人教A版选修2-1课件 习题课 双曲线的综合问题及应用 (1)

习题课——双曲线的综合问题及应用 1.双曲线中的焦点三角形问题双曲线上的点P与其两个焦点F1,F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形.令|PF1|=r1,|PF2|=r2,∠F1PF2=θ,又|F1F2|=2c,则(1)定义:|r1-r2|=2a.一般地,在△PF1F2中,通过以上三个等式,所求问题就会顺利解决. 2.直线与双曲线的位置关系(1)判定方法直线:Ax+By+C=0,双曲线:(a>0,b>0),两方程联立消去y,得mx2+nx+q=0.(2)联立直线方程与双曲线方程,消元后得到的方程不一定是一元二次方程,也可能是一次方程,这时,直线一定与双曲线的渐近线平行.(3)直线与双曲线只有一个公共点时,直线不一定与双曲线相切,也可能相交,这时,直线一定与双曲线的渐近线平行. 做一做1若M是双曲线上一点,F1,F2为左、右焦点,若|MF1|=3|MF2|,则|MF2|等于()A.2B.4C.8D.12解析：由已知得2a=2×4=8,所以|MF1|-|MF2|=8,于是2|MF2|=8,|MF2|=4.答案：B 做一做2已知双曲线的两个焦点为F1(-,0),F2(,0),P是其上的一点,且PF1⊥PF2,|PF1|·|PF2|=2,则该双曲线的方程是()解析：|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,即(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1||PF2|=|F1F2|2.又||PF1|-|PF2||=2a,|F1F2|=2c=2,|PF1|·|PF2|=2,所以(2a)2+2×2=(2)2,解得a2=4,b2=1.所以双曲线方程为答案：C 做一做3动圆与圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都相外切,则动圆圆心的轨迹为()A.双曲线的一支B.圆C.抛物线D.双曲线解析：设动圆半径为r,圆心为O,x2+y2=1的圆心为O1,圆x2+y2-8x+12=0的圆心为O2,由题意得|OO1|=r+1,|OO2|=r+2,所以|OO2|-|OO1|=r+2-r-1=1<|O1O2|=4,由双曲线的定义知,动圆圆心O的轨迹是双曲线的一支.答案：A 做一做4过双曲线的焦点且与x轴垂直的弦的长度为. 探究一探究二思维辨析探究一利用双曲线的定义解决轨迹问题【例1】若动圆P经过定点A(3,0),且与定圆B:(x+3)2+y2=16外切,试求动圆圆心P的轨迹方程.分析：由动圆经过点A,以及与定圆B相切,找到动点P与两个定点A,B的距离之间的关系,再对照双曲线的定义进行判断求解.解：设动圆圆心P(x,y),半径为r.则依题意有|PA|=r,|PB|=r+4,故|PB|-|PA|=4.即动圆圆心P到两个定点B(-3,0),A(3,0)的距离之差等于常数4,且4<|AB|,因此根据双曲线定义,点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的右支. 探究一探究二思维辨析 探究一探究二思维辨析变式训练1动点P与点F1(0,5)与点F2(0,-5)满足|PF1|-|PF2|=6,则点P的轨迹方程为()解析：依题意,动点P到两个定点F1,F2之间的距离之差等于常数6,且常数6<|F1F2|=10,但由于不是到两个定点距离之差的绝对值,所以动点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的靠近点F2的一支.该双曲线焦点在y轴上,且c=5,a=3,所以b2=25-9=16,故点P的轨迹方程为答案：D 探究一探究二思维辨析探究二直线与双曲线的位置关系【例2】已知直线l:x+y=1与双曲线C:(1)若a=,求l与C相交所得的弦长;(2)若l与C有两个不同的交点,求双曲线C的离心率e的取值范围.分析：将l与C的方程联立消去一个未知数,得到一元二次方程,利用根与系数的关系可求得弦长;由l与C相交,知Δ>0,从而求出a的取值范围,可得离心率的取值范围. 探究一探究二思维辨析 探究一探究二思维辨析 探究一探究二思维辨析 探究一探究二思维辨析变式训练2已知斜率为2的直线被双曲线截得的弦长为4,求直线l的方程. 探究一探究二思维辨析 探究一探究二思维辨析对直线与双曲线位置关系理解不全面致误典例导学号03290040求经过点,且与双曲线4x2-y2=1仅有一个公共点的直线的方程. 探究一探究二思维辨析 探究一探究二思维辨析 探究一探究二思维辨析 探究一探究二思维辨析变式训练若直线l经过点(2,0)且与双曲线x2-y2=1只有一个公共点,则符合要求的直线l的条数是()A.1B.2C.3D.4解析：依题意,直线l斜率必存在,设其为k,则直线l的方程为y=k(x-2).联立消去y整理得(1-k2)x2+4k2x-(4k2+1)=0.当1-k2=0,即k=±1时,该方程只有一个解,直线与双曲线只有一个公共点;当1-k2≠0时,由Δ=(4k2)2+4(1-k2)(4k2+1)=0,得k无解,所以符合要求的直线只有2条.答案：B 1.已知定点A,B,且|AB|=4,动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为()解析：点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的右支,当点P与双曲线右支顶点M重合时,|PA|最小,最小值为答案：C 2.已知双曲线C:的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线C的右支上一点,且|PF2|=|F1F2|,则△PF1F2的面积等于()A.24B.36C.48D.96答案：C 3.直线2x-y-10=0与双曲线的交点是. 4.过双曲线左焦点F1的直线交曲线的左支于M,N两点,F2为其右焦点,则|MF2|+|NF2|-|MN|的值为.解析：因为M,N两点在双曲线的左支上,所以由双曲线定义得|MF2|-|MF1|=2a=4,|NF2|-|NF1|=2a=4,于是|MF2|-|MF1|+|NF2|-|NF1|=4a=8,而|MF1|+|NF1|=|MN|,所以|MF2|+|NF2|-|MN|=8.答案：8 5.如图所示,已知定圆F1:x2+y2+10x+24=0,定圆F2:x2+y2-10x+9=0,动圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程.解：圆F1:(x+5)2+y2=1,所以圆心F1(-5,0),半径r1=1.圆F2:(x-5)2+y2=42,所以圆心F2(5,0),半径r2=4.设动圆M的半径为R,则有|MF1|=R+1,|MF2|=R+4,所以|MF2|-|MF1|=3<|F1F2|.故点M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的左支,