第28章锐角三角函数28.1锐角三角函数第2课时课后习题（附解析人教版）

第2课时　锐角的余弦和正切知能演练提升能力提升1.如图,AD是Rt△ABC斜边BC上的高,在下列结论中:①sinα=CDAC;②cosα=BDAB;③tanα=ACAB;④cosα=ADCD,其中正确的个数是(　　)A.4B.3C.2D.12.如图,CD是一个平面镜,光线从点A射出经CD上的点E反射后照射到点B,设入射角为α(入射角等于反射角),AC⊥CD,BD⊥CD,垂足分别为C,D.若AC=3,BD=6,CD=12,则tanα的值为(　　)A.43B.34C.45D.353.如图,某游乐场一滑梯的高为h,滑梯面与铅垂面的夹角为α,则滑梯长l为(　　)A.hsinαB.htanαC.hcosαD.h·sinα4.如图,在Rt△BAD中,延长斜边BD到点C,使DC=12BD,连接AC,若tanB=53,则tan∠CAD的值为(　　)A.33B.356 C.13D.155.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8.若∠BPC=12∠BAC,则tan∠BPC=　　　　　. 6.如图,在边长相同的小正方形组成的网格中,点A,B,C,D都在这些小正方形的顶点上,若AB,CD相交于点P,则tan∠APD的值是　　　　　. 7.如图,矩形ABCD的周长为30cm,两条邻边AB与BC的比为2∶3.求:(1)AC的长;(2)锐角α的三个三角函数值.8.如图,四边形ABCD是平行四边形,以AB为直径的☉O经过点D,E是☉O上一点,且∠AED=45°.(1)试判断CD与☉O的位置关系,并说明理由;(2)若☉O的半径为3cm,AE=5cm,求∠ADE的正弦值.6 9.如图,在平面直角坐标系中,射线OM在第一象限,点A的坐标为(1,0),以原点O为圆心,OA长为半径画弧,交y轴于点B,交OM于点P,作CA⊥x轴交OM于点C.设∠AOM=α,求点P和点C的坐标.(用α的三角函数表示)创新应用★10.通过学习三角函数,我们知道在直角三角形中,一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定,因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似地,可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图①,在△ABC中,AB=AC,顶角A的正对记作sadA,这时sadA=底边腰=BCAB.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义,解决下列问题:(1)sad60°=　　　　　; (2)对于0°<∠A<180°,∠A的正对值sadA的取值范围是　　　　　; (3)如图②,已知sinA=35,其中∠A为锐角,试求sadA的值.6 能力提升1.B2.A　∵∠AEC=∠BED,∠C=∠D,∴△AEC∽△BED.∴ACBD=CEDE,即36=CE12-CE,解得CE=4.∴tanα=tanA=CEAC=43.3.C4.D　(方法一)由tanB=53,设AD=5k,AB=3k,如图,过点D作DE∥AB交AC于点E,则∠ADE=90°,DEAB=CDBC.∵DC=12BD,∴CDBC=13,∴DE=13AB,∴tan∠CAD=DEAD=13×ABAD=15.(方法二)如图,延长AD,过点C作CE⊥AD,垂足为E.∵tanB=53,即ADAB=53,∴设AD=5x,则AB=3x.∵∠CDE=∠BDA,∠CED=∠BAD,∴△CDE∽△BDA,∴CEAB=DEAD=CDBD=12,∴CE=32x,DE=52x,∴AE=152x,∴tan∠CAD=ECAE=15.5.43　如图,过点A作AD⊥BC,垂足为D,则AD平分∠BAC,且D为BC的中点,所以BD=4,根据勾股定理可求出AD=3.因为∠BPC=12∠BAC,所以∠BPC=∠BAD,所以tan∠BPC=tan∠BAD=BDAD=43.6 6.2　(方法一)如图,连接BE.∵四边形BCED是正方形,∴DF=CF=12CD,BF=12BE,CD=BE,BE⊥CD,∴BF=CF.根据题意得AC∥BD,∴△ACP∽△BDP,∴DP∶CP=BD∶AC=1∶3.∴DP=PF=12CF=12BF.在Rt△PBF中,tan∠BPF=BFPF=2.∵∠APD=∠BPF,∴tan∠APD=2.(方法二)如图,连接AH,BH,易知AH⊥BH,且CD∥BH,于是tan∠APD=tan∠ABH=AHBH=2.7.解(1)∵AB+BC=15cm,AB∶BC=2∶3,∴AB=6cm,BC=9cm,∴AC=AB2+BC2=313cm.(2)在Rt△ABC中,sinα=ABAC=21313,cosα=BCAC=31313,tanα=ABBC=23.8.解(1)CD与☉O相切.理由是:连接OD,则∠AOD=2∠AED=2×45°=90°.∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠CDO=∠AOD=90°,∴OD⊥CD,∴CD与☉O相切.(2)连接BE,则∠ADE=∠ABE.∵AB是☉O的直径,∴∠AEB=90°,AB=2×3=6(cm).在Rt△ABE中,sin∠ABE=AEAB=56.∴sin∠ADE=sin∠ABE=56.9.解过点P作PD⊥x轴于点D.在Rt△OAC中,tanα=ACOA=AC1,所以AC=tanα.6 所以点C的坐标为(1,tanα).在Rt△ODP中,sinα=PDOP=PD1,所以PD=sinα,cosα=ODOP=OD1,所以OD=cosα,所以点P的坐标为(cosα,sinα).创新应用10.解(1)1;(2)0<sadA<2;(3)延长AC至点D,使AD=AB.由sinA=35,可设BC=3a,AB=5a,则AC=4a,AD=5a,CD=a.所以BD=CD2+BC2=10a.于是sadA=BDAB=10a5a=105.6