福建省南平市2022-2023学年高二数学上学期期末试题（Word版附解析）

南平市2022-2023学年第一学期高二期末质量检测数学试题（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名、班级和座号.考生要认真核对答题卡上粘贴条形码的“准考证号、姓名”.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试题卷上无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如果质点A运动的位移S（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为那么该质点在秒时的瞬时速度为：（）（单位：米/秒）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据瞬时变化率的定义求解即可.【详解】，所以.故选：D.2.直线与直线之间的距离为（）A.B.C.D.1【答案】C【解析】【分析】由两线距离公式求值即可. 【详解】，显然与另一条直线平行，则所求距离为.故选：C.3.函数，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用导数的除法法则和复合函数的导数法则进行求解.【详解】因；所以；故.故选：D.4.如图，在平行六面体中，M为与的交点．记，，则下列正确的是（）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】利用平行六面体的性质以及空间向量的线性运算即可求解.【详解】由题意可知：在平行六面体中，M为与的交点，所以为的中点，则，所以，故选：.5.若函数在R上是增函数，则实数a的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】原命题等价为在R上恒成立，结合二次函数的性质列不等式求解即可.【详解】∵函数在R上是增函数，在R上恒成立，∴.故选：B.6.过抛物线C：焦点F的动直线交抛物线C于A，B两点，若E为线段AB的中点，M为抛物线C上任意一点，则的最小值为（）A.3B.C.6D.【答案】A【解析】【分析】利用中点关系求出E轨迹方程，结合椭圆定义由数形结合可得最小值.【详解】设，E为线段AB的中点，则，又，两式相减得， 由，∴，∴E的轨迹为顶点在的抛物线.如图所示，、EP垂直C的准线于N、P，则，则当与F重合时，最小，为.故的最小值为3.故选：A.7.若数列的前n项和为，，则称数列是数列的“均值数列”．已知数列是数列的“均值数列”且，设数列的前n项和为，若对恒成立，则实数m的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由新定义求得，然后由求得，从而可求得（裂项相消法）后得的最小值，解相应不等式可得结论．【详解】由题意,即,∴时，，又，∴时，，， ，易知是递增数列，∴的最小值是（时取得），由题意，解得．故选：B．8.已知函数的最小值为－1，过点的直线中有且只有两条与函数的图象相切，则实数b的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先利用导数求出函数的最小值，结合题意可得，设过点的直线与函数的图象相切的切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，根据切线过点建立方程，再结合过点的直线有两条与函数的图象相切可得，解之即可求解.【详解】因为，则，令可得．当时，，是增函数．当时，，是减函数．所以当时，有最小值，所以，设过点的直线与函数的图象相切的切点为，则切线方程为，又切线过点，所以， 即，即．过点的直线有两条与函数的图象相切，则，即，解得：或．故选：.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若函数，则（）A.函数只有极大值没有极小值B.函数只有最大值没有最小值C.函数只有极小值没有极大值D.函数只有最小值没有最大值【答案】CD【解析】【分析】由导数法研究函数的极值、最值.【详解】，单调递增，由，则∴函数有唯一极小值，即最小值，没有极大值、最大值.故选：CD.10.函数，以下说法正确的是（）A.函数有零点B.当时，函数有两个零点C.函数有且只有一个零点D.函数有且只有两个零点【答案】BC【解析】【分析】利用导函数研究函数的单调性，进而得到函数的最值，根据零点存在定理求解即可.【详解】，定义域，所以， 令解得，令解得，所以在上单调递减，在上单调递增，，则的图象如图所示：故A错误；又当时，，所以从图像可得，当时，函数有两个零点，B正确；恒成立，所以在上单调递减，又，，所以函数有且只有一个零点，C正确，D错误；故选：BC11.已知数列是公差不为0的等差数列，前项和为.若对任意的，都有，则的值可能为（）A.2B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】由等差数数列前项和公式推导出，由此能求出的值不可能为.【详解】数列是公差不为0的等差数列，前项和.若对任意的，都有， ，，解得，当时，．成立；当时，．成立；当时，．成立；当时，．不成立．的值不可能为．故选：ABC．12.双曲线E的一个焦点为，一条渐近线l的方程为，M，N是双曲线E上不同两点，则（）A.渐近线l与圆相切B.M，N的中点与原点连线斜率可能为C.当直线MN过双曲线E的右焦点时，满足的直线MN只有3条D.满足的点M有且仅有2个【答案】AC【解析】【分析】求出圆心到直线的距离即可判断A；根据题意求出双曲线的方程，假设存在点，符合题意，利用点差法求出，即可判断B；求出通径及实轴长即可判断C；分别比较与的大小即可判断D.【详解】圆的圆心为，半径为1， 圆心到曲线E的渐近线的距离为，所以渐近线l与圆相切，故A正确；因，所以，即，又一条渐近线l的方程为，所以，可解得：，，所以曲线E的方程为，假设存在点，符合题意，则的中点，，由，，相减得，所以，所以共线，故直线与渐近线重合，矛盾，故B不正确；双曲线E焦距为，则直线MN过左右顶点时，，符合题意，令，则有，解得，所以双曲线的通径为，即直线MN过双曲线E右焦点时，，所以当直线不过左右顶点时，满足的线段有2条， 综上，满足的线段包含实轴共有3条，故C正确；，所以右支上有两点满足题意，，所以左支上有两点满足题意，满足的点M有且仅有4个，D不正确．故选：AC.【点睛】结论点睛：①已知椭圆的弦的中点，则；②已知双曲线的弦的中点，则；③已知抛物线的弦的中点，则.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知等差数列的前n项和为，若，则______．【答案】35【解析】【分析】根据等差数列的前n项和公式，及等差数列的性质求解即可.【详解】解：等差数列的前n项和为，，，故答案为：35.14.已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，且，请写出满足题意的直线PF的一个方程_____________．【答案】（或，写其中一个即可）【解析】【分析】求出焦点坐标，由焦半径公式求得点坐标后可得直线方程．【详解】由题意焦点为为，设，则，，，， 若，则，直线方程为，即，若，则，直线方程为，即，故答案为：或（写一个即可）．15.某牧场年年初牛的存栏数为，计划以后每年存栏数的增长率为，且每年年底卖出头牛，按照该计划预计经过_____________年后存栏数首次超过．（结果保留成整数）参考数据：，【答案】【解析】【分析】根据题意列出数列的递推公式，求出通项公式，解不等式得出答案.【详解】设年年初牛的存栏数为，经过年（即年）,年初牛的存栏数为，经过年年初牛的存栏数为，则，即，所以数列是首项为，公比为的等比数列.因此，由得，即.所以按照该计划预计经过年后存栏数首次超过．故答案为：7.16.已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，的面积为，，则椭圆的长轴长为_____________．【答案】7【解析】【分析】先根据椭圆的定义结合余弦定理和三角形面积公式可得，再利用正弦定理列式即可求解.【详解】因为是椭圆上一点，所以，，， 由余弦定理，可得，所以，即,所以，又因为，所以，由及正弦定理得，所以，即，又，所以长轴长，故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知圆M过点，，．（1）求圆M的方程；（2）求过点的直线被圆M截得的弦长的最小值． 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据圆的性质设出圆心坐标，利用相等关系求出圆心和半径，进而可得方程；（2）根据点在圆内，确定弦长最短的状态，结合勾股定理可得答案.【小问1详解】由题意圆心M在AB中垂线上，设圆心，则由得，解得，，所以圆M的方程．【小问2详解】因为，点在圆内，当弦所在的直线和MN连线垂直时，截得弦长DE最短，此时，，即弦长的最小值为．18.已知四面体ABCD的顶点坐标分别为，，，．（1）若M是BD的中点，求直线CM与平面ACD所成的角的正弦值；（2）若P，A，C，D四点共面，且BP⊥平面ACD，求点P的坐标．【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）由题意分别求出向量和平面ACD的一个法向量，再用直线与平面所成的角的正弦值公式代入计算即可；（2）由题意，，于是点P的坐标为，由P，A，C，D四点共面，可设，将坐标分别代入即可解得，从而求得点P的坐标.【小问1详解】由题意，，，，，可设平面ACD的法向量，则，即，化简得．令，则，，可得平面ACD的一个法向量，设直线CM与平面ACD所成的角为，则，即直线CM与平面ACD所成的角的正弦值为；【小问2详解】由题意，，于是点P的坐标为，又P，A，C，D四点共面，可设，即，即，解得， 所以所求点P的坐标为．19.已知数列的前项和为，且满足，等差数列中，，.（1）求数列，的通项公式；（2）定义，记，求数列的前20项和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据，作差即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出的通项公式，再设数列的公差为，即可得到方程组，解得、，从而求出的通项公式；（2）根据通项公式判断数列的单调性，即可得到的通项公式，再用分组求和法计算可得.【小问1详解】解：因为，当时，解得，当时，所以，即，所以，即是以为首项，为公比的等比数列，所以；设数列的公差为，由，，可得，解得，所以.【小问2详解】解：因为，即数列为递增数列，即数列单调递减，，，，，，， ，，，，，，所以当时，当时，所以，所以.20.已知双曲线C：的右焦点为F，过F的直线l与双曲线交于M，N两点，当轴时，．（1）求双曲线C的离心率e；（2）当l倾斜角为时，线段MN垂直平分线交x轴于P，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意可得：，也即，进而求出双曲线的离心率；（2）结合（1）的结论可得双曲线C的方程为，设直线MN的方程为，联立方程组，利用韦达定理和中点坐标公式可得MN的垂直平分线的方程为，进而得到P的坐标为，计算可得，，进而求解.【小问1详解】根据题意．所以，所以双曲线C的离心率． 【小问2详解】由（1）知，双曲线C的方程为．直线MN的方程为，联立方程组，得，设，，，则，．因为，所以MN的中点坐标为．MN的垂直平分线的方程为，所以P的坐标为，所以．又，所以．21.在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，M是AB的中点，且，，．（1）证明：平面EDC⊥平面ABCD；（2）若，当平面ABF与平面CEF所夹的角的余弦值为时，求的值．【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）利用面面垂直的判定定理进行证明；（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量夹角的余弦值为求出的值.【小问1详解】因为，取CD中点O，连接OE，则EO⊥DC，且EO＝2，因为O，M是AB的中点，所以OM＝2，所以，即EO⊥OM，又因为EO⊥DC，且，平面ABCD，平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD，又平面ABCD，所以平面EDC⊥平面ABCD；【小问2详解】由（1）以O为原点，OM，OC，OE为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面CEF的一个法向量为，则，取，，，设平面ABF的一个法向量为， 则，取，所以，解得，即当平面ABF与平面CEF所夹的角的余弦值为时，．22.定义椭圆C：上的点的“圆化点”为．已知椭圆C的离心率为，“圆化点”D在圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左顶点为A，不过点A的直线l交椭圆C于M，N两点，点M，N的“圆化点”分别为点P，Q．记直线l，AP，AQ的斜率分别为k，，，若，则直线l是否过定点？若直线l过定点，求定点的坐标；若直线l不过定点，说明理由．【答案】（1）（2）直线l过定点【解析】【分析】（1）结合离心率及点的位置求得，，得到椭圆的方程；（2）设直线l的方程为，与椭圆的方程联立得到关于的一元二次方程，由韦达定理得到用参数表示，代入化简整理可得，从而得到直线的定点坐标.【小问1详解】由题意，所以，由得，又点在圆上，，所以，即，， 所以椭圆C的方程为.【小问2详解】设直线l的方程为，，，其中，联立，消y得，，由，，，得，因为，则，即，所以直线l方程为，即直线l过定点．【点睛】求解圆锥曲线中定点问题的两种求法：（1）特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关.（2）直接推理法：①选择一个参数建立方程，一般将题目中给出的曲线方程（包含直线方程）中的常数变成变量，将变量当成常数，将原方程转化为的形式；②根据曲线（包含直线）过定点时与参数没有关系（即方程对参数的任意值都成立），得到方程组；③以②中方程组的解为坐标的点就是曲线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决.