重庆市渝北中学2024届高三数学上学期7月月考试题（Word版附解析）

重庆市渝北中学高2024级高三7月摸底月考数学注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2．答题时请按要求用笔.3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、单选题1.已知全集，集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由补集、交集的概念运算【详解】，则．故选：B2.已知，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】取特殊值，排除ABC；对于D，利用不等式的性质进行证明.【详解】由，不妨取.对于A：，故不成立；对于B：，故不成立；对于C：，故不成立；对于D：因为，所以，所以，即. 故选：D3.已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则等于（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由奇函数定义可求解【详解】故选：D4.如图，树人中学欲利用原有的墙（墙足够长）为背面，建造一间长方体形状的房屋作为体育器材室.房屋地面面积为，高度为3m.若房屋侧面和正面每平方米的造价均为1000元，屋顶的造价为6000元，且不计房屋背面和地面的费用，则该房屋的最低总造价为（）A.40000元B.42000元C.45000元D.48000元【答案】B【解析】【分析】设房屋的长为，则宽为，则总造价再利用基本不等式求出最小值即可得解；【详解】解：设房屋的长为，则宽为，则总造价，当且仅当，即时取等号；故当长等于，宽等于时，房屋的最低总造价为元，故选：【点睛】本题考查函数的应用，基本不等式的应用，属于基础题. 5.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A.存在x∈R，使得f(x)=0B.若a=c=0，则函数y=f(x)的图像是中心对称图形C.若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(-∞，x0)上单调递减D.若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)=0【答案】C【解析】【分析】由已知结合函数的值域、奇偶性、极值即可求解．【详解】解：由三次函数值域为R知f(x)=0有解，故A项正确；因为f(-x)=-x3+ax2-bx+c，则f(-x)+f(x)=2ax2+2c，当a=c=0时，f(-x)+f(x)=0，故B项正确；若f(x)有极小值点，则f′(x)=0有两个不等实根x1，x2(x1<x2)，f′(x)=3x2+2ax+b=3(x-x1)(x-x2)，则f(x)在(-∞，x1)上是增加的，在(x1，x2)上是减少的，在(x2，+∞)上是增加的，即x0=x2，故C项错误；若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)=0正确，D项正确，故选：C．6.将一个各面均涂有油漆的正方体，锯成1000个同样大小的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅拌在一起，然后从中任取一个小正方体，则恰好是一个具有两面漆的正方体的概率是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1000个同样大小的小正方体，可得基本事件的总数有1000个，然后计算出满足条件两面有油漆的基本事件个数，代入率公式即可得到结果．【详解】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1000个同样大小的小正方体，其中满足两面漆有油漆的小正方体有个，从中随机地取出一个小正方体，其两面漆有油漆的概率.故选：A．7.下列命题正确的是（）A.与平面内无数条直线垂直的直线与该平面垂直B.过直线外一点可以作无数条直线与该直线平行C.正四面体的外接球球心和内切球球心恰好重合 D.各面都是等腰三角形的三棱锥一定是正三棱锥【答案】C【解析】【分析】由线面垂直的定义可判断A；由平行公理可判断B；证明正四面体的外接球球心和内切球球心恰好重合可判断C；举反例可判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A：与平面任意一条直线都垂直的直线与该平面垂直，故选项A不正确；对于B：过直线外一点可以作一数条直线与该直线平行，故选项B不正确；对于C：如图为棱长为的正四面体，设的中心为，连接，则面，设正四面体外接球的球心为，则点在上，如图，则，因为，所以四个小三棱锥，三棱锥、三棱锥、三棱锥、三棱锥全等，所以四个小三棱锥体积相等，因为四个等边三角形作为底面且面积相等，所以点到四个面的距离相等，所以外接球的球心为也即是内切球的球心，故选项C正确；对于D：如图：三棱锥中，，，两两垂直且相等，则，可满足各面都是等腰三角形，但不是正三棱锥，故选项D不正确，故选：C.8.偶函数和奇函数的图象如图所示，若关于的方程，的实根个数分别为、，则 A.16B.14C.12D.10【答案】D【解析】【详解】由，得，结合函数的图象可得有6个实根，故；同理，由得或，结合函数的图象可得，有4个实根，故．所以．故选：D．二、多选题9.下列命题为真命题的是（）A.集合有两个子集B.若，则C.集合里面有6个元素D.平面直角坐标系中第二、四象限的点的集合可以表示为【答案】AD【解析】【分析】A解方程根据解集元素的个数判断正误即可；B当出现矛盾；C注意集合中的分数，若时集合有6个元素，而有无数个元素；D根据点在二、四象限的横纵坐标的符号即可判断正误. 【详解】A：，则有2个子集，正确；B：当，则，故错误；C：的自然数元素有，而，共有无数个元素，错误；D：若点坐标为，第二象限的点有，第四象限的点有，故第二、四象限的点的集合可以表示为，正确.故选：AD10.设，且，则（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】根据条件可得，的符号不能确定，然后依次判断即可.【详解】因为，，所以，的符号不能确定，当时，，故A错误，因为，，所以，故B正确，因为，所以，故C正确，因为，所以，所以，所以，故D错误，故选：BC11.若过点可以作出曲线的切线l，且l最多有n条，，则（）AB.当时，a值唯一C.当时，D.na的值可以取到﹣4【答案】ABD【解析】【分析】设切线的切点为，得到，令，画出函数的图象分析得解.【详解】解：由题得， 设切线的切点为，所以切线的斜率，所以切线方程为，因为，所以，化简得，令，所以，令令或，所以函数在单调递增，在，单调递减，，当时，，当时，，函数的图象如图所示，过点可以作出曲线的切线l，所以,所以选项A正确；当时，与图象有两个交点，，取值唯一，所以选项B正确；当时，或，所以选项C不正确；由于时，，所以的值可以取到﹣4，所以选项D正确.故选：ABD12.已知定义在R上的偶函数满足：对任意，都有，若，，，则下面结论正确的是（）A.在上单调递增B.在上单调递减C.D.【答案】AC【解析】 【分析】结合函数的单调性和奇偶性确定正确选项.【详解】依题意，是定义在上的偶函数，且：任意，都有，所以在上递减，在上递增.A正确，B错误.，，所以，C正确，D错误.故选：AC三、填空题13.已知函数的图象恒过定点，则定点的坐标为______.【答案】【解析】【分析】根据指数函数图象恒过，利用平移变换即可求解.【详解】因为恒过点，将图象向左平移个单位，再向下平移个单位，即可得的图象，则点平移后得到点，所以恒过点，故答案：【点睛】关键点点睛：本题的关键点是熟记指数函数的图象恒过点，平移变换左加右减，上加下减即可求出平移后的定点.14.已知为偶函数，则，横线上的表达式为________．【答案】.【解析】【分析】当时，则，由时，，结合偶函数的性质可得当时表达式，进而求得结果．【详解】令，则， 又为偶函数，所以；所以横线上的表达式为.故答案为：.【点睛】本题考查了函数奇偶性的性质，函数解析式的求法，熟练掌握偶函数的性质是解答的关键．15.关于函数的性质描述，正确的是______.①定义域为；②值域为；③为定义域内的增函数；④的图象关于原点对称.【答案】①②④【解析】【分析】由被开方式非负和分母不为零，解不等式组可得函数的定义域，可判断①；化简，讨论，，分别求出的范围，求并集可得的值域，可判断②；由，可判断③；由奇偶性的定义可判断④【详解】解：对于①，由，解得且，所以函数的定义域为，所以①正确；对于②，由①可得，当时，，当时，，所以的值域为，所以②正确；对于③，由，则为定义域内的不是增函数，所以③错误；对于④，由①可知的定义域关于原点对称，因为，所以为奇函数，所以的图象关于原点对称，所以④正确， 故答案：①②④【点睛】此题考查函数的性质和应用，主要考查函数定义域和值域的求法、单调性的判断和图像的特征，考查分类思想，属于中档题16.已知是函数在上的所有零点之和，则的值为__________．【答案】【解析】【分析】先研究函数对称性，再确定零点个数，最后根据对称性求M.【详解】因为，所以函数关于对称，如图可得曲线与有四个交点，所以函数在上有8个零点，且两两关于对称，因此【点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先研究函数的单调性、对称性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.四、解答题17.求下列不等式的解集.（1）；（2）；（3）； （4）．【答案】（1）（2）或（3）（4）【解析】【分析】（1）利用二次不等式的解法解之即可；（2）将原不等式变形为，利用二次不等式的解法解之即可；（3）将原不等式变形为，即可得出原不等式的解集；（4）计算出，可得出原不等式的解集.【小问1详解】解：原不等式即为，解得，故原不等式的解集为；【小问2详解】解：将原不等式变形为，即，解得或，故原不等式的解集为或；【小问3详解】解：将原不等式变形为，解得，故原不等式的解集为；【小问4详解】解：对于不等式，，故原不等式的解集为.18.为了推动智慧课堂的普及和应用，市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查，统计数据如下表： 经常应用偶尔应用或者不应用总计农村学校40城市学校80总计100160（1）补全上面的列联表；（2）通过计算判断能否有99.5%的把握认为智慧课堂的应用与区域有关．附：，其中．0.5000.0500.0050.4453.8417.879【答案】（1）填表见解析；（2）能有99.5%的把握认为智慧课堂的应用与区域有关．【解析】【分析】（1）根据总计的值进行填表即可；（2）根据题中所给的公式和表格进行求解、判断即可.【详解】解：（1）补全列联表如下：经常应用偶尔应用或者不应用总计农村学校404080城市学校602080总计10060160（2）计算，∴能有99.5%的把握认为智慧课堂的应用与区域有关．19.如图，在三棱锥中，分别为的中点，，且，．求证：平面． 【答案】证明见解析.【解析】【分析】由题可得，利用线面垂直的判定定理可得平面，进而可得，然后利用线面垂直的判定定理即得.【详解】∵在中，D是AB的中点，，∴,∵E是PB的中点，D是AB的中点，∴，∴，又，，平面，平面，∴平面，∵平面，∴，又，，平面，平面，∴平面．20.已知在上是单调递减的一次函数，且.(1)求；(2)求函数在上的最小值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先由题意，设，根据，得到 ，由对应系数相等，求出，即可得出结果；（2）先由（1）得，分别讨论，，三种情况，根据二次函数的性质，即可得出结果.【详解】（1）因为在上是单调递减的一次函数，所以设，又，所以，即，所以，解得：，因此；（2）由（1）可得：是开口向上，对称轴为的二次函数，当时，函数在上单调递增，所以；当，即时，函数在上单调递减，所以；当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，所以；综上，函数在上的最小值为.【点睛】本题主要考查求一次函数解析式，以及二次函数的值域，利用待定系数法求函数解析式，熟记二次函数的性质即可，属于常考题型.21.为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2021年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用万元满足（k为常数）.如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件.已知2021年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1 万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）.（1）将该厂家2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；（2）该厂家2021年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？【答案】（1）；（2）该厂家2021年的年促销费用投入2.5万元时，厂家利润最大.【解析】【分析】（1）根据题意，当时，x=1，进而代入已知等式解出k，然后求出每件产品的销售价格，最后得到函数的解析式；（2）根据（1）中的式子，结合基本不等式即可得到答案.【详解】（1）由题意，当时，x=1，则，于，所以.（2）由（1），，当且仅当时“=”成立.所以，该厂家2021年的年促销费用投入2.5万元时，厂家利润最大.22.已知函数（是自然对数的底数）.（1）若曲线在处的切线也是抛物线的切线，求的值；（2）若对于任意恒成立，试确定实数的取值范围；（3）当时，是否存在，使曲线在点处的切线斜率与在上的最小值相等？若存在，求符合条件的的个数；若不存在，请说明理由.【答案】（1）或；（2）（3）相等，一个.【解析】【分析】（1）求出在的切线，与联立，根据切线与抛物线只有一个交点，则；（2）分，，根据导数讨论；（3）转化为函数的零点通过导数求解.【详解】（1），所以在处的切线为 即：与联立，消去得，由知，或（2）①当时，在上单调递增，且当时，，，故不恒成立，所以不合题意；②当时，对恒成立，所以符合题意；③当时令，得，当时，，当时，，故在上是单调递减，在上是单调递增,所以又，，综上：(3)当时，由（2）知，设，则，假设存在实数，使曲线在点处的切线斜率与在上的最小值相等，即为方程的解，令得：，因为，所以.令，则，当是，当时，所以在上单调递减，在上单调递增， ,故方程有唯一解为1，所以存在符合条件的，且仅有一个.【点睛】本题考查导数的综合应用.复杂方程的根问题：1、转化为函数的交点求解；2、转化为函数的零点求解.