第十八章平行四边形18.2特殊的平行四边形18.2.3正方形课后习题（Word版附解析）

18.2.3　正方形知能演练提升一、能力提升1.四个角相等,四条边也相等的四边形一定是(　　)A.正方形B.菱形C.矩形D.平行四边形2.如图,正方形ABCD的边长为8,M在DC上,且DM=2,N是AC上一动点,则DN+MN的最小值为(　　)A.8B.10C.217D.823.小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了道题.从下列四个条件①AB=BC;②∠ABC=90°;③AC=BD;④AC⊥BD中选两个作为补充条件,使▱ABCD成为正方形,如图,现有下列四种选法,你认为其中错误的是(　　)A.①②B.②③C.①③D.②④4.如图,将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放,点A1,A2,…,An分别是正方形对角线的交点,则n个这样的正方形重叠部分的面积和为(　　)A.14cm2B.n4cm2C.n-14cm2D.14ncm25.矩形各内角平分线若能围成一个四边形,则这个四边形一定是　　　　　. 6.如图,在正方形ABCD中,E是对角线BD上一点,AE的延长线交CD于点F,连接CE.若∠BAE=56°,则∠CEF=　　　　　°. 7.如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F分别在OD,OC上,且DE=CF,连接DF,AE,AE的延长线交DF于点M.求证:AM⊥DF.8.如图,在正方形ABCD中,点E,F在AC上,且AF=CE.求证:四边形BEDF是菱形.5 9.如图,正方形ABCD,G是BC边上任意一点(不与B,C重合),DE⊥AG于点E,BF∥DE,且交AG于点F.(1)求证:AF-BF=EF;(2)四边形BFDE是否可能是平行四边形?如果可能,请指出此时点G的位置,如果不可能,请说明理由.10.如图,点O是线段AB上的一点,OA=OC,OD平分∠AOC交AC于点D,OF平分∠COB,CF⊥OF于点F.(1)求证:四边形CDOF是矩形;(2)当∠AOC为多少度时,四边形CDOF是正方形?并说明理由.5 二、创新应用11.如图①,在正方形ABCD中,P是BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE,PE交CD于点F.图①图②(1)证明PC=PE;(2)求∠CPE的度数;(3)如图②,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当∠ABC=120°时,连接CE,试探究线段AP与线段CE的数量关系,并说明理由.5 知能演练·提升一、能力提升1.A　四个角相等的四边形是矩形,四条边相等的四边形是菱形,既是菱形又是矩形的四边形一定是正方形,故选A.2.B　连接BM交AC于点N(图略),此时DN+MN有最小值,且DN+MN=BM=BC2+CM2=10.3.B　4.C　5.正方形6.22　在正方形ABCD中,∠BAD=∠ADF=90°,∠BAE=56°,∴∠DAF=34°,∠DFE=56°.∵AD=CD,∠ADE=∠CDE,DE=DE,∴△ADE≌△CDE(SAS),∴∠DCE=∠DAF=34°.∵∠DFE是△CEF的外角,∴∠CEF=∠DFE-∠DCE=56°-34°=22°.7.证明在正方形ABCD中,AO=DO=OC,AC⊥BD,∴∠AOE=∠DOF=90°,∠OAE+∠AEO=90°.又DE=CF,∴OE=OF,∴△AOE≌△DOF.∴∠AEO=∠DFO,∠OAE+∠DFO=90°.∴∠AMF=90°,∴AM⊥DF.8.证明∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD=CD=BC,∠DAE=∠BAE=∠BCF=∠DCF=45°.在△ABE和△ADE中,AB=AD,∠BAE=∠DAE,AE=AE,∴△ABE≌△ADE(SAS),∴BE=DE.同理可得△BFC≌△DFC,∴BF=DF.在△ABE和△CBF中,AB=BC,∠BAE=∠BCF,AE=CF,∴△ABE≌△CBF(SAS),∴BE=BF,∴BE=BF=DE=DF,∴四边形BEDF是菱形.9.(1)证明∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAF+∠DAE=90°.∵DE⊥AG,∴∠DAE+∠ADE=90°,∴∠ADE=∠BAF.又BF∥DE,∴∠BFA=∠AED=90°,∴△ABF≌△DAE(AAS),∴AE=BF,∴AF-BF=AF-AE=EF.(2)解不可能,理由是:如图,若要四边形BFDE是平行四边形,已知DE∥BF,则当DE=BF时,四边形BFDE为平行四边形.∵DE=AF,∴BF=AF,即此时∠BAF=45°,而点G不与B和C重合,∴∠BAF≠45°,矛盾,∴四边形BFDE不可能是平行四边形.10.(1)证明∵OD平分∠AOC,OF平分∠COB,∴∠AOC=2∠COD,∠COB=2∠COF.5 ∵∠AOC+∠BOC=180°,∴2∠COD+2∠COF=180°,∴∠COD+∠COF=90°,∴∠DOF=90°.∵OA=OC,OD平分∠AOC,∴OD⊥AC,∴∠CDO=90°.∵CF⊥OF,∴∠CFO=90°,∴四边形CDOF是矩形.(2)解当∠AOC=90°时,四边形CDOF是正方形.理由:当∠AOC=90°时,∵AD=DC,∴OD=DC.∵四边形CDOF是矩形,∴四边形CDOF是正方形.∴当∠AOC=90°时,四边形CDOF是正方形.二、创新应用11.(1)证明∵四边形ABCD是正方形,∴AD=CD,∠ADP=∠CDP.∵DP=DP,∴△ADP≌△CDP.∴PA=PC.又PA=PE,∴PC=PE.(2)解∵△ADP≌△CDP,∴∠DAP=∠DCP.∵PA=PE,∴∠DAP=∠E.∴∠FCP=∠E.∵∠PFC=∠DFE,∠EDF=90°,∴∠CPE=∠EDF=90°.(3)解AP=CE.理由:∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=120°,∴∠ADC=120°.∴∠EDC=60°.同理可得∠CPE=∠EDF=60°.又PC=PE,∴△PCE是等边三角形.∵PA=PE,∴AP=CE.5