22.1.2 二次函数y=ax²的图象和性质导学案

第二十二章二次函数22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质学习目标：1.正确理解抛物线的有关概念.2.会用描点法画出二次函数y=ax2的图象，概括图象的特点.3.掌握二次函数y=ax2的图象和性质，并会应用.重点：正确理解抛物线的有关概念.难点：1.会用描点法画出二次函数y=ax2的图象，概括图象的特点.2.掌握形如y=ax2的二次函数图象的性质，并会应用其解决问题.自主学习一、知识链接1.什么叫二次函数？2.二次函数的一般形式是什么？怎么判断一个函数是不是二次函数？课堂探究二、要点探究探究点1：二次函数y=ax2(a＞0)的图象和性质合作探究画出二次函数y=x2的图象.要点归纳：二次函数y=x2的图象是一条曲线，形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线y=x2.议一议根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流. 问题观察二次函数y=x2的图象，y随x的变化如何变化？例2在同一直角坐标系中，画出函数，的图象．思考(1)函数，的图象与函数y=x2的图象相比，有什么共同点和不同点？(2)当a＞0时，二次函数y=ax2的图象有什么特点？知识要点：对于抛物线y=ax2(a＞0)，抛物线开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，即|a|越大，抛物线的开口越小.探究点2：二次函数y=ax2(a＜0)的图象和性质合作探究在同一直角坐标系中，画出函数，，的图象．思考(1)观察函数，，的图象，考虑这些抛物线有什么共同点和不同点？(2)当a＜0时，二次函数y=ax2的图象有什么特点？要点归纳：对于抛物线y=ax2(a＜0)，抛物线开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，即|a|越大，抛物线的开口越小. 问题观察二次函数y=－x2的图象，y随x的变化如何变化？交流讨论：抛物线y=ax2与y=－ax2(a＞0)的关系是什么？练一练1.函数的图象的开口，对称轴是，顶点是；2.函数的图象的开口，对称轴是，顶点是，顶点是抛物线的最点；3.函数的图象的开口，对称轴是，顶点是，顶点是抛物线的最点；4.函数的图象的开口，对称轴是，顶点是. 例3已知二次函数y=x2．(1)判断点A(2，4)在二次函数图象上吗？(2)请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C的坐标；(3)点B、C在二次函数y=x2的图象上吗？在二次函数y=－x2的图象上吗？例4已知是二次函数，且其图象开口向上，求m的值和函数解析式.练一练：已知是二次函数，且当x＞0时，y随x增大而增大，则k=.例5已知二次函数y＝ax2.(1)若a=2,点(-2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1_____y2；(填“>”“＝”或“<”)(2)若a＞0,点(2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1_____y2；(填“>”“＝”或“<”)(3)若a＜0,点(－2，y1)与(3，y2)，(5，y3)在此二次函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是___________.方法总结：二次函数y＝ax2中比较函数值的大小的方法：①直接代入法:将x的值分别代入函数解析式中,求出y值再比较大小,多用于a值确定的情况,如例5(1);②性质判断法:结合二次函数的性质(增减性)及自变量x之间的大小关系,得出其对应y值的大小关系；多用于自变量x在对称轴同一侧的情况,如例5(2)；③草图法：画出二次函数的草图,描点,根据图象直接判断y值的大小.多用于a值不确定且x值不在对称轴同侧的情况，如例5(3).二次函数y＝ax2的图象及性质画法描点法→在对称轴两侧对称取点图象抛物线→轴对称图形性质1.开口方向及大小；2.对称轴；3.顶点坐标；4.增减性三、课堂小结 当堂检测1.函数y=5x2的图象的开口，对称轴为，顶点是；在对称轴的左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧，y随x的增大而.2.函数y=－3x2的图象的开口，对称轴为，顶点是；在对称轴的左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧，y随x的增大而.3.如右图，观察函数y=(k－1)x2的图象，则k的取值范围是.4.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点.（1）（2）（3）（4）5.若抛物线y=ax2(a≠0)过点(－1，2)，则(1)a的值是；(2)对称轴是，开口；(3)顶点坐标是，顶点是抛物线上的最点.抛物线在x轴的方(除顶点外)；(4)若A(x1，y1)，B(x2，y2)在这条抛物线上，且x1<x2<0，则y1y2.6.已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，求实数m的取值范围．7.已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积． 能力提升如图，此二次函数y＝2x2的图象经过点(0，0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和．参考答案自主学习知识链接1.形如y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)的函数叫做二次函数.2.一般形式为y=ax2+bx+c(a≠0)，a，b，c分别是二次项系数、一次项系数和常数项.判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.二次函数的解析式是整式，化简后自变量的最高次数是2，且二次项的系数不为0.课堂探究二、要点探究探究点1：二次函数y=ax2(a＞0)的图象和性质典例精析例1解：列表如下：x…-3-2-10123…y=x2…9410149…描点，连线，如图所示.议一议答案不唯一.如：1.二次函数y=x2的图象是一条抛物线；2.图象开口向上；3.图象关于y轴对称；4.顶点(0，0)；5.图象有最低点．问题：从二次函数y=x2的图象可以看出：当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大． 例2解：列表如下：x…-4-3-2-101234…y=x2…84.520.500.524.58…x…-2-1.5-1-0.500.511.52…y=2x2…84.520.500.524.58…描点、连线，如图所示：思考（1）共同点是开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点也是抛物线的最低点；不同点是开口大小不同，x2的系数越大，抛物线的开口越小（2）当a＞0时，a越大，开口越小.知识要点对于抛物线y=ax2（a＞0），抛物线开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，即|a|越大，抛物线y=ax2的开口越小.探究点2：二次函数y=ax2(a＜0)的图象和性质合作探究x…-3-2-10123…y=-x2…-9-4-10-1-4-9…x…-4-3-2-101234…y=-x2…-8-4.5-2-0.50-0.5-2-4.5-8…x…-2-1.5-1-0.500.511.52…y=2x2…-8-4.5-2-0.50-0.5-2-4.5-8…描点、连线，如图所示： 思考（1）共同点是开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点；不同点是开口大小不同，x2的系数越小，抛物线的开口越小.（2）当a＜0时，a越小，抛物线开口越小.知识要点对于抛物线y=ax2（a＜0），抛物线开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，即|a|越大，抛物线y=ax2的开口越小.问题：从二次函数y=-x2的图象可以看出：当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小．交流讨论：二次项系数互为相反数，开口方向相反，开口大小相同，它们关于x轴对称.练一练1.向上y轴（0,0）2.向下y轴（0,0）高3.向上y轴（0,0）低4.向下y轴（0,0）例3解：（1）当x=2时，y=x2=4，所以A（2，4）在二次函数图象上；（2）点A关于x轴的对称点B的坐标为（2，-4），点A关于y轴的对称点C的坐标为（-2，4）；（3）由(2)可知，B(2，−4)，C(−2，4).当x=－2时，y=x2=4，所以点C在二次函数y=x2的图象上；当x=2时，y=－x2=－4，所以点B在二次函数y=－x2的图象上． 例4解:依题意有由①得:m>－1，解②得:m1=－2，m2=1.∴m=1，此时，二次函数的解析式为y=2x2.练一练2例5（1）<（2）＜（3）y1＞y2＞y3当堂检测1.向上y轴（0,0）减小增大2.向下y轴（0,0）增大减小3.k＞14.（1）开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0,0）.（2）开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0,0）.（3）开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0,0）.（4）开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0,0）.5.（1）2（2）y轴向上（3）（0,0）低上（4）＞6.解：∵二次函数y=x2，∴当x=0时，y有最小值，且y最小值=0，∵当x≥m时，y最小值=0，∴m≤0．7.解：联立解得或∴A(4，16)和B(－1，1)．∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.∴S△ACO＝×4×4＝8，S△BOC＝×4×1＝2，∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10.能力提升解：∵二次函数y＝2x2的图象经过点C，∴当x＝2时，y＝2×22＝8.即BC=8.∵抛物线和长方形都是轴对称图形，且图中y轴为它们的对称轴，∴OA＝OB，∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积，∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.