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22.1.2 二次函数y=ax²的图象和性质(人教版九年级数学上)

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22.1二次函数的图象和性质22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质一、教学目标【知识与技能】1.会用描点法画二次函数y=ax2的图象,理解抛物线的有关概念;2.掌握二次函数y=ax2的性质,能确定二次函数y=ax2的表达式.【过程与方法】通过画出简单的二次函数探索出二次函数y=ax2的性质及图象特征.【情感态度与价值观】使学生经历探索二次函数y=ax2图象性质的过程,培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】1.二次函数y=ax2的图象的画法及性质;2.能确定二次函数y=ax2的解析式.【教学难点】1.用描点法画二次函数y=ax2的图象,探索其性质;2.能依据二次函数y=ax2的有关性质解决问题.17/17\n五、课前准备课件、三角尺、铅笔等.六、教学过程(一)导入新课1.你们喜欢打篮球吗?(出示课件2)2.你们知道投篮时,篮球运动的路线是什么曲线?怎样计算篮球达到最高点时的高度?学生自主思考.(二)探索新知探究一:二次函数y=ax2的图象的画法出示课件4:画出二次函数y=x2的图象.学生分组画y=x2的图象,教师巡视,对于不正确的给予指导.⑴列表:在y=x2中自变量x可以是任意实数,列表表示几组对应值:x…-3-2-10123…y=x2…       … ⑵描点:根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y)(出示课件5)⑶连线:如图,再用平滑曲线顺次连接各点,就得到y=x2的图象.17/17\n当取更多个点时,函数y=x2的图象如下:(出示课件6)教师归纳:二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴.对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.出示课件7:画出二次函数y=-x2的图象.学生分组画y=-x2的图象,教师巡视,对于不正确的给予指导.⑴列表:x…-3-2-10123…y=-x2…       … ⑵描点:⑶连线:17/17\n探究二:二次函数y=ax2的图象性质出示课件8:教师问:根据你以往学习函数图象性质的经验,说说二次函数y=x2的图象有哪些性质,并与同伴交流.学生交流后,师生共同总结如下:1.y=x2的图象是一条抛物线;2.图象开口向上;3.图象关于y轴对称;4.顶点(0,0);5.图象有最低点.出示课件9:教师问:说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质,并与同伴交流.17/17\n学生交流后,师生共同总结如下:1.y=-x2的图象是一条抛物线;2.图象开口向下;3.图象关于y轴对称;4.顶点(0,0);5.图象有最高点.教师归纳:(出示课件10)二次函数y=ax2的图象性质:1.顶点都在原点(0,0);2.图像关于y轴对称;3.当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下.师生共同探究:观察下列图象,抛物线y=ax2与y=-ax2(a>0)的关系是什么?(出示课件11)17/17\n教师强调:二次项系数互为相反数,开口相反,大小相同,它们关于x轴对称.探究三:二次函数y=ax2的性质出示课件12:观察图形,y随x的变化如何变化?教师归纳:(出示课件13)对于抛物线y=ax2(a>0),当x>0时,y随x取值的增大而增大;当x<0时,y随x取值的增大而减小.师生共同探究:观察图形,y随x的变化如何变化?(出示课件14)17/17\n教师归纳:(出示课件15)对于抛物线y=ax2(a<0)当x>0时,y随x取值的增大而减小;当x<0时,y随x取值的增大而增大.出示课件16:在同一直角坐标系中,画出函数的图象.将全班同学进行适当分组,分别完成两个图象的画图,并结合图象给予恰当的描述.解:分别填表,再画出它们的图象,如图:x···-4-3-2-101234·········x···-2-1.5-1-0.500.511.52·········出示课件17:师生共同探究:二次函数的图象开口大小与a的大小有什么关系?17/17\n教师归纳:当a>0时,a越大,开口越小.出示课件18:在同一直角坐标系中,画出函数的图象.将全班同学进行适当分组,分别完成两个图象的画图,并结合图象给予恰当的描述.解:分别填表,再画出它们的图象,如图:x···-4-3-2-101234·········x···-2-1.5-1-0.500.511.52···17/17\n······出示课件19:师生共同探究:二次函数的图象开口大小与a的大小有什么关系?教师归纳:当a<0时,a越小(即a的绝对值越大),开口越小.对于抛物线y=ax2,|a|越大,抛物线的开口越小.师生共同完善认知:(出示课件20)17/17\n出示课件21:填一填:(1)函数y=4x2的图象的开口,对称轴是,顶点是;(2)函数y=-3x2的图象的开口,对称轴是,顶点是,顶点是抛物线的最点;⑶函数y=x2的图象的开口,对称轴是,顶点是,顶点是抛物线的最点;⑷函数y=-0.2x2的图象的开口,对称轴是,顶点是.学生独立思考后,口答如下:⑴向上;y轴;(0,0)⑵向下;y轴;(0,0);高⑶向上;y轴;(0,0);低⑷向下;y轴;(0,0)出示课件22:例已知y=(m+1)xm2+m是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解析式.学生自主思考后,师生共同解答如下:17/17\n解:依题意有:解②,得m1=-2,m2=1.由①,得m>-1.因此m=1.此时,二次函数为y=2x2.出示课件23:已知是二次函数,且当x>0时,y随x增大而增大,则k=.学生独立思考后,自主解答如下:解:是二次函数,即二次项的系数不为0,x的指数等于2.又因当x>0时,y随x增大而增大,即说明二次项的系数大于0.因此,,解得k=2.探究四:二次函数y=ax2的实际应用出示课件24:师生共同认知:二次函数y=ax2是刻画客观世界许多现象的一种重要模型.出示课件25:例已知正方形的周长为Ccm,面积为Scm2,(1)求S与C之间的二次函数关系式;(2)画出它的图象;17/17\n(3)根据图象,求出当S=1cm2时,正方形的周长;(4)根据图象,求出C取何值时,S≥4cm2.学生独立思考后,师生共同解答.(出示课件26)解:(1)∵正方形的周长为Ccm,∴正方形的边长为cm,∴S与C之间的关系式为S=;(2)作图如图:(3)当S=1cm2时,C2=16,即C=4cm;(4)若S≥4cm2,即≥4,解得C≥8,或c≤-8(舍去),因此C≥8cm.出示课件27:已知二次函数y=2x2.(1)若点(-2,y1)与(3,y2)在此二次函数的图象上,则y1_____y2;(填“>”“=”或“<”);(2)如图,此二次函数的图象经过点(0,0),长方形ABCD的顶点A、B在x轴上,C、D恰好在二次函数的图象上,B点的横坐标为2,求图中阴影部分的面积之和.17/17\n学生独立思考后,自主解答:(出示课件28)(2)解:∵二次函数y=2x2的图象经过点C,∴当x=2时,y=2×22=8.∵抛物线和长方形都是轴对称图形,且y轴为它们的对称轴,∴OA=OB,∴在长方形ABCD内,左边阴影部分面积等于右边空白部分面积,∴S阴影部分面积之和=2×8=16.教师总结如下:(出示课件29)二次函数y=ax2的图象关于y轴对称,因此左右两部分折叠可以重合,在二次函数比较大小中,我们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化区域中(全部为升或全部为降),根据图象中函数值高低去比较;对于求不规则的图形面积,采用等面积割补法,将不规则图形转化为规则图形以方便求解.(三)课堂练习(出示课件30-34)1.已知抛物线y=ax2(a>0)过点A(-2,y1),B(1,y2)两点,则下列关系式一定正确的是()A.y1>0>y2B.y2>0>y1C.y1>y2>0D.y2>y1>02.函数y=2x2的图象的开口,对称轴,顶点是;在对称轴的左侧,y随x的增大而,17/17\n在对称轴的右侧,y随x的增大而.3.函数y=-3x2的图象的开口,对称轴,顶点是;在对称轴的左侧,y随x的增大而,在对称轴的右侧,y随x的增大而.4.如图,观察函数y=(k-1)x2的图象,则k的取值范围是.5.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点:开口方向对称轴顶点坐标17/17\n6.已知二次函数y=x2,若x≥m时,y最小值为0,求实数m的取值范围.7.已知:如图,直线y=3x+4与抛物线y=x2交于A、B两点,求出A、B两点的坐标,并求出两交点与原点所围成的三角形的面积.参考答案:1.C2.向上;y轴;(0,0);减小;增大3.向下;y轴;(0,0);增大;减小4.k>15.开口方向对称轴顶点坐标向上y轴(0,0)向下y轴(0,0)向上y轴(0,0)向下y轴(0,0)6.解:在二次函数y=x2中,a=1>0因此当x=0时,y有最小值.∵当x≥m时,y最小值=0,∴m≤0.17/17\n7.解:由题意得解得因此两函数的交点坐标为A(4,16)和B(-1,1).∵直线y=3x+4与y轴相交于点C(0,4),即CO=4.两交点与原点所围成的三角形面积S△ABO=S△ACO+S△BOC.在△BOC中,OC边上的高就是B点的横坐标值的绝对值1;在△ACO中,OC边上的高就是A点的横坐标值的绝对值4.因此S△ABO=S△ACO+S△BOC=×4×1+×4×4=10.(四)课堂小结1.画二次函数y=ax2的图象时,有哪些地方是你需关注的?2.你是如何理解并熟记抛物线y=ax2的性质的?3.本节课你还存在哪些疑问?.(五)课前预习预习下节课(22.1.3第1课时)的相关内容.七、课后作业1.教材41页习题22.1第3,4题2.配套练习册内容八、板书设计:17/17\n九、教学反思:本课时的设计比较注重让学生动手操作,让学生通过画二次函数的图象初步掌握其性质,画图的过程中需注意引导学生与其他函数的图象与性质进行对比.本课的目的是要让学生通过动手操作,经历探索归纳的思维过程,逐步获得图象传达的信息,熟悉图象语言,进而形成函数思想.17/17

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所属: 初中 - 数学
发布时间:2022-09-07 11:00:06 页数:17
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文章作者:随遇而安

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