人教A版选修2-3课件 习题课 两个计数原理的综合应用

习题课——两个计数原理的综合应用 用两个计数原理解决计数问题时,最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析——需要分类还是需要分步.分类要做到“不重不漏”.分类后再分别对每一类进行计数,最后用分类加法计数原理求和,得到总数.分步要做到“步骤完整”——完成了所有步骤,恰好完成任务,当然步与步之间要相互独立.分步后再计算每一步的方法数,最后根据分步乘法计数原理,把完成每一步的方法数相乘,得到总数.做一做1某小组有8名男生,6名女生,从中任选男生、女生各一名去参加座谈会,则不同的选法有()A.48种B.24种C.14种D.12种解析：从8名男生中任意挑选一名参加座谈会,有8种不同的选法;从6名女生中任意挑选一名参加座谈会,有6种不同的选法.由分步乘法计数原理知,不同选法共有8×6=48(种).答案：A 做一做2一项工作可以用两种方法完成,有3人会用第1种方法完成,有5人会用第2种方法完成,从中选出1人来完成这项工作,不同的方法种数是()A.8B.15C.16D.30解析：第1类,从会第1种方法的3人中选1人,有3种不同的选法;第2类,从会第2种方法的5人中选1人,有5种不同的选法,共有5+3=8种不同的选法.答案：A做一做3用数字2,3组成四位数,且数字2,3都至少出现一次,这样的四位数共有个.(用数字作答)解析：可用排除法,这个四位数每一位上的数只能是2或3,则这样的四位数共有24个.而题目要求数字2,3都至少出现一次,所以全是2或全是3的四位数不满足,即满足要求的四位数有24-2=14(个).答案：14 探究一探究二探究三规范解答探究一两个计数原理在排数中的应用【例1】导学号78430005从0,1,2,3,4,5这六个数字中取四个数字组成一个四位数,问:(1)能组成多少个四位数?(2)能被5整除的四位数有多少个?分析：(1)要完成的一件事是组成四位数,所以首位数字不能是0;(2)要使所组成的四位数能被5整除,则末位数字必须是0和5中的一个. 探究一探究二探究三规范解答解：(1)第1步,千位上的数不能取0,只能取1,2,3,4,5,有5种选择;第2步,由于千位取了一个数,还剩下5个数供百位取,所以有5种选择;第3步,由于千位、百位分别取了一个数,还剩下4个数供十位取,所以有4种选择;第4步,由于千位、百位、十位分别取了一个数,还剩下3个数供个位取,所以有3种选择.根据分步乘法计数原理,组成的四位数共有5×5×4×3=300(个). 探究一探究二探究三规范解答(2)因为满足要求的四位数能被5整除,所以个位上的数字只能是0或5.第1类,当个位上的数字为0时,依次取千位、百位、十位上的数字,分别有5种选择、4种选择、3种选择,所以有5×4×3=60个满足要求的四位数;第2类,当个位数字为5时,依次取千位、百位、十位上的数字,分别有4种选择、4种选择、3种选择,所以有4×4×3=48个满足要求的四位数.根据分类加法计数原理,能被5整除的四位数共有60+48=108(个). 探究一探究二探究三规范解答 探究一探究二探究三规范解答变式训练1用0,1,…,9这十个数字,可以组成多少个:(1)三位数?(2)无重复数字的三位数?(3)小于500的无重复数字的三位数?解：(1)由于0不可以在最高位,所以百位上的数字有9种选择,十位上的数字和个位上的数字各有10种选择.由分步乘法计数原理知,适合题意的三位数共有9×10×10=900(个).(2)由于数字不能重复,可知百位上的数字有9种选择,十位上的数字也有9种选择,但个位上的数字仅有8种选择.由分步乘法计数原理可知适合题意的三位数共有9×9×8=648(个).(3)百位上的数字只有4种选择,十位上的数字有9种选择,个位上的数字有8种选择.由分步乘法计数原理知,适合题意的三位数共有4×9×8=288(个). 探究一探究二探究三规范解答探究二抽取(分配)问题【例2】高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,其中甲工厂必须有班级去,每班去哪个工厂可自由选择,则不同的分配方案有()A.16种B.18种C.37种D.48种分析：解决此类问题可以用直接法先分类再分步,也可用排除法. 探究一探究二探究三规范解答解析：(方法一直接法)以甲工厂分配班级情况进行分类,共分为三类.第1类,三个班级都去甲工厂,此时分配方案只有1种;第2类,有两个班级去甲工厂,剩下的班级去另外三个工厂,其分配方案有3×3=9(种);第3类,有一个班级去甲工厂,另外两个班级去其他三个工厂,其分配方案有3×3×3=27(种).综上所述,不同的分配方案共有1+9+27=37(种).(方法二间接法)先计算3个班自由选择去哪个工厂的总数,再扣除甲工厂无人去的情况,即有4×4×4-3×3×3=37种不同的分配方案.答案：C 探究一探究二探究三规范解答 探究一探究二探究三规范解答变式训练23个不同的小球放入5个不同的盒子,每个盒子至多放一个小球,共有多少种不同的方法?解：(方法一以小球为研究对象)分三步来完成.第1步,放第一个小球有5种选择;第2步,放第二个小球有4种选择;第3步,放第三个小球有3种选择.根据分步乘法计数原理得,共有方法数5×4×3=60(种). 探究一探究二探究三规范解答(方法二以盒子为研究对象)盒子标上序号1,2,3,4,5;分成以下10类.第1类,空盒子标号为(1,2),选法有3×2×1=6(种);第2类,空盒子标号为(1,3),选法有3×2×1=6(种);第3类,空盒子标号为(1,4),选法有3×2×1=6(种).分类还有以下几种情况:(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5);共10类,每一类都有6种方法.根据分类加法计数原理得,共有方法数6+6+…+6=60(种). 探究一探究二探究三规范解答探究三涂色问题【例3】导学号78430006某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分(如图),现要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,求共有多少种不同的栽种方法.分析：注意考虑不相邻区域颜色是否相同. 探究一探究二探究三规范解答解：分两大类.第一大类,6,5,1,2四部分栽种4种不同颜色的花,共分两步.第1步,在6,5,1,2四部分栽种不同颜色的花,共有4×3×2×1=24种不同栽法;第2步,栽种3,4部分,又有两类.第1类,3与6栽种的颜色相同,4与2栽种的颜色相同,有1种栽法;第2类,3与5栽种的颜色相同,4与2或6栽种的颜色相同,有2种栽法,共有1+2=3种栽法.由分步乘法计数原理,第一大类共有24×3=72种不同的栽种方法. 探究一探究二探究三规范解答第二大类,在6,5,1,2四部分中,2与5栽种的颜色相同,可分三步.第1步,栽种6,5,1部分,可从4种颜色的花中选3种进行栽种,有4×3×2=24种栽法;第2步,栽种第2部分,与5相同,有1种栽法;第3步,栽种3,4部分,又有两类.第1类,3与6相同,4栽种剩余的第4种颜色的花,有1种栽法;第2类,3栽种剩余第4种颜色的花,4与6栽种相同颜色的花,有1种栽法,共有2种栽法.由分步乘法计数原理得第二大类共有24×1×2=48种不同的栽种方法.故共有72+48=120种不同的栽种方法. 探究一探究二探究三规范解答 探究一探究二探究三规范解答变式训练3如图所示的几何体是由一个三棱锥P-ABC与三棱柱ABC-A1B1C1组合而成的,现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色),要求相邻的面均不同色,则不同的染色方案共有种.解析：先涂三棱锥P-ABC的三个侧面,然后涂三棱柱的三个侧面,由分步乘法计数原理,共有3×2×1×2=12种不同的涂法.答案：12 探究一探究二探究三规范解答元素重复的计数问题典例已知集合A={a1,a2,a3,a4},集合B={b1,b2},其中aibj(i=1,2,3,4,j=1,2)均为实数.(1)从集合A到集合B能构成多少个不同的映射?(2)能构成多少个以集合A为定义域,以集合B为值域的不同函数.【审题策略】(1)由映射的定义可知,集合A中的每一个元素总对应着B中唯一的元素;(2)依题意,集合B中的每一个元素在集合A中要有对应元素,因此只要从问题(1)的映射数中减去A中四个元素对应B中一个元素的情况即可得到(2)的解. 探究一探究二探究三规范解答【规范展示】(1)因为集合A中的每个元素ai(i=1,2,3,4)与集合B中元素的对应方法都有2种,由分步乘法计数原理,得构成A→B的映射有2×2×2×2=24=16(个).(2)在(1)的映射中,a1,a2,a3,a4均对应同一个元素b1或b2的情形构不成以集合A为定义域,以集合B为值域的函数,这样的映射有2个.所以构成以集合A为定义域,以集合B为值域的函数有16-2=14(个).【答题模版】(1)第1步,先确定符合哪一个计数原理;第2步,分析题意,确定乘式得结论.(2)第1步,分析题意要求找出与(1)的联系;第2步,明确区别,把不符合的情况找出来;第3步,得出结论. 探究一探究二探究三规范解答 探究一探究二探究三规范解答变式训练将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有()A.12种B.18种C.24种D.36种解析：先排第一列,因为每列的字母互不相同,因此共有3×2=6种不同的排法.再排第二列,其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法,第二列第二、三行的字母只有1种排法.因此共有6×2×1=12种或3×2×2×1=12种不同的排列方法.答案：A 1.如果将两条异面直线看成一对,那么六棱锥的棱所在的12条直线中的异面直线共有()A.12对B.24对C.36对D.48对解析：由于六棱锥的任意两条侧棱交于一点,而底面的六条边也共面,则底面中的任一条棱与其他4条侧棱异面.由分步乘法计数原理知满足题意的异面直线共有6×4=24(对).答案：B 2.已知函数y=ax2+bx+c为二次函数,其中a,b,c∈{0,1,2,3,4},则不同的二次函数的个数为()A.125B.15C.100D.10解析：若y=ax2+bx+c为二次函数,则a≠0,要完成该事件,需分步进行.第1步,对于系数a有4种不同的选法;第2步,对于系数b有5种不同的选法;第3步,对于系数c有5种不同的选法.由分步乘法计数原理知,共有4×5×5=100个不同的二次函数.答案：C 3.(a1+a2)·(b1+b2+b3)·(c1+c2+c3+c4)的展开式中有项.解析：要得到项数分三步.第1步,从第一个因式中取一个因子,有2种取法;第2步,从第二个因式中取一个因子,有3种取法;第3步,从第三个因式中取一个因子,有4种取法.由分步乘法计数原理知,展开式中共有2×3×4=24(项).答案：24 4.某艺术小组有9人,每人至少会钢琴和小号中的一种乐器,其中7人会钢琴,3人会小号,从中选出会钢琴与会小号的各1人,有多少种不同的选法?解：由题意可知,在艺术小组9人中,有且仅有1人既会钢琴又会小号(把该人记为甲),只会钢琴的有6人,只会小号的有2人.把从中选出会钢琴与会小号各1人的方法分为两类.第1类,甲入选,另1人只需从其他8人中任选1人,故这类选法共8种;第2类,甲不入选,则会钢琴的只能从6个只会钢琴的人中选出,有6种不同的选法;会小号的也只能从只会小号的2人中选出,有2种不同的选法.所以这类选法共有6×2=12(种).因此共有8+12=20种不同的选法.