第28章锐角三角函数28.1锐角三角函数第3课时课后习题（附解析人教版）

第3课时　特殊角的三角函数值知能演练提升能力提升1.若AD为△ABC的高,AD=1,BD=1,DC=3,则∠BAC等于(　　)A.105°或15°B.15°C.75°D.105°2.如图,AB是☉O的直径,弦AC,BD相交于点E,若∠AED=60°,则CDAB等于(　　)A.3B.233C.32D.123.已知∠A是△ABC的内角,且sinB+C2=32,则tanA=.4.已知∠B是Rt△ABC的一个内角,且tanB=3,则cosB2=　　　　　. 5.若2sin(x+10°)-1=0,则锐角x=　　　　　. 6.因为cos30°=32,cos210°=-32,所以cos210°=cos(180°+30°)=-cos30°=-32;因为cos45°=22,cos225°=-22,所以cos225°=cos(180°+45°)=-cos45°=-22.猜想:一般地,当α为锐角时,有cos(180°+α)=-cosα,由此可知cos240°的值等于　　　. 7.小颖将手中的一副三角尺按如图所示方式摆放在一起,连接AD后,你能帮她求出∠ADB的正切值吗?★8.由于水资源缺乏,B,C两地不得不从黄河上的扬水站A处引水,这就需要在A,B,C之间铺设地下输水管道.有人设计了三种铺设方案,分别如图①,②,③.图中实线表示管道铺设线路,在图②中,AD4 ⊥BC于D;在图③中,OA=OB=OC.为减少渗漏,节约水资源,并降低工程造价,铺设线路应尽量缩短.已知△ABC恰好是一个边长为am的等边三角形,请你通过计算,判断哪个铺设方案最好.创新应用★9.如图,要求tan30°的值,可构造直角三角形进行计算:作Rt△ABC,使∠C=90°,斜边AB=2,直角边AC=1,则BC=3,∠ABC=30°,tan30°=ACBC=13=33.在此图的基础上通过添加适当的辅助线,可求出tan15°的值.请你写出添加辅助线的方法,并求出tan15°的值.4 能力提升1.A2.D　因为∠C=∠B,∠DEC=∠AEB,所以△DEC∽△AEB.所以CDAB=DEEA.连接AD,因为AB是☉O的直径,所以∠ADE=90°,所以cos∠AED=DEEA=12.故CDAB=12.3.3　∵sinB+C2=32,∴B+C2=60°,∴∠B+∠C=120°.∴∠A=180°-(∠B+∠C)=60°,∴tanA=3.4.32　∵tanB=3,∴∠B=60°,∴B2=30°,∴cosB2=32.5.35°　由题意,得sin(x+10°)=22,所以x+10°=45°,即x=35°.6.-12　由示例及猜想可知,若一个大于平角的角可以将其表示成一个平角与一个锐角的和,则该大于平角的角的余弦值等于这个锐角的余弦值的相反数,所以cos240°=cos(180°+60°)=-cos60°=-12.7.解如图,过点A作AE⊥DB,交DB的延长线于点E,则∠ABE=45°.设BE=AE=x,则在Rt△ABE中,由勾股定理,得AB=2x.在Rt△ABC中,BC=ABtan30°=6x.在Rt△BDC中,BD=BCsin45°=3x.∴DE=(1+3)x.∴tan∠ADB=AEDE=x(1+3)x=3-12.8.解题图①所示方案的线路总长为AB+AC=2am.如题图②,在Rt△ABD中,AD=ABsin60°=32a(m),所以题图②所示方案的线路总长为AD+BC=32+1am.4 如图,延长AO交BC于点E,因为AB=AC,OB=OC,所以OE⊥BC,BE=EC=a2m.在Rt△OBE中,∠OBE=30°,OB=BEcos30°=33a(m).所以题图③所示方案的线路总长为OA+OB+OC=3OB=3am.比较可知,3a<32+1a<2a,所以题图③所示铺设方案最好.创新应用9.解此处只给出两种方法(还有其他方法).(1)如图,延长CB到点D,使BD=AB,连接AD.则∠D=15°,tan15°=ACDC=12+3=2-3.(2)如图,延长CA到点E,使CE=CB,连接BE.过点A作AG⊥BE,垂足为G.则△AEG为等腰直角三角形,且AE=3-1,BE=6,AG=3-12=6-22,∠ABE=15°.故tan15°=AGBG=6-226-6-22=6-26+2=2-3.4