第十八章平行四边形18.2特殊的平行四边形18.2.2菱形课后习题（Word版附解析）

18.2.2　菱形知能演练提升一、能力提升1.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠DAC=30°,BD=8,则下列结论:①∠DAB=60°;②∠ADB=60°;③OD=4;④AD=8;⑤OC=43,其中正确的有(　　)A.2个B.3个C.4个D.5个2.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠,得到菱形AECF.若AB=3,则BC的长为(　　)A.1B.2C.2D.33.如图,两条笔直的公路l1,l2相交于点O,村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A,B,D,已知AB=BC=CD=DA=5km,村庄C到公路l1的距离为4km,则村庄C到公路l2的距离是(　　)A.3kmB.4kmC.5kmD.6km4.如图,菱形ABCD的边长为13,对角线AC=24,点E,F分别是边CD,BC的中点,连接EF并延长与AB的延长线相交于点G,则EG=(　　)A.13B.10C.12D.55.如图,将两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起,则重合部分构成的四边形ABCD　　　　　菱形.(填“是”或“不是”) ★6.如图,点E,F,G,H分别是任意四边形ABCD中AD,BD,BC,CA的中点,当四边形ABCD的边至少满足　　　　　条件时,四边形EFGH是菱形. 7.如图,在菱形ABCD中,点E,F分别是边AD,AB的中点.6,(1)求证:△ABE≌△ADF;(2)若BE=3,∠C=60°,求菱形ABCD的面积.8.如图,四边形ABCD为矩形,G是对角线BD的中点,连接GC并延长至点F,使CF=GC,以DC,CF为邻边作菱形DCFE,连接CE.(1)判断四边形CEDG的形状,并证明你的结论.(2)连接DF,若CD=1,求DF的长.9.如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别在BD和DB的延长线上,且DE=BF,连接AE,CF.(1)求证:△ADE≌△CBF.(2)连接AF,CE.当BD平分∠ABC时,四边形AFCE是什么特殊四边形?请说明理由.二、创新应用★10.两块完全相同的三角板Ⅰ(△ABC)和Ⅱ(△A'B'C')按如图①所示的方式放置在同一平面上(∠C=∠C'=90°,∠ABC=∠A'B'C'=60°),斜边重合.若三角板Ⅱ不动,三角板Ⅰ在三角板Ⅱ所在的平面上向右滑动,图②是滑动过程中的一个位置.(1)在图②中,连接BC',B'C,求证:△A'BC'≌△AB'C.(2)当三角板Ⅰ滑动到什么位置(点B'落在AB边的什么位置)时,四边形BCB'C'是菱形?说明理由.6,6,知能演练·提升一、能力提升1.D2.D　题图中的六个小直角三角形都全等,∴∠BAC=∠BCE=∠ACE=30°.设EB=x,则EC=AE=3-x,∴3-x=2x,x=1.∴BC=3.3.B　由AB=BC=CD=DA知四边形ABCD是菱形,连接AC,则AC平分∠DAB.根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”得,村庄C到l1的距离与到l2的距离相等,等于4km.4.B　连接BD,交AC于点O,如图.∵菱形ABCD,点E,F分别是边CD,BC的中点,∴AB∥CD,EF∥BD.∵AC,BD是菱形的对角线,AC=24,∴AC⊥BD,AO=CO=12,OB=OD.又AB∥CD,EF∥BD,∴DE∥BG,BD∥EG,∴四边形BDEG是平行四边形,∴BD=EG.在△COD中,∵OC⊥OD,CD=13,CO=12,∴OB=OD=132-122=5,∴BD=2OD=10,∴EG=BD=10.5.是　如图,∵AB∥CD,AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形.过点A作AE⊥BC于点E,AF⊥DC于点F,∴AE=AF,∴S▱ABCD=BC·AE=DC·AF,∴BC=DC,∴▱ABCD是菱形.6.AB=CD　需添加条件AB=CD.∵E,F分别是AD,DB的中点,6,∴EF∥AB,EF=12AB.∵H,G分别是AC,BC的中点,∴HG∥AB,HG=12AB.∴EF∥HG,EF=HG.∴四边形EFGH是平行四边形.∵E,H分别是AD,AC中点,∴EH=12CD.∵AB=CD,∴EF=EH.∴四边形EFGH是菱形.7.(1)证明∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,∵点E,F分别是边AD,AB的中点,∴AF=AE.在△ABE和△ADF中,AB=AD,∠A=∠A,AE=AF,∴△ABE≌△ADF(SAS).(2)解连接BD,如图.∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,∠A=∠C=60°,∴△ABD是等边三角形.∵点E是边AD的中点,∴BE⊥AD.在Rt△AEB中,设AB=x,则AE2+BE2=AB2,即12x2+(3)2=x2,得x=2,即AD=AB=2,∴菱形ABCD的面积=AD·BE=2×3=23.8.解(1)四边形CEDG是菱形,理由如下:∵四边形ABCD为矩形,G是对角线BD的中点,∴GC=GD.∵CF=GC,∴GC=GD=CF.∵四边形DCFE是菱形,∴CF=DE,DE∥GC,∴DE=GC,∴四边形CEDG是平行四边形.∵GD=GC,∴四边形CEDG是菱形.(2)∵四边形DCFE是菱形,∴∠CDF=12∠CDE,∴DC=CF=1.∵GD=GC=CF,∴GD=GC=CD=1,即△GCD为等边三角形.∴∠GDC=∠GCD=60°.∴∠DCF=120°.∴∠CDF=30°.∴∠GDF=90°.在Rt△GDF中,DF=GF2-GD2=22-12=3.9.(1)证明∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=CB,AD∥BC,6,∴∠ADB=∠CBD,∴∠ADE=∠CBF.在△ADE和△CBF中,AD=CB,∠ADE=∠CBF,DE=BF,∴△ADE≌△CBF(SAS).(2)解当BD平分∠ABC时,四边形AFCE是菱形.理由:∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD.∴平行四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∴AC⊥EF,∵DE=BF,∴OE=OF.又OA=OC,∴四边形AFCE是平行四边形,∴四边形AFCE是菱形.二、创新应用10.(1)证明∵A'B=A'B'-BB',AB'=AB-BB',A'B'=AB,∴A'B=AB'.按题意,在△A'BC'和△AB'C中,A'C'=AC,∠A'=∠A,A'B=AB',∴△A'BC'≌△AB'C(SAS).(2)解当B'落在AB的中点时,四边形BCB'C'是菱形.∵∠ABC=∠A'B'C',∴BC∥B'C'.∵BC=B'C',∴四边形BCB'C'是平行四边形.∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴BC=12AB.∴当B'在AB的中点时,CB'=12AB=BC.∴这时四边形BCB'C'是菱形.6