，为(0，0).这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴.二次函数y=x2的图象是一条曲线，形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线y=x2.当取更多个点时，二次函数y=x2的图象如下： 根据你以往学习函数图象特征的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些特征，并与同伴交流.议一议xOy=x2y1.y＝x2的图象是一条抛物线；2.图象开口向上；3.图象关于y轴对称；4.顶点(0，0)；5.图象有最低点． 12-2O-114xy(-2，4)(-1，1)(2，4)(1，1)32问题：观察二次函数y=x2的图象，y随x的如何变化？从二次函数y=x2的图象可以看出：当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大. 例2在同一直角坐标系中，画出函数的图象．解：列表如下：x···−4−3−2−101234·········x···−2−1.5−1−0.500.511.52·········84.520.5084.520.584.520.5084.520.5 O-222464-48描点、连线，如图所示：xyy=2x2点击播放 (2)当a＞0时，二次函数y=ax2的图象开口大小有什么规律？O-222464-48xyy=2x2当a＞0时，a越大，开口越小.思考：(1)函数的图象与函数的图象相比，有什么共同点和不同点？共同点是开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，也是抛物线的最低点；不同点是开口大小不同，二次项系数大的开口反而小. 对于抛物线y=ax2(a＞0)：抛物线开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，即|a|越大，抛物线y=ax2的开口就越小.知识要点 在同一直角坐标系中，画出函数的图象．合作探究解：列表如下.x…−4−3−2−101234…y=-x2…………−9−4−10−1−9−4−8−2−0.50−8−4.5−2−0.5−4.5−16−16二次函数y=ax2(a＜0)的图象和性质 x···−2−1.5−1−0.500.511.52·········−4.5−8−2−0.50−8−4.5−2−0.5O−22-2-4-64−4-8描点、连线，如图所示.xyy=-2x2 思考(1)观察函数的图象，这些抛物线有什么相同点和不同点？−22-2-4-64−4-8xyy=-2x2O当a＜0时，a越小，抛物线的开口越小.共同点是开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点；不同点是开口大小不同，二次项系数越小，抛物线的开口越小.(2)当a＜0时，二次函数y=ax2的图象开口大小有什么规律？ 对于抛物线y=ax2(a＜0)：抛物线开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，即|a|越大，抛物线y=ax2的开口越小.知识要点 问题：观察图象，y随x的变化如何变化？y24-2-4O-3-6-9x从二次函数y=-x2的图象可以看出：当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小.(2，−4)(−2，−4)(3，−9)(−3，−9) y＝ax2a>0a<0图象开口方向与大小对称性顶点与最值增减性开口向上开口向下|a|越大，开口越小关于y轴对称，对称轴是直线x＝0顶点坐标是原点(0，0)当x=0时，y最小值=0当x=0时，y最大值=0在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减yOxyOx归纳总结 观察下列图象，抛物线y=ax2与y=−ax2(a＞0)的关系是什么？二次项系数互为相反数时，开口方向相反，开口大小相同，它们关于x轴对称.xyOy=ax2y=−ax2交流讨论 3.函数y=x2的图象的开口，对称轴是，顶点是，顶点是抛物线的最点；2.函数y=−3x2的图象的开口，对称轴是，顶点是，顶点是抛物线的最点；1.函数y=4x2的图象的开口，对称轴是，顶点是；向上向下y轴y轴(0，0)(0，0)4.函数y=−0.2x2的图象的开口，对称轴是____，顶点是.向上y轴(0，0)向下y轴(0，0)高低练一练 例3已知二次函数y=x2．(1)点A(2，4)在二次函数图象上吗？典例精析解：当x=2时，y=22=4，所以点A(2，4)在二次函数图象上.解：点A关于x轴的对称点B的坐标为(2，−4)，关于y轴的对称点C的坐标为(−2，4).(2)请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C的坐标； (3)点B、C在二次函数y=x2的图象上吗？在二次函数y=−x2的图象上吗？解：由(2)可知，B(2，−4)，C(−2，4).当x=2时，y=−22=−4，所以点B在二次函数y=−x2的图象上；当x=−2时，y=(−2)2=4，所以点C在二次函数y=x2的图象上． 例4已知y=(m+1)x是二次函数，且其图象开口向上，求m的值和函数解析式.m2+m解：依题意有m+1>0，①m2+m=2.②解②得m1=－2，m2=1.由①得m>－1.∴m=1.此时，二次函数的解析式为y=2x2. 已知是二次函数，且当x＞0时，y随x增大而增大，则k=.分析：是二次函数，即二次项的系数不为0，x的次数等于2.由于当x＞0时，y随x增大而增大，故二次项的系数大于0.因此，解得，k=2.2练一练 例5已知二次函数y＝ax2.(1)若a=2，点(−2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1_____y2(填“>”“＝”或“<”)；＜(2)若a＞0，点(2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1_____y2(填“>”“＝”或“<”)；(3)若a＜0，点(－2，y1)与(3，y2)，(5，y3)在此二次函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是___________.＜y1＞y2＞y3分析：(1)将x=-2，3分别代入y=2x2，得出y1，y2的值，再比较大小.(2)根据a＞0，当x＞0时，y随x的增大而增大得出结论.(3)画出草图，在图象上标出y1，y2，y3，直观得出结论. 方法归纳二次函数y=ax2中比较函数值的大小的方法：①直接代入法：将x的值分别代入函数解析式中，求出y值再比较大小，多用于a值确定的情况，如例5(1)；②性质判断法：结合二次函数的性质(增减性)及自变量x之间的大小关系，得出其对应y值的大小关系；多用于自变量x在对称轴同一侧的情况，如例5(2)；③草图法：画出二次函数的草图，描点，根据图象直接判断y值的大小.多用于a值不确定且x值不在对称轴同侧的情况，如例5(3). 1.函数y=5x2的图象的开口，对称轴为，顶点是；在对称轴的左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧，y随x的增大而.2.函数y=−3x2的图象的开口，对称轴为，顶点是；在对称轴的左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧，y随x的增大而.向上向下y轴y轴(0，0)(0，0)减小减小增大增大xxyyOO 3.如右图，观察函数y=(k-1)x2的图象，则k的取值范围是.xyk>14.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点.开口方向对称轴顶点向上向下向下向上y轴y轴y轴y轴(0，0)(0，0)(0，0)(0，0)O 5.若抛物线y=ax2(a≠0)过点(−1，2)，则(1)a的值是；(2)对称轴是，开口；(3)顶点坐标是，顶点是抛物线上的最点，抛物线在x轴的方（除顶点外）；(4)若A(x1,y1)，B(x2,y2)在这条抛物线上，且x1<x2<0，则y1y2.2y轴向上(0，0)低上＞ 6.已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，求实数m的取值范围．解：在二次函数y=x2中，当x=0时，y有最小值，且y最小值=0.∵当x≥m时，y最小值=0，∴m≤0． 7.已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．解：联立∴A(4，16)，B(−1，1)．∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4，∴S△ACO＝×4×4＝8，S△BOC＝×4×1＝2，∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10.B解得 如图，二次函数y＝2x2的图象经过点(0，0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和.能力提升解：∵二次函数y＝2x2的图象经过点C，∴当x＝2时，y＝2×22＝8.即BC=8.∵抛物线和长方形都是轴对称图形，且图中y轴为它们的对称轴， ∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.∴OA＝OB.∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积.对于此类求不规则图形的面积，可用等面积割补法，结合二次函数图象的对称性，将不规则图形转化为规则图形以方便求解.注意 二次函数y=ax2的图象及性质画法描点法在对称轴两侧对称取点图象抛物线轴对称图形性质重点关注4个方面开口方向及大小对称轴顶点坐标增减性