北京市平谷区2022-2023学年高二数学上学期期末考试试题（Word版附解析）

平谷区2022—2023学年度第一学期教学质量监控试卷高二数学2023.1注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，共150分，考试时间为120分钟．2．试题所有答案必须书写在答题纸上，在试卷上作答无效．3．考试结束后，将答题纸交回，试卷按学校要求保存好．第Ⅰ卷选择题（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上．）1.直线在轴上的截距为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】令直线方程中的得出的值即是直线在轴上的截距.【详解】令直线中的，得，即直线在轴上的截距为，故选：D2.在空间直角坐标系中，已知点，，则线段的中点的坐标是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】通过空间直角坐标系已知线段两端点坐标求中点坐标，只需将各坐标相加并除以2，即可得出中点坐标.【详解】在空间直角坐标系中，点，， 线段的中点的坐标是，即线段的中点的坐标是，故选：B.3.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．从袋中随机抽取两个球，那么取出的球的编号之和不大于4的概率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用列举法列出所有可能情况，再根据古典概型的概率公式计算可得；【详解】从编号为1、2、3、4的4个球中随机抽取两个球，其可能结果有，，，，，共6个，其中满足编号之和不大于4的有，共2个，所以取出的球的编号之和不大于4的概率故选：4.已知圆关于对称，则实数等于（）A.B.C.3D.【答案】B【解析】【分析】把圆关于直线对称转化为直线过圆心,点代入直线计算即可.【详解】因为圆关于对称,所以直线过圆的圆心即得,解得，经检验，满足题意，故选:.5.已知平面，，直线，，下列命题中真命题是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，，则 【答案】B【解析】【分析】根据线面垂直和面面垂直的性质与判定定理、线面平行的判定定理和性质依次判断选项即可.【详解】对于A：，，，故A错误，对于B：，，，由平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面可知，故B正确；对于C：，若，由面面垂直判定定理可知，故C错误；对于D：，或与互为异面直线或与相交，故D错误.故选：.6.已知圆：，直线：，则直线被圆所截得的弦长为（）A.B.C.5D.10【答案】A【解析】【分析】先根据圆的一般方程求圆心和半径,再结合半径,弦长和圆心到直线距离的关系式,计算即可.【详解】已知圆：,所以圆心,半径为,圆心到直线：的距离所以直线被圆所截得的弦长为故选:.7.“”是“方程表示双曲线”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据题意求出方程表示双曲线的条件，即可判断出结论.详解】若时，方程不表示双曲线； 若时，方程为双曲线，则，∴是方程表示双曲线的充分必要条件，故选：.8.已知半径为2的圆经过点，其圆心到直线的距离的最小值为（）A.0B.1C.2D.6【答案】C【解析】【分析】设圆心坐标得到圆的圆心的轨迹方程，再利用点到线的距离公式求解.【详解】半径为2的圆经过点，设圆心坐标为，则所以该圆的圆心的轨迹是以为圆心，2为半径的圆故圆心到直线的距离的最小值为点到直线的距离减半径，即故选：.9.某地区工会利用“健步行APP”开展健步走活动．为了解会员的健步走情况，工会在某天从系统中随机抽取了1000名会员，统计了当天他们的步数（千步为单位），并将样本数据分为，，，，，，，，九组，整理得到频率分布直方图如图所示，则当天这1000名会员中步数少于11千步的人数为（）A.100B.200C.260D.300【答案】D【解析】 【分析】分别求出健步走的步数在，，，的人数，即得解.【详解】这1000名会员中健步走的步数在内的人数为；健步走的步数在内的人数为；健步走的步数在内的人数为；健步走的步数在内的人数为；.所以这1000名会员中健步走的步数少于11千步的人数为300人.故选：.10.已知，分别是椭圆（）的左、右焦点，是椭圆上一点，且垂直于轴，，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.2【答案】A【解析】【分析】在直角中，由得到的等量关系，结合计算即可得到离心率.【详解】由已知，且垂直于轴又在椭圆中通径的长度为，，所以,故,即,,又因为解得故选： 第Ⅱ卷非选择题（共110分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卡中相应题中横线上．）11.直线的倾斜角为_______________.【答案】【解析】【分析】由直线斜率为，得到，即可求解.【详解】由题意，可知直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，解得，即换线的倾斜角为.【点睛】本题主要考查直线的倾斜角的求解问题，其中解答中熟记直线的倾斜角与斜率的关系，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.12.北京市某高中有高一学生300人，高二学生250人，高三学生275人，现对学生关于消防安全知识了解情况进行分层抽样调查，若抽取了一个容量为的样本，其中高三学生有11人，则的值等于______．【答案】【解析】【分析】根据分层抽样的性质进行求解即可.【详解】因为抽取了一个容量为的样本，其中高三学生有11人，所以有，故答案为：.13.已知双曲线（）的焦距为，则的值为______；此双曲线的渐近线方程是______．【答案】①.②.【解析】【分析】根据双曲线标准方程求出,再求渐近线方程即可. 【详解】因为双曲线（）的焦距为,所以,即又因为,所以,即,可得;因为双曲线渐近线方程为,又因为,所以双曲线渐近线方程为故答案为:;14.已知抛物线：（）的焦点为，则抛物线的方程是______；若是上一点，的延长线交轴于点，且为的中点，则______．【答案】①.②.【解析】【分析】利用：的焦点坐标为,已知焦点坐标求得,得到抛物线的方程；利用中点坐标公式求得的横坐标，利用抛物线的定义求得到焦点的距离，进而得到所求.【详解】抛物线：的焦点为，可得，则抛物线的方程是.由为的中点，在轴上，的横坐标为0，的横坐标为1，得M的横坐标为，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，是抛物线上的点，是抛物线的焦点，抛物线：的准线方程为,，.故答案为：；.15.在直角坐标系中，为坐标原点，曲线的方程是，为上的任意一点．给出下面四个命题：①曲线上的点关于轴，轴对称；②曲线上两点间的最大距离为；③取值范围为；④曲线围成的图形的面积小于．则以上命题中正确的序号有______．【答案】①③ 【解析】【分析】根据对称性,最值及图像特征分别判断命题即可.【详解】对于①,设在曲线的方程上,因为也在曲线的方程上,也在曲线的方程上,所以曲线上的点关于轴，轴对称;故①正确对于③,又因为曲线的方程是,所以,即得,得,所以,故③正确对于④当时,曲线的方程为,曲线与轴交点与轴交点,曲线上的点关于轴对称可以得到曲线的大致图像,曲线围成的图形的面积大于,故④错误;对于②,如图及曲线的对称性可知,曲线上两点间的最大距离为,故②错误;故答案为:①③三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16.如图，在正方体中，正方体的棱长为2，为的中点． （1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求到平面的距离．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，向量法即可证出；（2）求出平面的一个法向量，再根据线面角的向量公式即可求出；（3）根据点到平面的距离向量公式即可求出．【小问1详解】以为原点，所在的直线分别为轴如图建立空间直角坐标系，则, 【小问2详解】因为正方体的棱长为2，∴，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，∴，设直线与平面所成角为，则|＝||＝，故直线与平面所成角的正弦值为．【小问3详解】∵，∴由（2）知，平面所的法向量为，∴平面，所以到平面的距离可以转化为点到平面的距离，17.某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求：（1）该应聘者用方案一考试通过的概率； （2）该应聘者用方案二考试通过的概率．【答案】（1）;（2）;【解析】【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式及互斥事件的加法公式直接计算即可；（2）分情况结合乘法公式即互斥事件加法公式即可得解.【详解】（1）记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为，，，则，，，应聘者用方案一考试通过的概率：；（2）应聘者用方案二选择任意两科的概率为，考试通过概率：.18.已知椭圆：（）的短轴长为4，离心率为．点为圆：上任意一点，为坐标原点．（1）求椭圆的标准方程；（2）记线段与椭圆交点为，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率公式及，即可求得和的值，求得椭圆方程； （2）根据两点之间的距离公式，根据，，即可求得的取值范围；【小问1详解】由题意可知：，，，则，∴椭圆的标准方程：；【小问2详解】由题意可知：，设，则，∴，由，当时，，当时，，∴的取值范围；19.某高中高一500名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，…，，并整理得到频率分布直方图如图所示．（1）从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间内的人数；（3）估计随机抽取的100名学生分数的众数，估计测评成绩的75%分位数；（4）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70 的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．【答案】（1）（2）人（3）众数为；测评成绩的75%分位数为（4）【解析】【分析】（1）由对立事件结合频率分布直方图先得出数不小于60的频率，即可得出分数小于60的频率，则可得出总体的500名学生中随机抽取一人，其分数小于60的概率估计值；（2）先由频率分布直方图可得分数不小于50的频率，即可得出分数不小于50的人数，在集合题意即可得出总体中分数在区间内的人数；（3）总数为频率分布直方图中频率最高的分数区间的中间值，测评成绩的75%分位数先得出从前到后的频率之和为0.75时在那个区间，在通过频率求出；（4）先由频率分布直方图可得分数不小于70的学生人数，在通过已知得出样本中的男女生比例，即可得出总体中男女生的比例估计.【小问1详解】由频率分布直方图可得分数不小于60的频率为：，则分数小于60的频率为：，故从总体的500名学生中随机抽取一人，其分数小于60的概率估计为；【小问2详解】由频率分布直方图可得分数不小于50频率为：，则分数在区间内的人数为：人，则总体中分数在区间内的人数为：人；【小问3详解】由频率分布直方图可得分数在区间的频率最高，则随机抽取的100名学生分数的众数估计为，由频率分布直方图可得分数小于70的频率为，分数小于80的频率为，则测评成绩的75%分位数落在区间上，则测评成绩的75%分位数为； 【小问4详解】由频率分布直方图可得分数不小于70的学生人数为人，因为样本中分数不小于70的男女生人数相等所以样本中分数不小于70的男生人数为人，又因为样本中有一半男生的分数不小于70，所以样本中的男生共有人，则样本中的女生共有人，所以总体中男生和女生人数的比例估计为.20.如图，四棱雉中，底面为矩形，平面，为的中点．（1）求证：∥平面；（2）求证：平面平面；（3）设平面与平面夹角为60°，，，求长．【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析（3）【解析】【分析】（1）连交于点，连接，由线面平行判定定理可证；（2）证明CD⊥平面PAD,则应用面面垂直的判定定理证明即可；（3）建立空间坐标系，求出两平面的法向量，利用法向量的夹角公式运算得出AB的长．【小问1详解】连交于点，连接，∵为中点，为中点.∴，平面，平面平面 【小问2详解】∵平面，平面，，∵为矩形，,又,平面,平面∴平面，又平面．平面平面；【小问3详解】以为原点，以AB，AD，AP为坐标轴建立空间坐标系如图所示，设AB＝，则A（0，0，0），C（a，，0），D（0，，0），P（0，0，1），E（0，，），∴（a，，0），（0，，），（0，0，1），显然（1，0，0）为平面AED的一个法向量，设平面ACE的法向量为（x，y，z），则，即，令z得（，﹣1，），∵平面与平面夹角为60°，∴|cos|＝||，解得，即AB． 21.已知椭圆C：的两个焦点是，，点在椭圆C上，且右焦点．O为坐标原点，直线l与直线OM平行，且与椭圆交于A，B两点．连接MA、MB与x轴交于点D，E．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求证：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）通过且即可得出轴，再通过勾股定理即可得出，再结合通过椭圆的定义得出a的值，通过焦点得出c的值，即可得出b的值，即得出椭圆的标准方程；（2）根据直线l与直线OM平行得出直线l的斜率即可设出直线l的的方程，设，，通过直线l与椭圆C方程的联立即可得出，的值，列出直线MA的方程令，可得点D的横坐标，同理列出直线MB的方程令，可得点E的横坐标，由点D，E的坐标得出并化简代入，的值即可证明.【小问1详解】且，轴，且，，， ，，，椭圆C的标准方程为：；【小问2详解】证明：设，，直线l与直线OM平行，且直线OM的斜率为，直线l的斜率为，设直线l的方程为，由，消去y，得，令，得，且，，直线MA的方程为：，令，可得点D的横坐标为，同理可得点E的横坐标为，，， ，A，B两点均在直线l上，，，代入可得，，，代入，，化简得：，.