初升高数学全体系衔接专题19 充分条件与必要条件（教师版）

专题19充分条件与必要条件学习目标1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系，3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系知识精讲高中必备知识点1：充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒qpq条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的不充分条件q不是p的不必要条件高中必备知识点2：充要条件1．如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q．2．如果pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件．3．如果p⇒q且qp，则称p是q的充分不必要条件．4．如果pq且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．5．设与命题p对应的集合为A＝{x|p(x)}，与命题q对应的集合为B＝{x|q(x)}，若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件．若A⊆B，则p是q的充分不必要条件．q是p的必要不充分条件．若A⊇B，则p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．6．p是q的充要条件是说，有了p成立，就一定有q成立．p不成立时，一定有q不成立．典例剖析,高中必会题型1：充分条件与必要条件的判定1．已知，，则是的_______________（充分条件”、“必要条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选择一个填空）．【答案】充分条件设命题对应的集合为,命题对应的集合为,因为,所以命题是命题的充分条件.故答案为：充分条件.2．设，，则是的______________条件（用“充分非必要”，“必要非充分”，“充要”，“既非充分又非必要”填空）【答案】充分非必要A是B的真子集，故是的充分非必要条件故答案为：充分非必要3．给出下列结论，其中，正确的结论是________.①“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件②“p且q为假”是“p或q为真”的充分不必要条件③“p或q为真”是“非p为假”的必要不充分条件④“非p为真”是“p且q为假”的必要不充分条件【答案】①③对于①，由p且q为真，得和都为真，由p或q为真，得和至少有一个为真，故“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件，因此①正确；对于②，由p且q为假，得和至少有一个为假，,由p或q为真，得和至少有一个为真，故“p且q为真”是“p或q为真”的即不充分不必要条件，因此②错；对于③，由p或q为真，得和至少有一个为真，由非p为假，得为真，故“p或q为真”是“非p为假”的必要不充分条件，因此③正确；对于④，由非p为真，得p为假，由p且q为假，得和至少有一个为假，故“非p为真”是“p且q为假”的充分不必要条件，因此④错.故答案为：①③.4．“”是“”的___________条件.【答案】充分不必要条件.由不等式，解得，构成集合又由不等式，解得，得到，可得集合是的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要条件.5．“或”是“”成立的_____________条件.【答案】必要不充分，不能推出且，反过来，且能推出，所以是且的必要不充分条件，利用逆否关系的等价性可知或是的必要不充分条件.故答案为：必要不充分高中必会题型2：充要条件的判断1．若，都是实数，试从①；②；③；④中选出适合的条件，用序号填空．（1）“，都为0”的必要条件是______；,（2）“，都不为0”的充分条件是______；（3）“，至少有一个为0”的充要条件是______．【答案】①②③④①①或，即，至少有一个为0；所以是“，都为0”的必要条件，也是“，至少有一个为0”的充要条件；②，互为相反数，则，可能均为0，也可能为一正一负；所以是“，都为0”的必要条件；③或；所以是“，都为0”的必要条件；④或，则，都不为0，所以是“，至少有一个为0”的充要条件.故答案为(1).①②③(2).④(3).①2．不等式有实数解的充要条件是______．【答案】解：因为，当且仅当时等号成立，所以不等式有实数解的充要条件是．故答案为：．3．已知a、b是实数，则“a>0，且b>0”是“a＋b>0，且ab>0”的__________________条件．【答案】充要∵a>0，b>0，∴a＋b>0，ab>0，∴“a>0，且b>0”是“a＋b>0，且ab>0”的充分条件；∵ab>0，∴a与b同号，a＋b>0，∴a>0且b>0，∴“a>0，且b>0”是“a＋b>0，且ab>0”的必要条件．故“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充要条件．故答案为：充要4．下列所给的p，q中，p是q的充要条件的为________.(填序号)①若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；,②p：|x|>3，q：x2>9.【答案】①②①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p⇒q；若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，故p⇔q，所以p是q的充要条件.②由于p：|x|>3⇔q：x2>9，所以p是q的充要条件.故答案为：①②5．设，则是成立的________条件；【答案】充要故答案为充要高中必会题型3：充要条件的证明1．已知都是非零实数，且，求证：的充要条件是.【答案】见解析（1）必要性：由，得，即，又由，得，所以.（2）充分性：由及，得，即.综上所述，的充要条件是.,2．已知的三条边为，求证：是等边三角形的充要条件是．【答案】证明见解析证明（充分性）∵，∴∴（必要性）∵，∴∴即，∴，得证．3．设均为实数，判断“”是“方程有一个正实根和一个负实根”的什么条件.【答案】充要条件充分性：因为，所以，即方程有两个不相同的实根，设两根为，则，即一正一负，故充分性成立；必要性：因为“方程有一个正实根和一个负实根”成立，所以，即，故必要性成立.所以“”是“方程有一个正实根和一个负实根”的充要条件.4．求证：四边形是平行四边形的充要条件是四边形的对角线与互相平分.,【答案】证明见解析设对角线与的交点为.充分性：由对角线与互相平分得，又，所以，所以，，，所以四边形是平行四边形；必要性：由四边形是平行四边形得，，，所以所以，四边形的对角线与互相平分；所以四边形是平行四边形的充要条件是四边形的对角线与互相平分.5．已知ab≠0，求证：a3+b3+ab-a2-b2=0是a+b=1的充要条件.(提示：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2))【答案】证明见解析设p：a3+b3+ab-a2-b2=0，q：a+b=1.（1）充分性(p⇒q)：因为a3+b3+ab-a2-b2=0，所以(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0，即(a2-ab+b2)(a+b-1)=0，因为ab≠0，a2-ab+b2=+b2>0，所以a+b-1=0，即a+b=1.（2）必要性(q⇒p)：因为a+b=1，所以b=1-a，所以a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0，综上所述，a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.对点精练1．“a+b是偶数”是“a和b都是偶数”的（）A．充分条件,B．必要条件C．既是充分条件也是必要条件D．既不是充分条件也不是必要条件【答案】B因为当a+b为偶数时，a，b都可以为奇数.所以“a+b是偶数”不能推出“a和b都是偶数”，显然“a和b都是偶数”⇒“a+b是偶数”.所以“a+b是偶数”是“a和b都是偶数”的必要条件.故选：B2．设a∈R，则“a>0"是“a2>0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A解：当时，，当时，或，所以“a>0"是“a2>0”的充分不必要条件，故选：A3．设，则“且”是“且”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】A若且，由不等式的同向可加性可得，由不等式的同向同正可乘性可得，所以“且”可以推出“且”，即充分性成立；反之，若，，满足且”，所以“且”不可以推出“且”，即必要性不成立；所以“且”是“且”的充分不必要条件.,故选：A.4．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A由得，则；若，，则，但不能推出；因此“”是“”的充分不必要条件.故选：A.5．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（）A．必要条件B．充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】A由题意，“返回家乡”可推出“攻破楼兰”，但“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件.故选：A.6．若“-1