湖北省武汉外国语学校2022-2023学年高二数学下学期期末试题（Word版附解析）

武汉外国语学校2022—2023学年度下学期期末考试高二数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.展开式中第4项的二项式系数为（）A.B.1120C.56D.70【答案】C【解析】【分析】根据二项式定理结合二项式系数的定义即可得解.【详解】展开式中第4项的二项式系数为.故选：C.2.对于变量Y和变量x的成对样本观测数据，用一元线性回归模型得到经验回归模型，对应的残差如下图所示，模型误差（）A.满足一元线性回归模型的所有假设B.不满足一元线性回归模型的的假设C.不满足一元线性回归模型的假设D.不满足一元线性回归模型的和的假设【答案】C【解析】【分析】根据用一元线性回归模型有关概念即可判断. 【详解】解：用一元线性回归模型得到经验回归模型，根据对应的残差图，残差的均值可能成立，但明显残差的轴上方的数据更分散，不满足一元线性回归模型，正确的只有C.故选：C.3.设随机变量X的概率分布列如图所示，则（）X1234P0.20.30.40.1A.0.84B.3.36C.1.68D.10.36【答案】B【解析】【分析】由均值和方差的公式求出，再由方差的性质求解即可.【详解】因为，则，所以.故选：B.4.命题：“，，使得”的否定是（）A.，，使得B.，，使得C.，，使得D.以上结论都不正确【答案】B【解析】【分析】改量词，否结论即可.【详解】“，，使得”的否定是“，，使得”，故选：B 5.如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法？（）A.120B.180C.221D.300【答案】B【解析】【分析】分Ⅰ，Ⅳ同色和不同色两种情况讨论，结合分布乘法原理即可得解.【详解】当Ⅰ，Ⅳ同色时，则Ⅰ有种涂色方法，Ⅱ有种涂色方法，Ⅲ有种涂色方法，此时共有种涂色方法；Ⅰ，Ⅳ不同色时，则Ⅰ有种涂色方法，Ⅳ有种涂色方法，Ⅱ有种涂色方法，Ⅲ有种涂色方法，此时共有种涂色方法，综上共有种不同的着色方法.故选：B.6.设随机变量，则X密度函数为（）AB.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据正态分布的定义可求得，从而可求X的密度函数.【详解】因为，所以，即，所以X的密度函数为A.故选：A7.设随机变量，记，，下列说法正确的是（） A.当k由0增大到n时，先增后减，在某一个（或两个）k值处达到最大.二项分布当时是对称的，当时向右偏倚，当时向左偏倚B.如果为正整数，当且仅当时，取最大值C.如果为非整数，当且仅当k取的整数部分时，取最大值D.【答案】C【解析】【分析】由可得，分析可判断BC选项，进而根据二项分布的图象性质可判断A选项；根据二项分布的期望公式可判断D选项.【详解】因为，，，由，得，解得，若为正整数，则或时，取最大值，故B错误；若为非整数，则取的整数部分时，取最大值，故C正确；综上所述，当k由0增大到n时，先增后减，在某一个（或两个）k值处达到最大.根据二项分布的图象性质可得，当时是对称的，当时向左偏倚，当时向右偏倚，故A错误；而，故D错误.故选：C.8.已知函数，则方程的根的个数是（）A.2B.4C.5D.6【答案】B【解析】 【分析】对求导，判断单调性画出图象，令，则，结合图象方程有两解，，结合图象可知方程有两解，也有两解，从而可解.【详解】对求导得：，所以当或时，，当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，因此，函数在处取得极小值，在处取得极大值，作出曲线，如图，由得，解得，令，则，结合图象方程有两解，，所以或，因为，所以,结合图象可知方程有两解，又因为，结合图象可知也有两解，所以方程共有4个根.故选：B【点睛】方法点睛:求函数零点(方程根)的常用的方法: （1）直接法:直接求解方程得到方程的根；（2）数形结合法:先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）9.设离散型随机变量X，非零常数a，b，下列说法正确的有（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据均值与方差的性质即可判断AB；根据均值与方差的关系即可判断CD.【详解】对于A，，所以，故A正确；对于B，，所以，故B正确；对于CD，根据均值与方差的关系可得，故C错误，D正确.故选：ABD.10.下列说法正确的有（）A.命题：“，”的否定是：“，”B.命题：“若，则”的否定是：“若，则”C.已知x，，则“x或y为有理数”是“xy为有理数”的既不充分也不必要条件D.如果x，y是实数，则“”是“”的必要不充分条件【答案】CD【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，即可判断AB ；根据充分条件和必要条件的定义即可判断CD.【详解】对于A，命题：“，”即，，其否定是：“，”，故A错误；对于B，命题：“若，则”的否定是：“，则”，故B错误；对于C，当时，，故充分性不成立，当时，，故必要性不成立，所以“x或y为有理数”是“xy为有理数”的既不充分也不必要条件，故C正确；对于D，当时，，故充分性不成立，若，则，故当时，，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确.故选：CD.11.已知定义在上的函数满足：对，都有，则对于，，下式成立的有（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】设函数判断A选项,结合判断B,C,D选项.【详解】,,B选项正确;,C选项正确;, ,D选项正确;定义在上的函数满足：对，都有，设,,A选项错误.故选:BCD12.下列不等式中成立的有（）A.B.当时，C.当且时，D.当时，【答案】BC【解析】【分析】A选项构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，可判断A选项；证明出、，可判断B选项；利用B选项中的两个不等式可判断C选项；构造函数，利用导数分析该函数的单调性，可判断D选项.【详解】对于A选项，令，其中，则，当时，，，则，此时，，故函数在上为增函数，故，A错；对于B选项，令，其中，则， 当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，，即，令，其中，则，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，，即，故当时，，当且仅当时，两个等号同时成立，故，B对；对于C选项，由B选项可知，当时，，，上述两个不等式当且仅当时，等号成立，所以，当且时，，，当且仅当时等号成立，，当且仅当时等号成立，不等式中等号不能同时成立，即当且时，，C对；对于D选项，令，其中，则且不恒为零，则函数在上单调递增，所以，当时，，即，当时，，即，D错.故选：BC.三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.函数的单调减区间为______. 【答案】【解析】【分析】求导后，令导数小于0，求解即可.【详解】的定义域为，，令，可得，可得，又，则或，所以的单调递减区间是.故答案为：14.1260有__________个不同的正因数.（用数字作答）【答案】36【解析】【分析】将1260分解，然后根据分步乘法计数原理计算即可.【详解】，第一步，可以取，共3种，第二步，可以取，共3种，第三步，可以取，共2种，第四步，可以取，共2种，所以一共有种取法，对应36个不同的正因数.故答案为：3615.已知某商品进价为a元/件，根据以往经验，当售价是元/件时，可卖出c件，市场调查表明，当售价下降10%时，销量可增加40%.现决定一次性降价，为获得最大利润，售价应定为______元/件. （用含a，b的式子表示）【答案】【解析】【分析】设销售价为x，则降价相对于售价是b时，降低了个10%，从而销量提高了个40%，从而求得可获得的利润为y，求导，由导数求得函数最大值，此时取得的x的值即为销售价.【详解】设销售价为x，可获得的利润为y，则，求导得，令，解得，由知，，又，，所以当时，，函数单增；当时，，函数单减；因此是函数的极大值点，也是最大值点；故当销售价为元/件时，可获得最大利润.故答案为：16.已知，，计算______.【答案】【解析】【分析】根据组合数公式可得，，再结合二项式系数和公式即可求解.【详解】根据组合数公式可得， ，所以原式.故答案为：.【点睛】关键点睛：这道题的关键能够根据组合数公式可得，，再结合二项式系数和公式即可求解.四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.如图，和所在平面垂直，且，，求：（1）直线与平面所成角的大小；（2）平面和平面夹角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）过点作交的延长线于，连接，证得两两垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角的公式即可求出结果；（2）利用向量法求解即可.【小问1详解】 过点作交的延长线于，连接，因为，，所以，因此，又因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又平面，平面，所以,，因此两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，则，则，由于平面，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，则，又因为线面角的范围是，所以，因此直线与平面所成的角为；【小问2详解】，则,设平面的法向量为，所以，令,可得，则，则，故平面和平面的夹角的余弦值为. 18.（1）设集合，，求：，；（2）已知、、都是正数，且满足，求证：.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）分、、且三种情况讨论，求出集合、，利用交集和并集的定义可求得集合，；（2）利用基本不等式可得出、，，利用不等式的基本性质可证得结论成立.【详解】解：（1）因为，.①当时，则，则，；②当时，则，则，；③当且时，则，则，.综上所述，当时，，；当时，，；当且时，，.（2）因为、、都是正数，则，当且仅当时，等号成立，同理可得，， 所以，，当且仅当时，等号成立，因此，.19.已知数列是等比数列，其前n项和为，若，.（1）求数列的通项公式；（2）已知数列是等差数列，，如果等差数列的通项满足.令，求数列的前n项和.【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）设数列的公比为，化简和为基本量和的关系，进而解出和，从而求解；（2）设数列的公差为，可得，，进而根据等差数列的前三项成等差数列，可得，从而得到，，进而分或两种情况得到，进而求解即可.【小问1详解】设数列的公比为，则， 解得，或，，所以或.【小问2详解】设数列的公差为，则，所以，即，，，又数列为等差数列，所以，即，解得，即，，当时，，所以，，即数列是以24为首项，为公比的等比数列，所以；当时，， 所以.综上所述，或.20.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.（1）求次传球后球在甲手中的概率；（2）求次传球后球在乙手中的概率；（3）已知：若随机变量服从两点分布，且，，则，记前n次传球后（即从第1次传球到第次传球后）球在甲手中的次数为，求.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”，设次传球后球在甲手中的概率为，，分析可得，，由此可得，变形可得，可得数列是以为首项，为公比的等比数列，结合等比数列的通项公式求解即可；（2）记表示事件“经过次传球后，球在乙手中”，设次传球后球在乙手中的概率为，，分析可得，，由此可得，变形可得，可得数列是以为首项，为公比的等比数列，结合等比数列的通项公式求解即可； （3）结合第（1）问结论和题设条件，运用等比数列求和公式分组求和即可求解.【小问1详解】记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”，设次传球后球在甲手中的概率为，，若发生，即经过次传球后，球再次回到甲手中，那么第次传球后，球一定不在甲手中，即事件一定不发生，则有，，必有,即，即，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，即.【小问2详解】记表示事件“经过次传球后，球在乙手中”，设次传球后球在乙手中的概率为，，若发生，即经过次传球后，球在乙手中，那么第次传球后，球一定不在乙手中，即事件一定不发生，则有，，必有,即，即，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即.【小问3详解】由题意次传球后球在甲手中的次数服从两点分布，且，所以，，由（1）得，则.21.平面内与两定点，连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上，两点所成的曲线记为曲线C.（1）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；（2）若时，对应的曲线为；对给定的，对应的曲线为.设，是的两个焦点，试问：在上是否存在点N，使得的面积，并证明你的结论.【答案】（1）；答案见解析（2）存在；证明见解析【解析】【分析】（1）设动点为，其坐标为，根据题意可得，整理可得曲线C的方程为，再把方程化为标准方程即可判断曲线的类型；（2）对于给定的，上存在点，使得的面积的充要条件为，从而求得或，进而解决问题.【小问1详解】设动点为，其坐标为， 当时，由条件可得，即，又的坐标满足.所以曲线C的方程为.当时，曲线的方程为是焦点在轴上的椭圆；当时，曲线的方程为是圆心在原点的圆；当时，曲线的方程为是焦点在轴上的椭圆；当时，曲线的方程为是焦点在轴上的双曲线.【小问2详解】在上存在点N，使得面积，证明如下：由（1）知，当时，曲线的方程为，当时，的焦点分别为，对于给定的，上存在点，使得的面积的充要条件为由(1)得，由(2)得，所以，解得或，满足，所以存在点使得.点睛】关键点睛：第二问的关键是确定对于给定的，上存在点，使得的面 积的充要条件为，从而求得或，进而解决问题.22.已知矩形的周长为6.（1）把沿AC向折叠，AB折过去后交DC于点P，求的最大面积；（2）若，，如图，AB，AD分别在x轴，y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合，将矩形ABCD折叠，使A点落在线段DC上，设折痕所在直线的斜率为k，问当k为何值时，折痕的长度取最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设，，由题意可知，，由为直角三角形得，再用三角形的面积公式求得的面积关于的函数，再利用基本不等式即可求得最大值；（2）对折痕所在直线的斜率分类讨论，斜率为0时，易得结论，斜率不为0时，又要分析折痕所在直线与矩形两边的交点在左右两边、上下两边、左下两边三种情况讨论，最后可解.【小问1详解】设，由题意可知，矩形的周长为6，所以，由题意可知，所以，设，则，而为直角三角形，，，则， ，当且仅当时，即，等号成立，此时满足，所以当，时，取最大面积为.【小问2详解】①当时，此时点与点重合，折痕所在的直线方程，折痕的长为2②当时，将矩形折叠后点落在线段上的点为，所以与关于折痕所在的直线对称，有故点坐标为.从而折痕所在的直线与的交点坐标（线段的中点）为，所以折痕所在的直线方程，即.记，当折痕所在的直线过点时，，解得（舍去），当折痕所在的直线过点时，，解得（舍去），如图（1），折痕所在的直线与边、的交点坐标为，，这时， 如图（2），折痕所在的直线与边、的交点坐标为.这时，，，则，令，得，所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，；当时，；当时，，，如图（3），折痕所在的直线与边、的交点坐标为.这时，.综上所述，，即折痕的长度取最大值此时.【点睛】关键点睛：