人教A版选修2-1课件1.4 全称量词与存在量词

1.4全称量词与存在量词 1.全称量词与全称命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.(2)含有全称量词的命题,叫做全称命题.(3)全称命题的表述形式:对M中任意一个x,有p(x)成立,可简记为:∀x∈M,p(x),读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.(4)全称命题的真假判断:要判断一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每一个元素x,验证p(x)成立;但要判断一个全称命题是假命题,只需列举出一个x0∈M,使得p(x0)不成立即可. 做一做1(1)给出下列命题:①平行四边形的对角线互相平分;②梯形有两边平行;③存在一个菱形,它的四条边不相等.其中全称命题的个数为()A.0B.1C.2D.3(2)给出下列全称命题,①负数没有对数;②对任意的实数a,b,都有a2+b2≥2ab;③二次函数f(x)=x2-ax-1与x轴恒有交点;④∀x∈R,y∈R,都有x2+|y|>0.其中真命题的个数为()A.1B.2C.3D.4解析：(1)①②是全称命题,③不是全称命题,故选C.(2)①②③为真命题,④是假命题.答案：(1)C(2)C 2.存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示.(2)含有存在量词的命题,叫做特称命题.(3)特称命题的表述形式:存在M中的一个x0,使p(x0)成立,可简记为:∃x0∈M,p(x0),读作“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”.(4)特称命题的真假判断:要判断一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,能找到一个x0,使得命题p(x0)成立即可;否则这一命题就是假命题. 做一做2(1)给出下列命题,①有些自然数是偶数;②正方形是菱形;③能被6整除的数也能被3整除;④对于任意x∈R,总有|sinx|≤1.其中特称命题的个数是()A.0B.1C.2D.3(2)下列命题中,既是真命题又是特称命题的是()A.存在一个θ,使tanθ=tan(90°-θ)B.存在实数x0,使sinx0=C.对一切θ,使sinθ=sin(180°-θ)D.sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ 解析：(1)命题①含有存在量词;命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”,故为全称命题;命题③可以叙述为“一切能被6整除的数都能被3整除”,是全称命题;而命题④是全称命题.故只有一个特称命题.(2)只有A,B两个选项中的命题是特称命题.因为|sinx|≤1,所以sinx0=不成立,故B中命题为假命题.又因为当θ=45°时,tanθ=tan(90°-θ),故A中命题为真命题.答案：(1)B(2)A 3.全称命题与特称命题的否定 做一做3(1)命题“存在一个三角形,内角和不等于180°”的否定为()A.存在一个三角形的内角和等于180°B.所有三角形的内角和都等于180°C.所有三角形的内角和都不等于180°D.很多三角形的内角和不等于180°(2)命题“∀x∈Z,4x-1是奇数”的否定是.答案：(1)B(2)∃x0∈Z,4x0-1不是奇数 思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)全称命题中一定含有全称量词.()(2)同一个特称命题的表达形式不是唯一的.()(3)全称命题的否定一定是特称命题,特称命题的否定一定是全称命题.()(4)用自然语言描述的全称命题的否定形式是唯一的.()(5)全称命题与其否定的真假可以相同.()×√√×× 探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一全称命题与特称命题的辨析【例1】判断下列命题是全称命题还是特称命题?(1)凸多边形的外角和等于360°;(2)有的向量方向不定;(3)对任意角α,都有sin2α+cos2α=1;(4)有些素数的和仍是素数;(5)若一个四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相垂直.分析：首先看命题中是否含有全称量词或存在量词,若含有相关量词,则根据量词确定命题是全称命题或者是特称命题;若没有,要结合命题的具体意义进行判断. 探究一探究二探究三探究四思维辨析解：(1)可以改写为所有的凸多边形的外角和都等于360°,故为全称命题.(2)含有存在量词“有的”,故为特称命题.(3)含有全称量词“任意”,故为全称命题.(4)含有存在量词“有些”,故为特称命题.(5)若一个四边形是菱形,也就是所有的菱形,故为全称命题. 探究一探究二探究三探究四思维辨析 探究一探究二探究三探究四思维辨析变式训练1下列命题中,是全称命题的是,是特称命题的是(填序号).①正方形的四条边相等;②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形;③正数的平方根不等于0;④至少有一个正整数是偶数.解析：①②③是全称命题,④是特称命题.答案：①②③④ 探究一探究二探究三探究四思维辨析 探究一探究二探究三探究四思维辨析 探究一探究二探究三探究四思维辨析 探究一探究二探究三探究四思维辨析变式训练2下列命题中的假命题是()A.∀x∈R,3-x+1>1B.∀x∈[-1,2],x2-2x≤3答案：D 探究一探究二探究三探究四思维辨析探究三全称命题与特称命题的否定【例3】写出下列各命题的否定.(1)p:对任意的正数x,>x-1;(2)q:三角形有且仅有一个外接圆;(3)r:存在一个三角形,它的内角和大于180°;(4)s:有些质数是奇数;(5)t:∃α,β∈R,cos(α+β)=cosα+cosβ;(6)u:∀a,b∈R,a+b≥2分析：先判断每个命题是全称命题还是特称命题,再写出相应的否定. 探究一探究二探究三探究四思维辨析解：(1)