2023八年级数学下册第18章平行四边形18.2特殊的平行四边形18.2.3正方形第2课时课件（人教版）

特殊的平行四边形八年级下册RJ初中数学18.2.3正方形课时2 四个角都是直角两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角轴对称图形，有四条对称轴.正方形的性质有哪些？对边平行，四条边都相等知识回顾 1.理解并掌握正方形的判定和推导过程.2.能熟练运用正方形的判定进行计算和证明.学习目标 阳阳在商场看中了一块手帕，但不知是否是正方形，只见售货员阿姨拉起手帕的一组对角，另一组对角能完全重合，看阳阳还在犹豫，又拉起手帕的另一组对角，剩下的那组对角也能完全重合.阿姨认为这样就能证明手帕是正方形，那么你认为这块手帕一定是正方形吗？课堂导入 思考1矩形的对角线具有什么性质？正方形的对角线具有什么样的性质？矩形：对角线相等且互相平分正方形：对角线相等且互相垂直平分矩形添加对角线互相垂直能否得到正方形？知识点：正方形的判定新知探究 已知：在矩形ABCD中，AC⊥BD.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是矩形,ABDCO∴OA=OB=OC=OD，∠BAD=90〫.∵AC⊥BD,∴AC是线段BD的垂直平分线.∴AB=BC=CD=DA,∴四边形ABCD是正方形.同理：BD是线段AC的垂直平分线, 数学语言：在矩形ABCD中，∵AC⊥BD,∴四边形ABCD是正方形.ABDCO对角线互相垂直的矩形是正方形.通过以上证明，我们得到正方形的判定： 思考2矩形的边有什么样的性质？正方形的边有什么样的性质？矩形：对边相等且平行正方形：四边相等且对边平行矩形添加邻边相等能否得到正方形？ 已知在矩形ABCD中，AB=BC.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是矩形,ABDC∴∠B=90〫，四边形ABCD是平行四边形.∵AB=BC,∴四边形ABCD是正方形(有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形). 数学语言：在矩形ABCD中，∵AB=BC，∴四边形ABCD是正方形.ABDCO有一组邻边相等的矩形是正方形.通过以上证明，我们得到正方形的判定： 思考3菱形的对角线有什么性质？正方形的对角线有什么样的性质？菱形添加对角线相等能否得到正方形？菱形：对角线垂直且互相平分正方形：对角线相等且互相垂直平分 已知在菱形ABCD中，AC,BD是两条对角线，且AC=BD.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是菱形，ABDCO∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD.∵AC=BD，∴OA=OB=OC=OD，∴△AOB，△BOC是等腰直角三角形，∴四边形ABCD是正方形.∴∠ABC=90〫, 数学语言：在菱形ABCD中，∵AC=BD,∴四边形ABCD是正方形.ABDCO对角线相等的菱形是正方形.通过以上证明，我们得到正方形的判定： 思考4菱形的角具有什么性质？正方形的角具有什么性质？菱形：对角相等正方形：四个角相等，都为90°菱形添加有一个角为直角能否得到正方形？ 已知在菱形ABCD中，∠A=90〫.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是菱形,ABDC∴AB=BC=CD=DA，四边形ABCD是平行四边形,∵∠A=90〫,∴四边形ABCD是正方形(有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形). 数学语言：在菱形ABCD中，∵∠A=90〫,∴四边形ABCD是正方形.ABDCO有一个角是直角的菱形是正方形.通过以上证明，我们得到正方形的判定： 1.平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：，使得四边形ABCD是正方形.解析：∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，∴AC=BD或∠BAD=90〫或∠ABC=90〫或∠BCD=90〫或∠ADC=90〫均满足题意.跟踪训练新知探究 2.满足下列条件的四边形是不是正方形？（1）对角线互相垂直且相等的平行四边形.（2）对角线互相垂直的矩形.（3）对角线相等的菱形.（4）对角线互相垂直平分且相等的菱形.4个都是正方形，均满足正方形的判定条件. 1.下列命题正确的是（）.A.四个角都相等的四边形是正方形B.四条边都相等的四边形是正方形C.对角线互相垂直的矩形是正方形D.对角线相等的平行四边形是正方形C随堂练习矩形矩形菱形 2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A.当AB=BC时，四边形ABCD是菱形B.当AC=BD时，四边形ABCD是正方形C.当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形D.当∠ABC=90〫时，四边形ABCD是矩形BABDC矩形 分析：先证明△AEB≌△AFD得到AB=AD，再根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”得出结论.3.如图，等边三角形AEF的顶点为E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF=45〫.求证：矩形ABCD是正方形.CBDAEF 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠D=∠C=90〫.∵△AEF是等边三角形,∴AE=AF，∠AEF=∠AFE=60〫.∵∠CEF=45〫,∴∠CFE=45〫,∴∠AFD=∠AEB=180〫-45〫-60〫=75〫,∴矩形ABCD是正方形.∴△AEB≌△AFD（AAS），∴AB=AD,CBDAEF 正方形判定1判定2判定3判定4对角线互相垂直的矩形是正方形.有一组邻边相等的矩形是正方形.对角线相等的菱形是正方形.有一个角是直角的菱形是正方形.课堂小结 1.如图，在直角三角形中，∠C=90〫，∠A,∠B的平分线交于点D，DE⊥AC，DF⊥CB.求证：四边形CEDF为正方形.证明：过点D作DG⊥AB，垂足为G.∴∠DEC=∠DFC=90〫.∵∠C=90〫,∴四边形CEDF为矩形.ABCEFDG∵DE⊥AC，DF⊥CB,拓展提升 ∵AD是∠CAB的平分线，DE⊥AC，DG⊥AB,∴DE=DG.∴四边形CEDF为正方形.同理可得：DG=DF,∴ED=DF,ABCEFDG更多同类练习见《教材帮》数学RJ八下18.2节作业帮 2.如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.（1）求证：∠ADB=∠CDB.（2）若∠ADC=90〫，求证：四边形PMDN是正方形.CABDMNP 证明：（1）∵AB=BC，对角线BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD.∵在△ABD和△CBD中，AB=BC，∠ABD=∠CBD，BD=BD,∴△ABD≌△CBD（SAS）,∴∠ADB=∠CDB.CABDMNP （2）∵∠ADC=90〫，PM⊥AD，PN⊥CD,∴∠ADC=∠PMD=∠PND=90〫.∴四边形PMDN是矩形.∵∠ADB=∠CDB=45〫,∴四边形PMDN是正方形.∴∠MPD=∠NPD=45〫,∴DM=PM，DN=PN,CABDMNP 3.在正方形ABCD中，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE.（1）求证：BF=DE.（2）当点E运动到AC的中点时，说明四边形AFBE是正方形.ABDCEF （1）证明：∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD，∠BAD=90〫.∵AF⊥AC,∴∠BAF+∠BAE=90〫.∵∠BAE+∠DAE=90〫,∵AD=AB，∠DAE=∠BAF，AE=AF,∴△ADE≌△ABF（SAS），∴BF=DE.∴∠BAF=∠DAE.ABDCEF ∴BE⊥AC,BE=AE=AC.（2）∵点E运动到AC的中点，AB=BC.∵AF=AE,∴BE=AF=AE,∴BE//AF.又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90〫,∵BE=AF,∴四边形AFBE是平行四边形.∵∠FAE=90〫，AE=AF,∴四边形AFBE是正方形.ABDCEF