初升高数学全体系衔接专题20 全称量词与存在量词（教师版）

专题20全称量词与存在量词学习目标1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定知识精讲高中必备知识点1：全称量词与全称命题(1)短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题．(2)全称命题的表述形式：对M中任意一个x，有p(x)成立，可简记为：∀x∈M，p(x)．(3)常用的全称量词还有“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示整体或全部的含义．高中必备知识点2：存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做特称命题．(2)特称命题的表述形式：存在M中的一个x0，使p(x0)成立，可简记为，∃x0∈M，p(x0)．(3)存在量词：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”，表示个别或一部分的含义．高中必备知识点3：命题的否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x0∈M，¬p(x0)，全称命题的否定是特称命题．(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x)，特称命题的否定是全称命题．高中必备知识点4：常见的命题的否定形式 原语句是都是>至少有一个至多有一个对任意x∈A使p(x)真否定形式不是不都是≤一个也没有至少有两个存在x∈A使p(x)假典例剖析高中必会题型1：全称量词命题和存在量词命题的判断1．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.（1）任何一个实数除以1，仍等于这个数；（2）至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；（3），；（4），.【答案】（1）全称量词命题；（2）存在量词命题；（3）全称量词命题；（4）存在量词命题.（1）命题中含有全称量词“任何一个”，故是全称量词命题.（2）命题中含有存在量词“至少有一个”，是存在量词命题.（3）命题中含有全称量词“”，是全称量词命题.（4）命题中含有存在量词“”，是存在量词命题.2．用符号“”“”表达下列命题.（1）实数都能写成小数的形式；（2）存在一实数对，使成立；（3）任意实数乘，都等于它的相反数；（4）存在实数x，使得.【答案】答案见解析.解：（1），能写成小数形式；（2），使； （3）；（4）.3．将下列命题用“”或“”表示．（1）实数的平方是非负数；（2）方程至少存在一个负根.【答案】（1），；（2），．（1）原命题为全称命题，可改写为“，”；（2）原命题为特称命题，可改写为“，”.4．判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题．（1）凸多边形的外角和等于360°；（2）有的向量方向不定；（3）若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．（4）存在二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴无交点．【答案】（1）全称量词命题；（2）存在量词命题；（3）全称量词命题；（4）存在量词命题．解：（1）可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题．（2）含有存在量词“有的”，故是存在量词命题．（3）若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题．（4）含有量词“存在”，是存在量词命题．5．判断下列语句是否为全称量词命题或存在量词命题.（1）所有不等式的解集A，都满足A⊆R；（2）有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；（3）对任意a，b∈R，若a>b，则；（4）自然数的平方是正数.【答案】（1）全称量词命题；（2）是存在量词命题；（3）全称量词命题；（4）全称量词命题.（1）命题中强调全称量词“所有”，所以该命题为全称量词命题；（2）命题中强调存在量词“有些”，所以该命题为存在量词命题；（3）命题中强调全称量词“任意”，所以该命题为全称量词命题； （4）该命题实质是“任意一个自然数的平方都是正数”，强调全称量词“任意”，所以该命题为全称量词命题.高中必会题型2：全称量词命题与存在量词命题真假判断1．指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假.（1），是奇数；（2），使；（3）能被整除的整数末位数是；【答案】（1）是全称命题，真命题；（2）是特称命题，假命题；（3）是全称命题，假命题.解:（1）是全称命题，因为，都是奇数，所以该命题是真命题.（2）是特称命题.因为不存在，使成立，所以该命题是假命题.（3）是全称命题.因为能被5整除，但末位数不是0，因此该命题是假命题.2．用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题，并判断真假：（1）实数都能写成小数形式.（2）有的有理数没有倒数.（3）不论m取什么实数，方程x2+x-m=0必有实根.（4）存在一个实数x，使x2+x+4≤0.【答案】答案见解析.（1）∀a∈R，a都能写成小数形式，此命题是真命题.（2）∃x∈Q，x没有倒数，有理数0没有倒数，故此命题是真命题.（3）∀m∈R，方程x2+x-m=0必有实根.当m=-1时，方程无实根，是假命题.（4）∃x∈R，使x2+x+4≤0.x2+x+4=+>0恒成立，所以为假命题.3．判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题，并判断真假（1）凸多边形的外角和等于360°； （2）有的梯形对角线相等；（3）对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；（4）有一个函数，图象是直线；（5）若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直.【答案】（1）（3）（5）是全称量词命题；（2）（4）是存在量词命题；（1）（2）（3）（4）（5）是真命题.（1）凸多边形的外角和等于360°表示所有凸多边形的外角和等于360°，所以是全称量词命题，由多边形的外角和定理可知此命题为真命题；（2）有的梯形对角线相等表示一部分的含义，所以是存在量词命题，如等腰梯形的对角线相等，所以是真命题；（3）对任意角α，表示全部的含义，所以是全称量词命题，由同角三角函数的关系可知是真命题；（4）有一个函数表示部分含义，所以是存在量词命题，如一次函数的图像是直线，所以此命题是真命题；（5）表示所有的菱形，所以是全称量词命题，由菱形的性质可知是真命题，综上，（1）（3）（5）是全称量词命题；（2）（4）是存在量词命题；（1）（2）（3）（4）（5）是真命题.4．判断下列命题是不是全称量词命题，如果是，指出其中的全称量词，并判断真假：（1）所有正方形都是平行四边形；（2）能被5整除的整数末位数字为0.【答案】答案见解析（1）是全称量词命题，全称量词为“所有”，是真命题；（2）是全称量词命题，其中省略了全称量词“所有”，是假命题.5．用符号“∀”或“∃”表示下面的命题，并判断真假:（1）实数的平方大于或等于0；（2）存在一对实数(x，y)，使2x-y+1<0成立.【答案】（1）∀x∈R，有x2≥0，是真命题；（2）∃(x，y)，x∈R，y∈R，使2x-y+1<0，是真命题.（1）这是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的”.改写后命题为:∀x∈，有x2≥0，是真命题.（2）改写后命题为:∃(x，y)，x∈，y∈，使2x-y+1<0，是真命题.如x=0，y=2时，2x-y+1=0-2+1=-1<0成立. 高中必会题型3：含有一个量词的命题的否定1．已知命题p：“∀x∈R，x2＞0”，则：__．【答案】∃x∈R，x2≤0．解：p：“∀x∈R，x2＞0”，则：∃x∈R，x2≤0，故答案为：∃x∈R，x2≤0．2．命题“存在实数x，y，使得x+y>1”，用符号表示为_______，此命题的否定是_____，是_____(填“真”或“假”)命题.【答案】∃x0，y0∈R，x0+y0>1；∀x，y∈R，x+y≤1；假此命题用符号表示为∃x0，y0∈R，x0+y0>1，此命题的否定是∀x，y∈R，x+y≤1，原命题为真命题，所以它的否定为假命题.3．命题“”的否定为________．【答案】因为特称命题的否定为全称命题，所以“”的否定为“”.故答案为：.4．若命题，方程恰有一解，则：_______.【答案】，方程无解或至少有两解.因为的否定为，方程恰有一解的否定为方程无解或至少有两解，所以，方程无解或至少有两解，故答案为，方程无解或至少有两解.5．命题“∀x∈Z，x2+2x+m＞0”的否定是________．【答案】∃x∈Z，x2+2x+m≤0因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题“∀x∈Z，x2+2x+m＞0”的否定是：∃x∈Z，x2+2x+m≤0．故答案为：∃x∈Z，x2+2x+m≤0．高中必会题型4：根据命题的真假求参数1．已知命题存在实数，使成立.（1）若命题P为真命题，求实数a的取值范围；（2）命题任意实数，使恒成立.如果p，q都是假命题，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.解：（1）存在实数，使成立或，实数a的取值范围为；（2）任意实数，使恒成立，，，，由题p，q都是假命题，那它们的补集取交集，实数a的取值范围.2．已知命题p：“至少存在一个实数，使不等式成立”的否定为假命题，试求实数a的取值范围．【答案】由题意知，命题p为真命题，即在上有解，令，所以，又因为最大值在或时取到，∴只需或时，即可，∴或，解得或，即．故实数a的取值范围为． 3．令p(x)：ax2+2x+1＞0，若对∀x∈R，p(x)是真命题，求实数a的取值范围．【答案】（1，+∞）∵p(x)：ax2+2x+1＞0，若对∀x∈R，p(x)是真命题，即ax2+2x+1＞0对任意实数恒成立，当时，，不符合题意；当时，，解得.故实数a的取值范围为（1，+∞）4．已知，，，，若，都是真命题，求实数的取值范围．【答案】[－2，－1)，，若真，可得，而，时，取得最小值，则；，，若真，可得△，解得．若，都是真命题，可得，则．故的取值范围是，．5．若对于一切且，都有，求实数的取值范围．【答案】若，由得；若，由得.若对于一切且，都有，则实数的取值范围是．对点精练 1．设非空集合P，Q满足P∩Q=Q且P≠Q，则下列命题是假命题的是（）A．∀x∈Q，有x∈PB．∃x∈P，有x∉QC．∃x∉Q，有x∈PD．∀x∉Q，有x∉P【答案】D因为P∩Q=Q且P≠Q，所以集合Q是集合P的真子集，所以集合Q中的元素都是集合P的元素，但是集合P中有元素集合Q中是没有的，所以A，B，C正确，D错误.故选：D2．下列命题中，存在量词命题的个数是（）①实数的绝对值是非负数；②正方形的四条边相等；③存在整数n，使n能被11整除.A．1B．2C．3D．0【答案】A①可改写为，任意实数的绝对值是非负数，故为全称量词命题；②可改写为：任意正方形的四条边相等，故为全称量词命题；③是存在量词命题.故选：A3．将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称量词命题是（）A．∃a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2B．∃a<0，b>0，a2+b2+2ab=(a+b)2C．∀a>0，b>0，a2+b2+2ab=(a+b)2D．∀a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2【答案】D命题对应的全称量词命题为：∀a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2.故选：D4．“对于任意a>0，关于x的方程x3+ax+1=0至多有三个实数根”的否定是()A．对于任意a≤0，关于x的方程x3+ax+1=0至多有三个实数根B．对于任意a>0，关于x的方程x3+ax+1=0至少有四个实数根C．存在a>0，关于x的方程x3+ax+1=0至多有三个实数根 D．存在a>0，关于x的方程x3+ax+1=0至少有四个实数根【答案】D选D.全称量词“任意”改为存在量词“存在”，另一方面“至多有三个”的否定是“至少有四个”.故选：D5．下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是（）A．斜三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数，使C．任一无理数的平方必是无理数D．存在一个负数，使【答案】B对于A，命题可改写为：对于任意斜三角形，其内角均为锐角或钝角，为全称命题，A错误；对于B，命题可改写为：存在一个实数，使得，为特称命题，且为真命题，B正确；对于C，命题可改写为：对于任意一个无理数，其平方均为无理数，为全称命题，C错误；对于D，命题为特称命题，但当时，，命题为假命题，D错误.故选：B.6．命题“”的否定是（）A．B．C．D．【答案】C因为全称量词的否定为存在量词，所以命题“”的否定是“”.故选：C7．命题“存在实数，使关于x的方程有实数根”的否定是（）A．存在实数，使关于x的方程无实根B．不存在实数，使关于x的方程有实根C．对任意实数，方程无实数根D．至多有一个实数，使关于x的方程有实根 【答案】C由题意，命题“存在实数m，使关于x的方程x2+mx﹣1＝0有实数根”是存在性命题，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题的否定为：“对任意实数m，方程x2+mx﹣1＝0无实数根”.故选：C.8．已知命题p：∀x∈R，x2﹣2x>0，则（）A．￢p：∃x0∈R，x2﹣2x<0B．￢p：∀x∈R，x2﹣2x<0C．￢p：∃x0∈R，x2﹣2x≤0D．￢p：∀x∈R，x2﹣2x≤0【答案】C根据全称命题的否定为特称命题，可得.故选：C.9．命题“∀a，b∈R，使方程ax=b都有唯一解”的否定是()A．∀a，b∈R，使方程ax=b的解不唯一B．∃a，b∈R，使方程ax=b的解不唯一C．∀a，b∈R，使方程ax=b的解不唯一或不存在D．∃a，b∈R，使方程ax=b的解不唯一或不存在【答案】D选D.该命题的否定：∃a，b∈R，使方程ax=b的解不唯一或不存在.【误区警示】解答本题，在否定结论时容易出现考虑不全面而出错的情况.故选：D10．下列全称量词命题的否定是假命题的个数是（）①所有能被3整除的数都能被6整除；②所有实数的绝对值是正数；③三角形的外角至少有两个钝角.A．0B．1C．2D．3【答案】B对于①，“所有能被3整除的数能被6整除”的否定形式为“存在能被3整除的数不能被6整除”正确，如3，是能被3整除，不能被6整除的数，故①的否定形式正确；对于②，所有实数的绝对值是正数，其否定为：，，不是正数，故②的否定形式正确； 对于③，该命题的否定：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角，而锐角三角形的三个外角都是钝角，所以这是一个假命题.故选：B．11．命题“，”的否定为（）A．，B．不存在，C．，D．，【答案】D命题“，”的否定为“，”故选：D12．已知命题p：，；命题q：若，则下列命题为真命题的是（）A．B．C．D．【答案】B解：命题，使成立，故命题为真命题；当，时，成立，但不成立，故命题为假命题；故命题，，均为假命题，命题为真命题．故选：B．13．已知命题:“，使得”是真命题，则实数的最大值是____.【答案】当时，，因为“，使得”是真命题，所以.故答案为：14．若命题∃x∈R，x2+4mx+1＜0为假命题，则实数m的取值范围是__________．【答案】[﹣，]解：由命题∃x∈R，x2+4mx+1＜0为假命题，则∀x∈R，x2+4mx+1≥0为真命题，则＝（4m）2﹣4≤0，解得：﹣， 故答案为：[﹣，]．15．若命题“∃x0∈R，使得3＋2ax0＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围是_______．【答案】[－，]命题“∃x0∈R，使得3＋2ax0＋1<0”是假命题，即“∀x∈R，3x2＋2ax＋1≥0”是真命题，故Δ＝4a2－12≤0，解得－≤a≤.故答案为：[－，].16．若“有成立”是真命题，则实数的取值范围是____________【答案】由题意可得，函数的最大值为1，∴.故答案为：.17．判断下列命题的否定的真假：（1）任何一个平行四边形的对边都平行（2）非负数的平方是正数（3）有的四边形没有外接圆（4），使得【答案】答案见解析（1）命题的否定为“存在一个平行四边形的对边不平行”，由平行四边形的定义知该命题的否定是假命题；（2）命题的否定为“存在一个非负数的平方不是正数”，因为，不是正数，所以该命题的否定是真命题；（3）命题的否定为“所有四边形都有外接圆”，因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命题为真命题，命题的否定为假命题；（4）命题的否定为“，都有”，因为当，时，，所以原命题为真命题，命题的否定为假命题.18．写出下列全称量词命题的否定： （1）任何一个平行四边形的对边都平行；（2）数列：1，2，3，4，5中的每一项都是偶数；（3）∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；（4）可以被5整除的整数，末位是0.【答案】答案见解析.（1）其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行；（2）其否定为：数列：1，2，3，4，5中至少有一项不是偶数；（3）其否定为：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在；（4）其否定为：存在被5整除的整数，末位不是0.19．判断下列命题是全称命题还是特称命题，写出这些命题的否定，并说出这些否定的真假，不必证明．（Ⅰ）存在实数x，使得x2+2x+3＞0；（Ⅱ）菱形都是正方形；（Ⅲ）方程x2﹣8x+12＝0有一个根是奇数．【答案】答案见解析解：（Ⅰ）该命题是特称命题，该命题的否定是：对任意一个实数x，都有x2+2x+3≤0.因为所以该命题的否定是假命题．（Ⅱ）该命题是全称命题，该命题的否定是：菱形不都是正方形.因为只有当菱形的邻边互相垂直时，才能成为正方形，所以该命题的否定是真命题．（Ⅲ）该命题是特称命题，该命题的否定是：方程x2﹣8x+12＝0的每一个根都不是奇数.因为方程x2﹣8x+12＝0的根为2或6，所以该命题的否定是真命题．20．写出下列命题的否定，并判断真假：（1）直角相等.（2）等圆的面积相等，周长相等.（3）有的三角形为正三角形.（4）∀x>0，x+1>. 【答案】答案见解析(1)该命题的否定：有些直角不相等.这是一个假命题.(2)该命题的否定：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等.这是一个假命题.(3)该命题的否定：所有的三角形都不是正三角形.这是一个假命题.(4)该命题的否定：∃>0，使+1≤.因为x+1-=+>0，所以∀x>0，x+1>是真命题，它的否定是假命题.21．写出下列存在量词命题的否定：（1）某箱产品中至少有一件次品；（2）方程有一个根为偶数；（3），使.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析（1）“某箱产品中至少有一件次品”的否定是“某箱产品都是正品”；（2）“方程有一个根为偶数”的否定是“方程的每一个根都不是偶数”；（3）“，使”的否定是“，”.22．判断下列命题是不是存在量词命题，如果是，指出其中的存在量词，并判断真假：（1）存在一个无理数，使也是无理数；（2），使.【答案】答案见解析（1）是存在量词命题，存在量词为“存在”，当时，也是无理数，故是真命题；（2）是存在量词命题，存在量词“（存在）”，不存在使，是假命题.