第4章锐角三角函数4.4解直角三角形的应用第2课时教案（湘教版九上）

4.4解直角三角形的应用第2课时教学目标【知识与能力】1．了解测量中坡度、坡角的概念；2．掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长的有关实际问题．【过程与方法】通过对例题的学习，使学生能够利用所学知识解决实际问题．【情感态度价值观】进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．教学重难点【教学重点】能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长有关的实际问题．【教学难点】能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长的有关实际问题．课前准备无教学过程一、情景导入，初步认知如图所示，斜坡AB和斜坡A1B1，哪一个倾斜程度比较大？显然，斜坡A1B1的倾斜程度比较大，说明∠A1＞∠A.从图形可以看出，＞，即tanA1＞tanA.【教学说明】通过实际问题的引入，提高学生学习的兴趣．二、思考探究，获取新知1．坡度的概念，坡度与坡角的关系．如上图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平前进的距离的比叫作坡度(或坡比)，记作i，即i＝，坡度通常用l∶m的形式，例如上图中的1∶2的形式．坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作α.从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡．2．如图，一山坡的坡度为i＝1∶2，小刚从山脚A5 出发，沿山坡向上走了240米到达点C，这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米？(角度精确到0.01°，长度精确到0.1米)3．如图，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔C的四周30km内有暗礁．问这艘船继续向东航行是否安全？【教学说明】教师引导学生分析题目中的已知条件分别代表的是什么，将图形中的信息转化为图形中的已知条件，再分析图形求出问题．学生独立完成．三、运用新知，深化理解1．如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)．分析：引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形．解：已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5.5，∠A＝24°，求AB.在Rt△ABC中，cosA＝，∴AB＝＝≈6.0(米)．答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米．2．同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i＝1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)．解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中，＝，＝∴AE＝3BE＝3×23＝69(m)．FD＝2.5CF＝2.5×23＝57.5(m)．∴AD＝AE＋EF＋FD＝69＋6＋57.5＝132.5(m)．因为斜坡AB的坡度i＝tanα＝≈0.3333，所以α≈18°26′.5 ∵＝sinα，∴AB＝＝≈72.7(m)．答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．3．庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚C处出发，以24米/分钟的速度攀登，同时，李强从南坡山脚B处出发．如图，已知小山北坡的坡度i＝1∶，山坡长为240米，南坡的坡角是45°.问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A？(将山路AB、AC看成线段，结果保留根号)解：过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ADC中，由i＝1∶得tanC＝＝，∴∠C＝30°.∴AD＝AC＝×240＝120(米)．在Rt△ABD中，∠B＝45°，∴AB＝AD＝120(米)．120÷(240÷24)＝120÷10＝12(米/分钟)答：李强以12米/分钟的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A.4．某公园有一滑梯，横截面如图所示，AB表示楼梯，BC表示平台，CD表示滑道．若点E，F均在线段AD上，四边形BCEF是矩形，且sin∠BAF＝，BF＝3米，BC＝1米，CD＝6米．求：(1)∠D的度数；(2)线段AE的长．解：(1)∵四边形BCEF是矩形，∴∠BFE＝∠CEF＝90°，CE＝BF，BC＝FE，∴∠BFA＝∠CED＝90°，∵CE＝BF，BF＝3米，∴CE＝3米，∵CD＝6米，∠CED＝90°，∴∠D＝30°.5 (2)∵sin∠BAF＝，∴＝，∵BF＝3米，∴AB＝米，∴AF＝＝米，∴AE＝米．5．日本福岛发生核电站事故后，我国国家海洋局高度关注事态发展，紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海域进行现场监测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋环境的影响及时开展分析评估．如图，上午9时，海检船位于A处，观测到某港口城市P位于海检船的北偏西67.5°方向，海检船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时海检船到达B处，这时观察到城市P位于海检船的南偏西36.9°方向，求此时海检船所在B处与城市P的距离．(参考数据：sin36.9°≈，tan36.9°≈，sin67.5°≈，tan67.5°≈)分析：过点P作PC⊥AB，构造直角三角形，设PC＝x海里，用含有x的式子表示AC，BC的值，从而求出x的值，再根据三角函数值求出BP的值即可解答．解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，设PC＝x海里．在Rt△APC中，∵tanA＝，∴AC＝＝在Rt△PCB中，∵tanB＝，∴BC＝＝∵从上午9时到下午2时要经过五个小时，∴AC＋BC＝AB＝21×5，∴＋＝21×5，解得x＝60.∵sin∠B＝，∴PB＝＝＝60×＝100(海里)5 ∴海检船所在B处与城市P的距离为100海里．【教学说明】通过练习，巩固本节课所学内容．四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．课后作业布置作业：教材“习题4.1”中第1、6、7题．教学反思通过本节课的学习，使学生知道坡度、坡角的概念，能利用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角有关的实际问题，特别是与梯形有关的实际问题，懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形来解决．5