福建省2022-2023学年高二数学上学期11月期中试题（Word版附解析）

2022年秋季高二年期中质量监测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为(　　)A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角．【详解】∵直线x+y﹣20的斜率k，设倾斜角为，则tan=∴直线x+y﹣2=0倾斜角为．故选C．【点睛】本题考查直线的倾斜角的求法，熟记斜率与倾斜角的关系是关键，是基础题2.已知直线：，：，若，则（）A.0B.1C.2D.【答案】D【解析】【分析】由题意，直线平行，根据公式求参数，解方程并验根，可得答案.【详解】由题意，，则，，，解得：或，当时，，故不符合题意，当时，，符合题意.故选：D.3.如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据空间向量基本定理，用表示出即可.【详解】由题意，因为为与的交点，所以也为与的中点，因此.故选：D.4.若点在圆的外部，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据点与圆的位置关系及方程表示圆列出方程组，从而可得出答案.【详解】解：因为点在圆的外部，所以，解得.故选：C．5.在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以,因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.6.在日常生活中，可以看见很多有关直线与椭圆的位置关系的形象，如图，某公园的一个窗户就是长轴长为4米，短轴长为2米的椭圆形状，其中三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段，则该窗户的最短的竖直窗棂的长度为（）AB.C.2D.3【答案】B【解析】【分析】根据题意，建立坐标系得椭圆的标准方程为，再结合题意计算即可得答案.【详解】解：根据题意，建立如图所示的坐标系，因为窗户就是长轴长为4米，短轴长为2米的椭圆形状，所以椭圆的标准方程为， 因为其中三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段，所以当时，，所以最短窗棂的长度为．故选：B7.设点为直线：上的动点，点，，则的最小值为A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设点关于直线的对称点为，利用对称性列方程组求得，利用对称性可得，结合图像即可得当三点共线时，最大，问题得解．【详解】依据题意作出图像如下：设点关于直线的对称点为，则它们的中点坐标为：，且由对称性可得：，解得：， 所以因为，所以当三点共线时，最大此时最大值为故选A【点睛】本题主要考查了点关于直线对称的点的求法，还考查了转化思想及计算能力，属于中档题．8.设椭圆的左、右焦点分别为，，点，在上（位于第一象限），且点，关于原点对称，若，，则的离心率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意判断四边形是矩形，设，结合椭圆定义表示出之间的关系，利用勾股定理列式，即可求得答案.【详解】依题意作图，由于，点，关于原点对称,并且线段互相平分，∴四边形是矩形，其中,由于，设，则，即,又，根据勾股定理，，即 故选：C．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对于直线，下列说法正确有（）A.直线l过点B.直线l与直线垂直C.直线l的一个方向向量为D.直线l的倾斜角为45°【答案】AB【解析】【分析】根据直线的斜截式，结合直线斜率与倾斜角的关系、直线方向向量的定义、互相垂直两直线的性质逐一判断即可.【详解】解析：直线化成斜截式为，所以当时，，A对；直线l的斜率为﹣1，倾斜角为135°，D错；直线的斜率为1，，所以两直线垂直，B对；直线l的一个方向向量为，C错．故选：AB．10.下列方程能够表示圆的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】依次判断各个选项中方程所表示的曲线即可得到结果.【详解】对于A，表示圆心为，半径为的圆，A正确；对于B，不符合圆的方程，B错误；对于C，由得：，则其表示圆心为，半径为的圆，C正确；对于D，含项，不符合圆的方程，D错误.故选：AC.11.椭圆的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，以下说法正确的是（）A.椭圆C的离心率为 B.椭圆C上存在点P，使得C.过点的直线与椭圆C交于A，B两点，则的周长为8D.若P为椭圆上一点，Q为圆上一点，则点P，Q的最大距离为2【答案】BC【解析】【分析】求得椭圆C的离心率判断选项A；求得满足条件的点P判断选项B；求得的周长判断选项C；求得点P，Q的最大距离判断选项D.【详解】对于选项A，因为，，所以，即，所以椭圆C离心率，故A错误；对于选项B，设点为椭圆上任意一点，则点P的坐标满足，且，又，，所以，，因此，令，可得，故B正确；对于选项C，由椭圆的定义可得，因此的周长为，故C正确；对于选项D，设点为椭圆上任意一点，由题意可得点到圆的圆心的距离，因为，所以 则，故D错误．故选：BC．12.在平面直角坐标系中，三点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，7)，动点P满足PA=PB，则以下结论正确的是（）A.点P的轨迹方程为(x－3)2+y2=8B.△PAB面积最大时，PA=2C.∠PAB最大时，PA=D.P到直线AC距离最小值为【答案】ACD【解析】【分析】根据可求得点轨迹方程为，A正确；根据直线过圆心可知点到直线的距离最大值为，由此可确定面积最大时，由此可确定B不正确；当最大时，为圆的切线，利用切线长的求法可知C错误；求得方程后，利用圆上点到直线距离最值的求解方法可确定D正确.【详解】解：对于A：设，由得：，即，化简可得：，即点轨迹方程为，故A正确；对于B：直线过圆的圆心，点到直线的距离的最大值为圆的半径，即为，，面积最大为，此时，，故B不正确；对于C：当最大时，则为圆的切线，，故C正确；对于D：直线的方程为，则圆心到直线的距离为，点到直线距离最小值为，D正确. 故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.直线与平行，则它们的距离是_____【答案】【解析】【分析】根据两个平行线之间的距离计算公式，计算得答案.【详解】直线可化为直线，又，且，所以它们的距离.故答案为：.14.已知点在直线上，则的最小值为________．【答案】2【解析】【分析】将的最小值转化为原点到直线的距离来求解即可.【详解】可以理解为点到点的距离，又∵点在直线上，∴的最小值等于点到直线的距离，且.故答案为：.15.如图所示，若正方形的边长为，平面，且，分别为的中点，则点到平面的距离为________. 【答案】【解析】【分析】设点到平面距离为，转化为三棱锥的高，结合，利用锥体的体积公式，列出方程，求得的值，即可求解.【详解】如图所示，连接，因为正方形的边长为，且、分别为、的中点，可得,又因为平面，且，所以，设点到平面的距离为，即为三棱锥的高，因为平面，且平面，所以，由正方形的边长为，且，在直角中，可得，则,在直角中，可得，则在直角中，可得，即，取的中点，因为，所以，且，所以，又由，可得，即，解得，即点到平面的距离为. 故答案为：.16.如图，椭圆的中心在坐标原点，，，，分别为椭圆的左、右、下、上顶点，为其右焦点，直线与交于点P，若为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】根据为钝角转化为，从而得到关于，的不等式，即可求解.【详解】设椭圆的标准方程为，．由题意，得，，，则，．因为为向量与的夹角，且为钝角，所以，所以．又，所以，即，解得或， 因为，所以，故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.的三个顶点、、，D为BC中点，求：（1）BC边上的高所在直线的方程；（2）中线AD所在直线的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出直线的斜率，即可得到BC边上的高线的斜率，利用直线方程的点斜式，即可求解.（2）求出BC的中点D坐标，求出中线AD所在直线的斜率，代点斜式即可求解.【小问1详解】解：∵、，BC边斜率k，故BC边上的高线的斜率k＝，故BC边上的高线所在直线的方程为，即.【小问2详解】解：BC的中点，中线AD所在直线的斜率为，故BC边上的中线AD所在直线的方程为，即.18.已知圆的圆心在轴上，且经过点.（1）求圆的标准方程；（2）过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据题意，设的中点为，求出的坐标，求出直线的斜率，由直线的点斜式方程分析可得答案，设圆的标准方程为，由圆心的位置分析可得的值，进而计算可得的值，据此分析可得答案； （2）设为的中点，结合直线与圆的位置关系，分直线的斜率是否存在两种情况讨论，综合即可得答案.【详解】解：（1）设的中点为，则，由圆的性质得，所以，得，所以线段的垂直平分线方程是，设圆的标准方程为，其中，半径为，由圆的性质，圆心在直线上，化简得，所以圆心，，所以圆的标准方程为；（2）由（1）设为中点，则，得，圆心到直线的距离，当直线的斜率不存在时，的方程，此时，符合题意；当直线的斜率存在时，设的方程，即，由题意得，解得；故直线的方程为，即；综上直线的方程为或.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆方程的综合应用，属于基础题.19.如图，已知平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点．（1）求证：平面PCD； （2）求PD与平面PMC所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点，连接，，证明平面,原题即得证；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求出PD与平面PMC所成角的正弦值．【小问1详解】取的中点，连接，，∵，分别为，的中点，∴且，又为的中点，底面为正方形，∴且，∴且，故四边形为平行四边形，∴..因为平面ABCD，CD在面ABCD内，所以.又，平面,所以平面，AE在面PAD内，所以.又平面,所以平面,所以平面.【小问2详解】由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，∵，所以，故， 设平面的法向量，则，得，设与平面所成角为，则，故与平面所成角的正弦值为.20.如图所示，已知椭圆的两焦点为，，为椭圆上一点，且（1）求椭圆的标准方程；（2）若点在第二象限，，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据，求出，结合焦点坐标求出，从而可求，即可得出椭圆方程；（2）直线方程与椭圆方程联立，可得的坐标，利用三角形的面积公式，可求△的面积．【小问1详解】解：依题意得，又， ，，，．所求椭圆的方程为．【小问2详解】解：设点坐标为，，所在直线的方程为，即．解方程组，并注意到，，可得．21.如图，在三棱锥中，，O为AC的中点．（1）证明：⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角为，求的值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由等腰三角形三线合一得到，由勾股定理逆定理得到，从而证明出线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，求出点的坐标，设，利用空间向量及二面角列出方程，求出答案.【小问1详解】 在中，，O为AC的中点．则中线，且；同理在中有，则；因为，O为AC的中点．所以且；在中有，则，因为，平面ABC，所以⊥平面ABC．【小问2详解】由（1）得⊥平面ABC，故建立如图所示空间直角坐标系，则，设，则，而，，，设平面PAM的一个法向量为，由得，，令，又x轴所在直线垂直于平面PAC， ∴取平面PAC的一个法向量，，平方得，令，，．22.已知椭圆经过点，离心率为（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于，两点，若以，为邻边的平行四边形的顶点在椭圆上，求证：平行四边形的面积为定值.【答案】（1）（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）由题意可得关于的方程组，求得的值，则椭圆方程可求；（2）联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系及四边形是平行四边形，可得点坐标，把点坐标代入椭圆方程，得到，利用弦长公式求得，再由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，代入三角形面积公式即可证明平行四边形的面积为定值．【详解】解：（1）因为椭圆过点，代入椭圆方程，可得①，又因为离心率为，所以，从而②，联立①②，解得，， 所以椭圆为；（2）把代入椭圆方程，得，所以，设，，则，所以，因为四边形是平行四边形，所以，所以点坐标为.又因为点在椭圆上，所以，即.因为.又点到直线的距离，所以平行四边形的面积，即平行四边形的面积为定值.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．