人教A版选修2-1课件 习题课 椭圆的综合问题及应用

习题课——椭圆的综合问题及应用 1.焦点三角形问题(1)已知椭圆(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),点P是椭圆上任意一点,则△PF1F2称为焦点三角形.(2)焦点三角形的周长为2a+2c,其面积通常有两种计算方法:一是利用公式,二是利用公式(其中y0是P点的纵坐标).(3)求解焦点三角形问题时,通常要利用椭圆的定义并结合正弦定理、余弦定理等知识进行求解. 2.直线与椭圆的位置关系(1)直线与椭圆一共有三种位置关系:相交、相切、相离.(2)判断直线与椭圆位置关系的方法:将直线方程ax+by+c=0与椭圆方程(a>b>0)联立,消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,记该方程的判别式为Δ.若Δ>0,则直线与椭圆相交;若Δ=0,则直线与椭圆相切;若Δ<0,则直线与椭圆相离.(3)直线与椭圆相交弦的长度:,其中x1,x2是直线与椭圆两个交点的横坐标. 做一做1若点M是椭圆上任意一点,两个焦点分别为F1,F2,则△MF1F2的周长为()A.4B.6C.8D.4+2解析：由已知得a=2,b=,c=1,所以△MF1F2的周长等于2a+2c=4+2=6.答案：B 做一做2已知两定点F1(-1,0),F2(1,0),且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则动点P的轨迹方程是()解析：因为|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,所以|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4>|F1F2|,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,这里c=1,a=2,故轨迹方程为答案：C 做一做3直线y=3x-1与椭圆的公共点的个数是()A.0B.1C.2D.无数个解析：由得11x2-6x-7=0,所以Δ>0,故直线与椭圆相交,有2个公共点.答案：C 做一做4已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点,交椭圆于A,B两点,则弦AB的长度等于. 探究一探究二探究三思想方法探究一利用椭圆的定义解决焦点三角形问题【例1】设P是椭圆上一点,F1,F2是椭圆的焦点,若∠F1PF2=60°.(1)求△F1PF2的面积;(2)求点P的坐标. 探究一探究二探究三思想方法 探究一探究二探究三思想方法 探究一探究二探究三思想方法 探究一探究二探究三思想方法变式训练1已知椭圆C的方程为,两焦点为F1,F2.(1)若点A在椭圆上,且|AF1|=2|AF2|,求cos∠F1AF2;(2)若点P在椭圆上,且∠PF1F2=90°,求△PF1F2的面积. 探究一探究二探究三思想方法(2)由(1)知a=2,|F1F2|=2c=2.在△PF1F2中,由勾股定理,得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2,即|PF2|2=|PF1|2+4.又由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2×2=4,所以|PF2|=4-|PF1|.从而有(4-|PF1|)2=|PF1|2+4. 探究一探究二探究三思想方法探究二与椭圆有关的轨迹问题【例2】已知两圆C1:(x+4)2+y2=9,C2:(x-4)2+y2=169,动圆P与C1外切,与C2内切,求圆心P的轨迹.分析：根据动圆与圆C1,C2的位置关系,得到动圆圆心P满足的条件,即P与圆C1,C2的圆心的距离的和等于常数,从而结合椭圆的定义得出轨迹为椭圆,进而求出轨迹方程. 探究一探究二探究三思想方法解：由条件,两圆半径分别是3和13,设P(x,y),动圆半径为r,消去r,得|PC1|+|PC2|=16,即点P到两定点C1,C2的距离之和为定值16.又16>|C1C2|=8,所以点P的轨迹是椭圆. 探究一探究二探究三思想方法 探究一探究二探究三思想方法变式训练2设A(-2,0),B(2,0),△ABC的周长为10,则动点C的轨迹方程为.解析：由△ABC的周长为10,|AB|=4知,|CB|+|CA|=6>|AB|=4.根据椭圆的定义知,顶点C是在以A,B为焦点的椭圆上,且2a=6,c=2,所以b2=a2-c2=5.又因为A,B,C三点构成三角形,所以点C不能在x轴上,所以顶点C的轨迹方程为.答案： 探究一探究二探究三思想方法探究三直线与椭圆的位置关系问题【例3】已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m.(1)当直线和椭圆有公共点时,求实数m的取值范围;(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.分析：将直线方程与椭圆方程联立,根据判别式Δ的符号,建立关于m的不等式求解;(2)利用弦长公式建立关于m的函数关系式,通过函数的最值求得m的值,从而得到直线方程. 探究一探究二探究三思想方法 探究一探究二探究三思想方法 探究一探究二探究三思想方法变式训练3导学号03290030已知椭圆C的焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),长轴长为6,设直线y=x+2交椭圆C于A,B两点.(1)求线段AB的中点坐标;(2)求△OAB的面积. 探究一探究二探究三思想方法 探究一探究二探究三思想方法椭圆中的最值问题典例导学号03290031如图,点A,B分别是椭圆长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于x轴上方,PA⊥PF.(1)求点P的坐标;(2)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值. 探究一探究二探究三思想方法分析：(1)设出点P坐标,然后根据点P在椭圆上以及PA⊥PF,建立方程组求解;(2)根据两点间的距离公式,将椭圆上的点到点M的距离d表示为点的坐标的函数,借助函数方法求得最值. 探究一探究二探究三思想方法 探究一探究二探究三思想方法 探究一探究二探究三思想方法 探究一探究二探究三思想方法 1.若F1,F2是椭圆的两个焦点,A为椭圆上一点,且∠AF1F2=45°,则△AF1F2的面积为()答案：C 答案：B 3.若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则|OP|2+|PF|2的最小值为()A.1B.2C.3D.4解析：依题意可得F(-1,0),设P(x,y),则|OP|2+|PF|2=x2+y2+(x+1)2+y2=2x2+2x+1+2y2.因为,所以|OP|2+|PF|2=x2+2x+3=(x+1)2+2,故当x=-1时,|OP|2+|PF|2的最小值等于2.答案：B 4.已知点P是椭圆上一点,以点P及焦点F1,F2为顶点的三角形的面积等于1,则点P的坐标为. 5.已知F1,F2是两定点,且|F1F2|=8,动点M满足|MF1|+|MF2|=10,求动点M的轨迹方程.解：因为|F1F2|=8,且动点M满足|MF1|+|MF2|=10>8=|F1F2|,由椭圆定义知,动点M的轨迹是以F1,F2为焦点,焦距为8的椭圆.所以a=5,c=4,从而b2=a2-c2=9.