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第二十二章 二次函数
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22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质1教案(人教版九上)
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质1教案(人教版九上)
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22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质1.会用描点法画出y=ax2的图象,理解抛物线的概念.2.掌握形如y=ax2的二次函数图象和性质,并会应用. 一、情境导入自由落体公式h=gt2(g为常量),h与t之间是什么关系呢?它是什么函数?它的图象是什么形状呢?二、合作探究探究点一:二次函数y=ax2的图象【类型一】图象的识别已知a≠0,在同一直角坐标系中,函数y=ax与y=ax2的图象有可能是( )解析:本题进行分类讨论:(1)当a>0时,函数y=ax2的图象开口向上,函数y=ax图象经过一、三象限,故排除选项B;(2)当a<0时,函数y=ax2的图象开口向下,函数y=ax图象经过二、四象限,故排除选项D;又因为在同一直角坐标系中,函数y=ax与y=ax2的图象必有除原点(0,0)以外的交点,故选择C.方法总结:分a>0与a<0两种情况加以讨论,并且结合一些特殊点,采取“排除法”.【类型二】实际问题中图象的识别已知h关于t的函数关系式为h=gt2(g为正常数,t为时间),则函数图象为( ) 解析:根据h关于t的函数关系式为h=gt2,其中g为正常数,t为时间,因此函数h=gt2图象是受一定实际范围限制的,图象应该在第一象限,是抛物线的一部分,故选A.方法总结:在识别二次函数图象时,应该注意考虑函数的实际意义.探究点二:二次函数y=ax2的性质【类型一】利用图象判断二次函数的增减性作出函数y=-x2的图象,观察图象,并利用图象回答下列问题:(1)在y轴左侧图象上任取两点A(x1,y1),B(x2,y2),使x2<x1<0,试比较y1与y2的大小;(2)在y轴右侧图象上任取两点C(x3,y3),D(x4,y4),使x3>x4>0,试比较y3与y4的大小;(3)由(1)、(2)你能得出什么结论?解析:根据画出的函数图象来确定有关数值的大小,是一种比较常用的方法.解:(1)图象如图所示,由图象可知y1>y2,(2)由图象可知y3<y4;(3)在y轴左侧,y随x的增大而增大,在y轴右侧,y随x的增大而减小.方法总结:解有关二次函数的性质问题,最好利用数形结合思想,在草稿纸上画出抛物线的草图进行观察和分析以免解题时产生错误.【类型二】二次函数的图象与性质的综合题已知函数y=(m+3)xm2+3m-2是关于x的二次函数.(1)求m的值;(2)当m为何值时,该函数图象的开口向下?(3)当m为何值时,该函数有最小值?(4)试说明函数的增减性.解析:(1)由二次函数的定义可得故可求m的值.(2)图象的开口向下,则m+3<0;(3)函数有最小值,则m+3>0;(4)函数的增减性由函数的开口方向及对称轴来确定.解:(1)根据题意,得解得∴当m=-4或m=1时,原函数为二次函数.(2)∵图象开口向下,∴m+3<0,∴m<-3,∴m=-4.∴当m=-4时,该函数图象的开口向下.(3)∵函数有最小值,∴m+3>0,m>-3,∴m=1,∴当m=1时,原函数有最小值. (4)当m=-4时,此函数为y=-x2,开口向下,对称轴为y轴,当x<0时,y随x的增大而增大;当x>0时,y随x的增大而减小.当m=1时,此函数为y=4x2,开口向上,对称轴为y轴,当x<0时,y随x的增大而减小;当x>0时,y随x的增大而增大.方法总结:二次函数的最值是顶点的纵坐标,当a>0时,开口向上,顶点最低,此时纵坐标为最小值;当a<0时,开口向下,顶点最高,此时纵坐标为最大值.考虑二次函数的增减性要考虑开口方向和对称轴两方面的因素,因此最好画图观察.探究点三:确定二次函数y=ax2的表达式【类型一】利用图象确定y=ax2的解析式一个二次函数y=ax2(a≠0)的图象经过点A(2,-2)关于坐标轴的对称点B,求其关系式.解析:坐标轴包含x轴和y轴,故点A(2,-2)关于坐标轴的对称点不是一个点,而是两个点.点A(2,-2)关于x轴的对称点B1(2,2),点A(2,-2)关于y轴的对称点B2(-2,-2).解:∵点B与点A(2,-2)关于坐标轴对称,∴B1(2,2),B2(-2,-2).当y=ax2的图象经过点B1(2,2)时,2=a×22,∴a=,∴y=x2;当y=ax2的图象经过点B1(-2,-2)时,-2=a×(-2)2,∴a=-,∴y=-x2.∴二次函数的关系式为y=x2或y=-x2.方法总结:当题目给出的条件不止一个答案时,应运用分类讨论的方法逐一进行讨论,从而求得多个答案.【类型二】二次函数y=ax2的图象与几何图形的综合应用已知二次函数y=ax2(a≠0)与直线y=2x-3相交于点A(1,b),求:(1)a,b的值;(2)函数y=ax2的图象的顶点M的坐标及直线与抛物线的另一个交点B的坐标.解析:直线与函数y=ax2的图象交点坐标可利用方程求解.解:(1)∵点A(1,b)是直线与函数y=ax2图象的交点,∴点A的坐标满足二次函数和直线的关系式,∴∴(2)由(1)知二次函数为y=-x2,顶点M(即坐标原点)的坐标为(0,0),由-x2=2x-3,解得x1=1,x2=-3,∴y1=-1,y2=-9,∴直线与抛物线的另一个交点B的坐标为(-3,-9).【类型三】二次函数y=ax2的实际应用 如图所示,有一抛物线形状的桥洞.桥洞离水面最大距离OM为3m,跨度AB=6m.(1)请你建立适当的直角坐标系,并求出在此坐标系下的抛物线的关系式;(2)一艘小船上平放着一些长3m,宽2m且厚度均匀的矩形木板,要使小船能通过此桥洞,则这些木板最高可堆放多少米?解析:可令O为坐标原点,平行于AB的直线为x轴,建立平面直角坐标系,则可设此抛物线函数关系式为y=ax2.由题意可得B点的坐标为(3,-3),由此可求出抛物线的函数关系式,然后利用此抛物线的函数关系式去探究其他问题.解:(1)以O点为坐标原点,平行于线段AB的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线的函数关系式为y=ax2.由题意可得B点坐标为(3,-3),∴-3=a×32,解得a=-,∴抛物线的函数关系式为y=-x2.(2)当x=1时,y=-×12=-.∵OM=3,∴木板最高可堆放3-=(米).方法总结:解决实际问题时,要善于把实际问题转化为数学问题,即建立数学模型解决实际问题的思想.三、板书设计教学过程中,强调学生自主探索和合作交流,在操作中探究二次函数y=ax2的图象与性质,体会数学建模的数形结合的思想方法.
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