重庆市渝北中学2022-2023学年高二数学下学期阶段二检测试题（Word版附解析）

渝北中学2022～2023学年下期高2024届阶段二质量监测数学试题（全卷共四大题22小题，总分150分，考试时长120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将姓名、班级填写清楚．2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清晰．3．请按照题号顺序在答题卡相应区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在试卷和草稿纸上答题无效．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.书架上放有3本不同的语文书和4本不同的数学书，甲同学从中任选两本，则不同的选法有（）．A.1B.21C.35D.42【答案】B【解析】【分析】根据给定的条件，利用组合问题列式计算作答.【详解】依题意，不同的选法有.故选：B2.已知随机变量X的分布列如下表，则（）．X012PA.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用给定的分布列，结合互斥事件的加法公式计算作答. 【详解】依题意，.故选：D3.的展开式中的系数是（）．A.-6B.2C.10D.18【答案】A【解析】【分析】根据二项式的通项求展开式的系数即可.【详解】二项式的通项为，当产生时，令，解得；当产生时，令，解得；所以展开式中的系数为.故选：A4.若某展览馆要把6件艺术品在展位上摆放成一排，要求其中的艺术品A和B必须相邻，且都不能与C相邻，则这样不同的排列方法数为（）．A.72B.120C.144D.288【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法，列式求解作答.【详解】依题意，先排除A、B、C外的另3件艺术品，有种方法，再把A和B视为一个整体，与C插入4个间隙中，有种方法，而A和B间的排列有种方法，由分步乘法计数原理得：，所以不同的排列方法数为144.故选：C5.已知函数，过点作该函数曲线的切线，则该切线方程为（）．A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.【详解】函数，求导得：，设切点坐标为，于是，解得，则，所以所求切线方程为，即.故选：D6.已知随机变量服从两点分布，且，则和分别为（）．A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意求得，，结合，，即可求解.【详解】由随机变量服从两点分布，且，可得，且，所以，.故选：B.7.若函数在区间上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（）．A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出函数的导数，由给定条件可得在上有解，再求出函数的最值作答. 【详解】函数，，依题意，存在，使得，即存在，使得，显然函数在上单调递减，当时，，则，所以实数a的取值范围是.故选：D8.设，，，则下列大小关系正确的是（）．A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分别构造函数，，根据函数单调性和特殊值的思路比较大小即可.【详解】令，则，当时，，所以在上单调递增，又，所以，即，；令，则，当时，，所以在上单调递增，又，所以，，，，所以，即，所以.故选：A.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知，下列结论正确的是（）．A.所有项的二项式系数和为B. C.D.展开式中含项的二项式系数最大【答案】ABD【解析】【分析】利用二项式定理逐项进行判断即可求解.【详解】由题意知的二项式系数和为，故选项A正确；令，可得，故选项B正确；令可得，；令可得，；上式减下式可得，，故选项C错误；由杨辉三角可知，展开式中第6项的二项式系数最大，所以展开式中含项的二项式系数最大，故选项D正确，故选：ABD.10.若某市场销售的某种产品中，甲品牌、乙品牌的市场占有比例为，优质品率分别为、，在该市场中任意买一件这种产品，则下列结论中正确的有（）．A.买到的是甲品牌产品的概率为0.2B.若已知买到的产品是乙品牌，则这件产品是优质品的概率是0.9C.买到的是优质品的概率为0.8D.若已知买到的是优质品，则这件产品是甲品牌的概率是0.5【答案】ABC【解析】【分析】根据题意直接判断AB选项；利用全概率公式求优质品的概率，即可判断C选项；利用贝叶斯公式求已知买到的是优质品，则这件产品是甲品牌的概率，即可判断D选项.【详解】因为甲、乙品牌的市场占有比例为，所以买到的是甲品牌的概率为0.2，故A正确；因为乙品牌的优质品率为90%，所以若已知买到的产品是乙品牌，则这件产品是优质品的概率为0.9，故B正确；设买到的产品为甲品牌为事件，买到的产品为乙品牌为事件，优质品为事件，则，故C正确； ，故D错.故选：ABC.11.某中学共有三栋女生宿舍楼，分别为1号楼、2号楼、3号楼，学校在本周安排了甲、乙、丙、丁、戊5名女教师去这三栋宿舍楼协助宿管阿姨值守，每栋宿舍楼至少安排一名教师，每名教师只能去其中一栋楼，则下列说法正确的是（）．A.共有300种不同的安排方法B.若其中1号楼需要有两名教师去，则共有60种不同的安排方法C.若甲、乙两名教师不能去同一栋宿舍楼，则共有114种不同的安排方法D.若学校新购入25个相同型号的灭火器，准备全部分配给这三栋女生宿舍楼作为应急使用，每栋宿舍楼至少6个，则共有15种不同的分配方法【答案】BC【解析】【分析】利用分类加法计数原理结合排列组合问题求出不同安排方法数判断A；求出1号楼去2人的安排方法数判断B；利用排除法求出甲乙去同一栋楼的安排方法数判断C；利用隔板法求出不同分配方法数判断D作答.【详解】对于A，5名教师按去到三栋楼有种方法；按去到三栋楼有种方法，因此不同的安排方法种数是，A错误；对于B，取2名教师去1号楼，不同的安排方法种数是，B正确；对于C，甲乙两名教师去同一栋楼，另3名教师去另两栋楼有种，另3名教师去三栋楼有种，则不同的安排方法种数是，由选项A知，共有种不同安排方法，所以甲、乙两名教师不能去同一栋宿舍楼，安排方法种数是，C正确；对于D，每栋楼先放5个灭火器，再将余下10个灭火器排成一排，在9个间隙中插入2块板子，有种，D错误.故选：BC12.若函数有3个不同的零点，分别记为，则下列说法正确的是 （）．A.是函数的一个零点B.a的取值范围是C.D.若，则a范围是．（其中表示不超过实数x的最大整数，例如：，）【答案】AD【解析】【分析】由求得函数的一个零点判断A；由函数零点的意义构造函数结合图象求解判断BC；由的意义结合已知求出大于1且不为的零点范围求解判断D作答.【详解】函数的定义域为，由，得或，解，得，因此是函数的一个零点，A正确；令，求导得，当时，，当时，，则函数在上递增，在上递减，，且，当时，恒成立，函数有3个零点，不妨令，于是方程有两个不同的解，即函数的图象与直线有两个交点，在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图，观察图象知，，于是当时，函数有两个或三个零点，当时，，即当时，函数只有两个零点，因此，B错误； 显然函数的图象关于直线不对称，即，因此，C错误；因为，又，则，即，于是，而，则，即，D正确.故选：AD【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用函数零点的意义等价转化，构造函数并用导数探讨函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，15题第一空2分，第二空3分）13.已知的二项展开式中常数项为__________．（用数字作答）【答案】80【解析】【分析】求出二项式展开式的通项公式，再求出常数项作答.【详解】二项式展开式的通项公式，令，解得，所以二项式展开式的常数项为.故答案为：8014.高二年级某班要准备一个节目在学校艺术节里展演，报名参加的同学中有5人只会唱歌，2人只会跳舞，另外还有1人既能唱歌又会跳舞，现在节目需要2人唱歌，2人跳舞，则不同的选人方案共有__________种．（用数字作答）【答案】35【解析】【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理、组合应用问题列式计算作答.【详解】不同的选人方案有3类，既能唱歌又会跳舞的人不选有种，既能唱歌又会跳舞的人选去唱歌有种，既能唱歌又会跳舞的人选去跳舞有种， 由分类加法计数原理得：，所以不同的选人方案共有35种.故答案：3515.口袋里有标号为1，2，3的三个小球，从中任取一球，记下它的号码后放回袋中，这样连续操作三次．若每次取到各个小球的可能性相等，记事件“三次抽到的号码不全相同”；则__________；记事件“三次抽到的号码之和为7”，则__________．（用数字作答）【答案】①.②.##0.25【解析】【分析】第一空，先求出，根据可得，第二空，可判断，故，求出后，由公式可得.【详解】“三次抽到的号码全相同”，由题意，所以，事件“三次抽到的号码之和为7”，即抽到的三个数为2，2，3或1，3，3，故，，故，故答案为：；16.若，则实数a的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】利用同构法，构造函数，将问题转化为，从而得到恒成 立问题，再构造，利用导数求得其最小值，由此得解.【详解】因为，，令，则原式等价于，恒成立，所以在定义域内单调递增，所以，令，则时，，在单调递增，时，，在单调递减，所以，则又a为正数，故答案为：.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知函数在点处的切线方程为．（1）求实数a，b的值；（2）求在区间上的最值．【答案】（1）；（2）最大值为18，最小值为.【解析】【分析】（1）求出的导函数，利用导数的几何意义和给定的切点，建立的方程求解即可. （2）利用的导数探讨函数的单调性，即可求出函数在上的最值.【小问1详解】因为，求导得，又的图象在处的切线方程为，则，解得，所以.【小问2详解】由（1）知，，，则当时，，当时，，因此函数在上单调递减，在上单调递增，又，所以在上的最大值为18，最小值为.18.现有10件分别来自于甲、乙、丙三个车间的某批产品，其中甲车间有5件，乙车间有3件，丙车间有2件，从这10件产品中任选3件参加展出．（1）求选出的3件产品来自于同一车间的概率；（2）设随机变量x表示选取的产品是来自于乙车间的件数，求X的分布列和期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析，期望为.【解析】【分析】（1）求出从这10件产品中任选3件的不同取法数及来自于同一车间的取法数，再利用古典概率计算作答.（2）求出的所有可能值，求出各个值对应的概率，列出分布列，求出期望作答.小问1详解】依题意，从这10件产品中任选3件的不同取法数为种，3件产品来自于同一车间的取法数有种所以选出的3件产品来自于同一车间的概率. 【小问2详解】依题意，的所有可能值为0，1，2，3，，，，，所以的分布列为0123期望为.19.已知函数，且，其中．（1）求函数的单调区间；（2）若存在，使得成立，求实数b的取值范围．【答案】（1）递减区间是，递增区间是；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出，再利用导数求出单调区间作答.（2）把给定的不等式作等价变形，构造函数并求出函数最小值作答.【小问1详解】函数的定义域为R，求导得，由，得，即，当时，，当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的递减区间是，递增区间是.【小问2详解】由（1）知，，不等式， 令，，求导得，当时，，当时，，因此函数在上单调递减，在上单调递增，则当时，，依题意，存在，成立，即，所以实数b的取值范围是.20.有某一项游戏活动的规则如下：先随机投掷一枚骰子，然后根据骰子出现的点数再在袋中取球，最后由取出的球的结果决定奖项．现甲袋中有3个红球，1个白球；乙袋中有2个红球，2个黑球(两个袋中球的大小和质地都是相同的)．每人只参加一次活动，且活动后把球放回原袋中．（1）小王同学参加的具体活动是：若骰子出现2点或4点，则在甲袋中任取一球，若骰子出现1、3、5或6点，则在乙袋中任取一球．如果取到的球是红球，就获奖．①求小王同学参加活动获奖的概率；②小王同学参加活动已经获奖，求他是在甲袋中取球的概率；（2）小李同学参加的具体活动是：若骰子出现1点或2点，则在甲袋中任取一球，如果取出的球是红球，就获得三等奖；若骰子出现3点或4点，则在甲袋中任取2球，如果取出的球都是红球，就获得二等奖；若骰子出现5点或6点，则在甲袋中任取3球，如果取出的球都是红球，就获得一等奖．求小李同学参加活动获奖的概率．【答案】（1）①；②（2）【解析】【分析】（1）①分别计算出小王从甲袋和乙袋中取球，且为红球的概率，相加后得到答案；②利用条件概率公式计算即可；（2）分别计算出小李同学参加活动获得三等奖，二等奖和一等奖的概率，相加得到答案.【小问1详解】①小王从甲袋中取球，且为红球的概率为，小王从乙袋中取球，且为红球的概率为，所以小王同学参加活动获奖的概率为； ②由①知，小王同学参加活动获奖的概率为，而且从甲袋中取球，且为红球的概率为，所以小王同学参加活动已经获奖，他是在甲袋中取球的概率为.【小问2详解】小李同学参加活动，获得三等奖的概率为，获得二等奖的概率为，获得一等奖的概率为，故小李同学参加活动获奖的概率为.21.已知函数．（1）若存在两个极值点，求实数a的取值范围；（2）在（1）的条件下，设是的极小值点，求证：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将存在两个极值点转化为函数与函数的图象有两个交点，然后结合的图象求解即可；（2）根据得到的单调性，结合（1）中的结论得到，然后根据的单调性即可证明，利用作差法即可证明.【小问1详解】由题意得，定义域为，因为存在两个极值点，所以存在两个零点，即，有两个解，即函数与函数的图象有两个交点，，令，解得，令，解得， 所以在单调递增，单调递减，图象如下所示，所以，即.【小问2详解】令，则，令，解得，令，解得，所以，即在上单调递增，上单调递减，设的极大值点为，则大致图象如下所示，所以在，上单调递减，在上单调递增，，即，因为，所以，且，所以，，，因为，，所以，，即，所以，综上所述，.【点睛】函数零点问题的解决方法：（1）将函数零点转化为方程的解； （2）将函数零点转化为函数图象与轴交点的横坐标；（3）将函数零点转化为两个函数图象交点的横坐标.22.已知函数，其中，a为常数．（1）讨论函数的单调性；（2）若当时，恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论求解大于0、小于0的不等式作答.（2）等价变形不等式，借助特值法判断，令，构造新函数，利用导数探讨不等式恒成立的a的范围作答.【小问1详解】函数的定义域为R，求导得，当时，恒有，即函数在R上单调递减；当时，由，得，由，得，即在上递减，在上递增，所以当时，函数在R上单调递减；当时，函数的递减区间是，递增区间是.【小问2详解】当时，恒成立，当时，对不恒成立，不符合题意；当时，取，，即对不恒成立，不符合题意；当时，令，则函数在上单调递增，即有，不等式等价变形为，令， 于是当时，恒成立，等价于当时，恒成立，求导得，令，，求导得，当时，，当且仅当时取等号，因此函数上单调递增，，则函数在上单调递增，，即对恒成立，于是，当时，由，得，即函数在上单调递减，当时，，则函数在上单调递减，当时，，即对不恒成立，不符合题意，所以a的取值范围是.【点睛】关键点睛：函数不等式恒成立求参数范围问题，结合已知，利用换元法构造新函数，用导数探讨函数的性质，借助数形结合的思想推理求解.