重庆市 2022-2023学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析）

重庆市朝阳中学2022-2023学年（下）期半期考试高二年级数学试题分值：150分时间：120分钟一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合，集合，则等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，用列举法写出集合，对集合取并集即可得到答案.【详解】集合，又集合，所以.故选：C.2.已知向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据得出，根据充分必要条件的定义可判断.【详解】解：∵，向量，，∴，即，根据充分必要条件的定义可判断：“”是“”的充分不必要条件，故选：A.3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排3名，乙场馆安排1名，丙场馆安排2名，则不同的安排方法共有（）．A.120种B.90种C.80种D.60种【答案】D 【解析】【分析】根据场馆安排，对6名同学依次分组，利用分步乘法原则即可求得结果.【详解】首先安排甲场馆的3名同学，即；再从剩下的3名同学中来安排乙场馆的1名同学，即；最后安排2名同学到丙场馆，即.所以不同的安排方法有：种.故选：D.4.我国魏晋时期著名的数学家刘徽在《九章算术注》中提出了“割圆术——割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣”.也就是利用圆的内接多边形逐步逼近圆的方法来近似计算圆的面积.如图的半径为1，用圆的内接正六边形近似估计，则的面积近似为，若我们运用割圆术的思想进一步得到圆的内接正二十四边形，以此估计，的面积近似为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求得圆内接正二十四边形的面积，由此求得的面积的近似值.【详解】，圆内接正二十四边形的面积为.故选：C 5.函数的部分图象大致形状是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，分析可得函数为奇函数，且在上，，据此排除分析可得答案．【详解】解：根据题意，，其定义域为，则有，即函数为奇函数，排除、；又由当上时，，，，则有，排除；故选：．6.如图所示，在正方体中，点F是棱上的一个动点(不包括顶点)，平面交棱于点E，则下列命题中正确的是()A.存在点F，使得为直角B.对于任意点F，都有直线∥平面 C.对于任意点F，都有平面平面D.当点F由向A移动过程中，三棱锥的体积逐渐变大【答案】C【解析】【分析】A：验证是否为零即可；B：根据线面平行的性质即可判断；C：证明⊥平面即可；D：证明∥平面即可．【详解】对于A，易知，故与不垂直，故A错误；对于B，连接、AC、EF，则平面平面=EF，若∥平面，则∥EF，显然仅当F和E为所在棱中点时与EF才平行，故B错误；对于C，连接、、、、、，由AB⊥平面得AB⊥，易知⊥，∵AB∩=A，AB、平面，∴⊥平面，∴⊥，同理可证⊥，∵∩=，、平面，∴⊥平面， ∵平面，∴平面⊥平面，故C正确；对于D，连接、、，∵∥，平面，平面，∴∥平面，则F到平面的距离为定值，又△面积为定值，故三棱锥F-体积为定值，故D错误．故选：C．7.疫情之下，口罩成为家家户户囤货清单中必不可少一项，某新闻记者为调查不同口罩的防护能力，分别在淘宝、京东、拼多多等购物平台购买了7种口罩，安排4人进行相关数据统计，且每人至少统计1种口罩的相关数据（不重复统计），则不同的安排方法有（）A.6000种B.7200种C.7800种D.8400种【答案】D【解析】【分析】由题意可知安排方法分三类，第一类，3个人统计1种，1个人统计4种，第二类，2个人统计1种，1个人统计2种，1个人统计3种，第三类，1个人统计1种，3个人统计2种，然后利用先分组后排列计算即得.【详解】由题意可知安排方法分三类：第一类，3个人统计1种，1个人统计4种，有（种）；第二类，2个人统计1种，1个人统计2种，1个人统计3种，有（种）；第三类，1个人统计1种，3个人统计2种，有（种）；故总的安排方法有（种）．故选：D． 8.已知函数，若对于定义域内的任意实数，总存在实数使得，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据已知条件将问题转化为求函数没有最小值问题，利用导数法求函数的最值的步骤，但要注意对参数进行分类讨论即可求解.【详解】由题意可知，的定义域为，因为对于定义域内的任意实数s，总存在实数t使得，所以函数在上没有最小值，，当时，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.当时，取得最大值为，值域为，在内无最小值，因此.当时，令，，，当时，；当时，；所以在上单调递增，在上单调递减. 当时，取得最大值为，显然，即，在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图所示当时，有两个根，不妨设，当或时，；当或时，；所以在和上单调递减，在和上单调递增.所以在与处都取得极小值，所以，不符合题意，当时，，当且仅当，时取到等号，当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增.当时，取得最小值为，不符合题意，综上所述，实数a的取值范围为故选：D.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是将问题转化为求函数没有最小值，利用导数法求函数的最值步骤，但在研究 与的大小关系时，借助函数的图象，得出对分和两种情况讨论即可求解.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得2分）．9.在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则（）A.二项式系数和为64B.各项系数和为64C.常数项为D.常数项为135【答案】ABD【解析】【分析】先根据题意，分别对四个选项一一验证：求出n=6，得到二项展开式的通项公式，对于A:二项式系数和为,可得；对于B:赋值法，令，可得；对于C、D:利用二项展开式的通项公式，可得.【详解】在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，令，得各项系数和为，二项式系数和为，则，得，即二项式系数和为64，各项系数和也为64，故A、B正确；展开式的通项为，令，得，因此，展开式中的常数项为．故D正确.故选：ABD.【点睛】二项式定理类问题的处理思路：利用二项展开式的通项进行分析．10.函数部分图像如图所示，下列结论中正确的是（） A.直线是函数图像的一条对称轴B.函数的图像关于点对称C.函数的单调递增区间为D.将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像【答案】BCD【解析】【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再逐项判断作答.【详解】观察图象知，，函数的周期，有，由得：，而，则，，对于A，因，则直线不是函数图象的对称轴，A不正确；对于B，由得：，则函数的图象关于点对称，B正确；对于C，由得：，则函数的单调递增区间为，C正确；对于D，，D正确.故选：BCD11.若时，关于的不等式恒成立，则实数的值可以为（）（附：）A.B.3 C.D.【答案】BC【解析】【分析】采用参变分离的方法可得恒成立，令，利用导数可求得的单调性，由此可得，进而确定的范围，对比选项可得结果.【详解】由题意知：当时，恒成立；令，则，令，则，当时，恒成立，单调递增，所以，即恒成立，在上单调递增，，，即实数的取值范围为.，，，，.故选：BC.【点睛】思路点睛：解决本题中的恒成立问题的基本思路是采用参变分离的方法，将恒成立的不等式转化为，由此可将问题转化为最大值的求解问题.12.已知在平面直角坐标系中，，，，，，为该平面上一动点，记直线，的斜率分别为和，且，设点运动形成曲线，点，是曲线上位于轴上方的点，且，则下列说法正确的有（）A.动点的轨迹方程为B.面积的最大值为C.的最大值为D.的最小值为【答案】CD【解析】【分析】设，根据题意和两点求直线斜率公式计算化简求出点的轨迹方程，即可判断 ；结合三角形的面积计算即可判断；根据椭圆的定义和三角形三边的大小关系即可判断；结合椭圆的焦半径公式可得，当时取得最小值，即可判断.【详解】对于选项：因为已知在平面直角坐标系中，，，为该平面上一动点，记直线，的斜率分别为和，且，设点，则，，由，得，整理，得，即动点的轨迹方程为，故错误；对于选项：当点运动到椭圆的上顶点时，的面积最大，此时，故错误；对于选项：由椭圆的定义，得，而，当且仅当、、三点共线且点位于第四象限时等号成立，所以，故正确；对于选项： 如图、为椭圆的准线，由圆锥曲线统一定义得，得，，(其中)，有，当即时，取得最小值，此时，，得，，所以，故正确.故选：.三、填空题（本大题4个小题，每小题5分，共20分）．13.若复数满足（其中是虚数单位），则________．【答案】【解析】【分析】设，再代入，利用复数相等的概念得到，再求.【详解】设，则，因为，所以，解得，所以，.故答案为：. 14.的展开式中的常数项为________．【答案】【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式确定常数项对应项数，再代入得结果.【详解】，令得，，所以的展开式中的常数项为.故答案为：15.7个人站成一排，若甲、乙两人之间恰有2人．则不同的站法种数为________．【答案】【解析】分析】根据分步乘法计数原理，结合排列与组合知识及捆绑法解决即可.【详解】分为3步：①将甲乙2人排成一排，有种情况；②在其他5人中任选2人，安排在甲乙之间，有种情况；③将4人看成一个整体，与剩余3人全排列，有种情况，则不同的站法共有种.故答案为：.16.对于定义在上的函数，若存在距离为的两条直线和，使得对任意都有恒成立，则称函数的，有一个宽度为的通道．给出下列函数：①；②；③；④．其中在区间上存在通道宽度为1的函数有________．（写出所有正确的序号）【答案】③④【解析】 【分析】①根据在区间上单调递减，即可得出的值域，进而判断出结论；②根据，，可得的值域，进而判断出结论；③，，根据图象是双曲线在第一象限的部分，利用渐近线，即可判断出结论；④，，利用导数研究函数的单调性与极值、值域，进而判断出结论.【详解】在区间上单调递减，，因此不存在宽度为的通道；②，，，因此不存在宽度为的通道；③，，函数图象是双曲线在第一象限的部分，其渐近线，故可取另一直线为，满足在上有一个宽度为的通道；④，，，，则函数在上单调递增，在单调递减，时，函数取得极大值，且，又，时，，则，满足，则函数在区间上存在通道宽度为的函数， 取，，则对任意都有恒成立.故答案为：③④四、解答题（本大题共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程.并答在答题卡相应的位置上）．17.函数在处有极值，且其图像在处切线与平行.（1）求函数的单调区间；（2）求函数的极大值与极小值的差【答案】（1）单调递增区间是和函数的单调递减区间是；（2）4【解析】【分析】（1）根据极值点是导函数对应方程的根，可知为的根，结合导数的几何意义有，列出关于的方程组，求解可得到函数的解析式，令和，即可求得函数的单调区间； （2）根据（1）可得的根，再结合单调性，即可得到函数的极大值与极小值，从而求得答案．【详解】（1）函数，函数在处有极值当时①函数图像在处的切线与直线平行，②由①②得，，则令解得或，令解得，函数的单调递增区间是和函数的单调递减区间是.（2）由（1）可知令即解得，函数上单调递增，在上单调递减，在上单调递增函数在处取得极大值c在处取得极小值极大值与极小值的差为.【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，属于基础题. 18.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．（1）求A；（2）若的面积为，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理与求出，进而得到；（2）结合第一问求出的和，的面积，得到，，再用余弦定理求出.【小问1详解】因为，由正弦定理得：，所以，因为，所以，因为，所以；【小问2详解】的面积为，因为，的面积为，所以，解得：，故，所以19.已知数列是首项的正项等比数列，是公差d=2的等差数列，且满足，.（1）求数列，的通项公式；（2）若___________，求的前n项和.请在①；②.这两个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并加以解答.【答案】（1），（2）答案见解析【解析】【分析】(1)根据题意和等比数列与等差数列的通项公式列出关于q和的方程组，解之即可；(2)若选①：由(1)可得，利用等差数列与等比数列的前n项和公式计算即可； 若选②：由（1）可得，利用错位相减求和法计算即可得出结果.【小问1详解】设正项等比数列的公比为q，则，根据题意，由，，可得，即，解得或（舍）所以，.【小问2详解】选①解析：由（1）可得，所以所以选②解析：由（1）可得，所以①则②①-②得，所以.20.如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，为棱的中点． （1）证明：；（2）若，，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接AC,BD交于O，取AD的中点F，连接EF，利用面面垂直性质定理证得PF⊥AC，然后利用菱形证得BD⊥AC,利用线面垂直的判定定理证得AC⊥面EFP，从而证得结论；（2）利用垂直关系建立空间直角坐标系，写出各点坐标和向量的坐标，设出平面的法向量，利用空间向量数量积求解即可.【详解】解：（1）连接AC,BD交于O，取AD中点F，连接EF，∵PA=PD,∴PF⊥AD，又∵面PAD⊥面ABCD，AD面ABCD，∴PF⊥面ABCD，∴PF⊥AC，又∵EF为△ABD中BD边的中位线∴平行且等于又菱形的对角线相互垂直平分，则BD⊥AC,∵PF,EF面EFP，PFEF=F，∴AC⊥面EFP，又PE面EFP，∴（2）连接BF，∵，则△ABD为正三角形，∵F为AD的中点，则BF⊥AD 又∵面PAD⊥面ABCD，AD平面PAD,∴BF⊥平面PAD，又DF平面PAD，∴BF⊥DF以F为原点如图所示建立空间直角坐标系F-，设AD=2，则PA=AD=BP=2则，∴,∴,,设平面EPC的法向量为，∴,即，令，得，同理，设平面PCB的法向量为，∴,即，令，得，设二面角的平面角为，由图可知为锐角，，故二面角的余弦值为. 21.已知过抛物线的焦点向圆引切线（为切点），切线的长为.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）作圆的切线，直线与抛物线交于两点，求的最小值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)9.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）由切线长定理可得，即，解得：或，结合可得结果；(Ⅱ)直线方程为，代入得，根据韦达定理，利用焦半径公式可得，由直线与圆相切，则有，，从而可得，利用二次函数的性质可得结果.试题解析：（Ⅰ）因为圆的圆心为，，由切线长定理可得，即，解得：或，又，，所以抛物线的方程为.（Ⅱ）设，直线方程为，代入得，，得，，由抛物线的性质得：， .又直线与圆相切，则有，即，，因为圆在抛物线内部，所以得：，此时.由二次函数的性质可知当时，取最小值，即的最小值为.22.已知函数，曲线在点处的切线方程为．（1）求、的值；（2）如果当，且时，，求的取值范围．【答案】（1），（2）（-，0]【解析】【详解】（1）由于直线的斜率为，且过点，故即解得，．（2）由（1）知，所以．考虑函数，则．(i)设，由知，当时，，h(x)递减．而故当时，，可得； 当x（1，+）时，h（x）<0，可得h（x）>0从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.（ii）设0<k<1.由于=的图像开口向下，且，对称轴x=.当x（1，）时，（k-1）（x2+1）+2x>0,故(x）>0,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾．（iii）设k1.此时，（x）>0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾．综合得，k的取值范围为（-，0]点评：求参数的范围一般用离参法，然后用导数求出最值进行求解．若求导后不易得到极值点，可二次求导，还不行时，就要使用参数讨论法了．即以参数为分类标准，看是否符合题意．求的答案．此题用的便是后者．