四川省内江市第一中学2022-2023学年高三理科数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

2022年高三内江一中10月月考数学试题（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A＝{x|x2﹣25＜0}，B＝{x|x2﹣4x+3＜0}，则A∩B＝（）.A.{x|3＜x＜5}B.{x|﹣5＜x＜5}C.{x|1＜x＜3}D.{x|﹣5＜x＜1}【答案】C【解析】【分析】求出集合A，B，再由交集定义求出．【详解】∵集合，，∴．故选：C．2.复数的共轭复数是（其中为虚数单位），则的虚部是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由复数的共轭复数求出复数，再由虚部的定义即可求解.【详解】复数的共轭复数是，所以，所以的虚部是，故选：D.3.已知随机变量服从正态分布，，则（）A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8【答案】A【解析】【分析】利用正态分布的性质即可得出结果.【详解】因为随机变量服从正态分布，，所以，. 故选：A4.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A.新农村建设后，种植收入减少B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A【解析】【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.【详解】设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；故选A.点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.5.若满足约束条件，则的最大值为 A.B.C.13D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：作出可行域，如图内部（含边界），作直线，易知向上平移直线时，增大，当过点时，取得最大值．故选A．考点：简单的线性规划问题．6.已知，，且与的夹角为，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.【详解】因为，，且与的夹角为，由平面向量数量积的定义可得，因此，.故选：A.7.已知，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的余弦公式，计算求得结果． 【详解】解：由题意可知，，故选：A.8.函数的部分图象如图所示，则（）A.1B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数图象易知，即可求出，再根据，而，根据三角函数的性质即可知．【详解】由图象知，，又，，所以.故选：A.9.某市决定派出6个医疗小组驰援某地甲、乙、丙三个地区，每个地区分配2个医疗小组，其中A医疗小组必须去甲地，则不同的安排方法种数为（）A.30B.60C.90D.180【答案】A【解析】【分析】利用分步乘法计数原理先分组再分配即可求解.【详解】根据题意，分2步进行：①将6个医疗小组平均分成3组，每组2支医疗队，有种分组方法；②将甲所在的小组安排到甲地，其他两个小组安排到乙、丙两地，有种情况，则有种不同的安排方法. 故选：A.10.设，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】构造函数，导数判断其单调性，由此确定的大小.【详解】方法一：构造法设，因为，当时，，当时，所以函数在单调递减，在上单调递增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，设，则,令，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，所以当时，，所以当时，，函数单调递增，所以，即，所以故选：C.方法二：比较法解：，，，①，令 则，故在上单调递减，可得，即，所以；②，令则，令，所以，所以在上单调递增，可得，即，所以在上单调递增，可得，即，所以故11.已知偶函数的定义域为，导函数为，，，则不等式的解集为（）A.或B.或C.或D.或【答案】D【解析】【分析】设得出为偶函数，再由得出的单调性，不等式可化为，进而由的单调性、奇偶性结合，从而得出不等式的解集.【详解】设，则易知为偶函数又则当时，函数为增函数 当时，函数为减函数又，不等式可化为即，所以或，所以不等式的解集为或故选：D.【点睛】求解本题有三个难点：一是构造函数；二是确定函数的单调性；三是将原不等式转化为，且求出，再通过单调性求解.解题过程环环相扣，有一处出现错误，就不能得出正确结果.12.已知函数若函数有三个零点，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】将问题转化为与图象有三个交点，分析分段函数的性质并画出图象，即可确定k的范围.【详解】由题意，与图象有三个交点，当时，，则，∴在上，递增，在上，递减，∴时，有最大值，且在上，在上.当时，单调递增，∴图象如下 ∴由图知：要使函数有三个零点，则.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在的展开式中，的系数为__________.【答案】28【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式，即可求得答案.【详解】由题意得的展开式的通项为，令，则的系数为，故答案为：2814.已知函数是奇函数，则___________.【答案】【解析】【分析】根据函数为奇函数，求出当时的解析式，进而求出.【详解】因为当时，，所以.因为是奇函数，所以，所以当x<0时，，则，所以. 故答案为：15.在中，内角所对的边分别是，已知，，的面积为，则的值为______，_______.【答案】①.②.4.【解析】【分析】由条件利用正弦定理求得，，再由余弦定理求得的值，利用同角三角函数基本关系式求得的值，根据三角形的面积公式可求，进而可求的值．【详解】解：在中，∵，，∴，∴由①②可得.∴由余弦定理可得＝＝，∴＝，又∵的面积为＝，解得，③∴由②③解得，可得故答案为：，4.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想．16.已知函数是上的奇函数，对任意，都有成立，当，且时，都有，有下列四个结论：①②点是函数图象的一个对称中心；③函数在上有2023个零点； ④函数在上为减函数；则所有正确结论的序号为___________.【答案】①②③【解析】【分析】结合函数的奇偶性、单调性、周期性对个结论进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意是定义在上的奇函数，由于当，且时，都有，即所以在区间上递增，由，以替换得，由，令得，所以，所以，所以是周期为的周期函数.所以，，以此类推可知，，，以此类推可知，所以，①正确.由上述分析可知，所以，所以关于对称，结合是周期为的周期函数可知关于点对称，②正确.对于③，由，以替换得， 所以关于直线对称，是奇函数，，在上递增在上递增；则在上递减.结合是周期为的周期函数，以及，可知函数在上有2023个零点，③正确.对于④，结合上述分析可知，在上递增，在上递减.由于是周期为周期函数，所以在，即上递增，所以④错误.故答案为：①②③三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生依据要求作答.（一）必考题：共60分.17.致敬百年，读书筑梦，某学校组织全校学生参加“学党史颂党恩，党史网络知识竞赛”活动．并对某年级的100位学生竞赛成绩进行统计，得到如下人数分布表．规定：成绩在内，为成绩优秀．成绩人数510152520205（1）根据以上数据完成列联表，并判断是否有90%把握认为此次竞赛成绩与性别有关；优秀非优秀合计男10女35合计（2）某班级实行学分制，为鼓励学生多读书，推出“读书抽奖额外赚学分”趣味活动方案：规定成绩达到优秀的同学，可抽奖2次，每次中奖概率为（每次抽奖互不影响，且的值等于成绩分布表中不低于80分的人数频率），中奖1次学分加5分，中奖2次学分加10分．若学生甲成绩在 内，请列出其本次读书活动额外获得学分数的分布列并求其数学期望．参考公式：，．附表：0.1500.1000.0500.0100.0052.0722.7063.8416.6357.879【答案】（1）列联表见解析，没有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关（2）分布列见解析，期望值为2.5分【解析】【分析】（1）根据成绩分段表得到优秀人数，结合列联表中的男生优秀人数求得女生优秀人数，然后可以完成列联表；根据列联表数据，利用公式计算K2的观测值k0，与相应临界值比较即可得到结论；（2）先根据成绩分段表求得p值，然后利用二项分布列计算X的各个取值的概率，列出分布列，根据分布列计算期望即可.【小问1详解】优秀非优秀合计男104050女153550合计2575100假设:此次竞赛成绩与性别无关.,所以没有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关；【小问2详解】p, P(X=0)=P(X=5)=,P(X=10)=,X的分布列为：X0510P期望值E(X)=5×+10×=2.5（分）18.函数在点处切线斜率为．（1）求实数a的值；（2）求的单调区间和极值．【答案】（1）3；（2）增区间为，减区间为．极小值，无极大值．【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，导数值为切线的斜率求出实数的值；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间和极值.【详解】解：（1）函数的导数为，在点处的切线斜率为，，即，；（2）由（1）得，，令，得，令，得，即的增区间为，减区间为．在处取得极小值，无极大值．【点睛】本题考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值问题，属于容易题．19.已知函数.(1)求函数的单调递增区间；(2)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，求的面积. 【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）＝2sin（2x），利用正弦函数的单调性即可求解其单调递增区间．（2）由题意可得sin（2A）＝1，结合范围2A∈（，），可求A的值，由正弦定理可得a，由余弦定理b，进而根据三角形的面积公式即可求解．【详解】（1）∵sin2x﹣cos2x＝2sin（2x），令2kπ2x2kπ，k∈Z，解得kπx≤kπ，k∈Z，∴函数f（x）的单调递增区间为：[kπ，kπ]，k∈Z．（2）∵f（A）＝2sin（2A）＝2，∴sin（2A）＝1，∵A∈（0，π），2A∈（，），∴2A，解得A，∵C，c＝2，∴由正弦定理，可得a，∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得6＝b2+4﹣2，解得b＝1，（负值舍去），∴S△ABCabsinC（1）．【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的单调性，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．20.设等差数列的前n项和为，且．（1）求； （2）记，数列的前n项和为，求证：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用基本量法求解即可；（2）由（1）有，再裂项求和证明即可【小问1详解】设数列的首项为，公差为d，由，得，解得．【小问2详解】证明：，．21.已知函数.（1）若函数在定义域上的最大值为1，求实数的值；（2）设函数，当时，对任意的恒成立，求满足条件的实数的最小整数值.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）先对函数求导，得到，分别讨论， 两种情况，判定函数单调性，根据函数的最大值，即可求出结果；（2）先由题意，将问题转化为：得到，对任意的恒成立；再由，转化为：只需对任意的恒成立即可，令，用导数的方法求其最大值，即可得出结果.【详解】（1）由题意，函数的定义域为，当时，，在区间上单调递增，∴在定义域上无最大值．当时，令，，由，得，，，的单调递增区间为，的单调递减区间为，所以函数，即为所求．（2）由，因为对任意的恒成立，即，当时，对任意的恒成立，∵，．∴，只需对任意的恒成立即可．构造函数，，∵，∴，且单调递增， ∵，，∴一定存在唯一的，使得即，．∴单调递增区间为，单调递减区间为．∴，∴的最小整数值为．【点睛】本题主要考查已知函数最值求参数的问题，以及导数的方法研究不等式恒成立的问题，属于常考题型.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）已知射线分别交曲线，于两点，若是线段的中点，求的值.【答案】（1）的极坐标方程为，的极坐标方程为；（2）.【解析】【分析】（1）先将曲线化为普通方程，然后再化为极坐标方程，曲线直接利用公式化为极坐标方程即可；（2）根据极径的几何意义，建立极径之间的关系，再通过三角恒等变换求解即可.【详解】（1）因为曲线的普通方程为，所以曲线的极坐标方程为(写成也给分).因为曲线的普通方程为，即， 所以曲线的极坐标方程为，即.（2）设，，则，，因为是线段的中点，所以，即，整理得，所以，因为，所以，所以，所以.23.已知函数．（1）若，求不等式的解集；（2）若，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）或．【解析】【分析】（1）根据绝对值的定义分类讨论去掉绝对值符号后求解；（2）由绝对值三角不等式求得的最小值，然后解相应不等式可得．【详解】解：（1）若，则，原不等式可化为：则或或即或或综上，不等式的解集是；(2)不等式对任意实数x都成立，即恒成立，又由绝对值三角不等式：（当且仅当时，等号成立）所以只需，解得或．