人教A版选修2-1课件 习题课 双曲线的综合问题及应用 (2)

1.2充分条件与必要条件 1.推出符号“⇒”的含义(1)一般地,如果“若p,则q”为真,即如果p成立,那么q一定成立,记作“p⇒q”;(2)如果“若p,则q”为假,即如果p成立,那么q不一定成立,记作“pq”.做一做1用推出符号“⇒和”表示下列命题:(1)p:a>b,q:ac>bc;(2)p:a>b,q:a+c>b+c.解：(1)pq;(2)p⇒q. 2.充分条件与必要条件一般地,如果p⇒q,那么称p是q的充分条件,同时称q是p的必要条件. 3.充要条件一般地,如果既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q,我们说p是q的充分必要条件,简称充要条件,显然q也是p的充要条件. 做一做3下列各条件中,p是q的充要条件的是()C.p:直线ax+y-1=0与x+ay+2=0平行,q:a=1D.p:m>0,q:关于x的方程x2+2x+m=0没有实数根解析：在B选项中,p⇒q且q⇒p,所以p是q的充要条件.答案：B 思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)如果p是q的充分条件,那么命题“若p,则q”不一定为真.()(2)如果p是q的充分条件,那么q就是p的必要条件.()(3)如果p是q的必要条件,那么p是唯一的.()(4)如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.()×√×√ 探究一探究二思维辨析探究一充分条件、必要条件、充要条件的判断【例1】指出下列各题中,p是q的什么条件?(在充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件中选出一种作答)(1)p:0<x<2,q:x<3;(2)p:函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-2,2]上的最大值等于4,q:a=2;(4)p:四边形的四条边相等,q:四边形是正方形;分析：针对每个命题,分析判断p⇒q,q⇒p是否成立,再结合充分条件、必要条件的定义得出结论. 探究一探究二思维辨析解：(1)当0<x<2时,显然满足x<3,因此p⇒q;但当x<3时,不一定有0<x<2,即qp,故p是q的充分不必要条件.(2)若函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-2,2]上的最大值等于4,当a>1时,得a2=4,所以a=2,当0<a<1时,得a-2=4,所以a=,即由函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-2,2]上的最大值等于4,可得a=2或a=,即pq;但当a=2时,函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-2,2]上的最大值等于4,即q⇒p,故p是q的必要不充分条件. 探究一探究二思维辨析(4)四边形的四条边相等,不一定得出该四边形为正方形,即pq;但当四边形是正方形时,其四条边一定相等,即q⇒p,故p是q的必要不充分条件. 探究一探究二思维辨析 探究一探究二思维辨析 探究一探究二思维辨析 探究一探究二思维辨析变式训练1(1)下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的充分条件的是()(2)“a=-2”是“直线l1:(a+1)x+y-2=0与直线l2:ax+(2a+2)y+1=0互相垂直”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 探究一探究二思维辨析解析：(1)B项中,x2=1⇒x=1或x=-1;C项中,当x=y<0时,无意义;D项中,x<y<0⇒x2>y2,所以B,C,D中p不是q的充分条件.(2)由l1⊥l2,得a(a+1)+2a+2=0,解得a=-1或a=-2,故选B.答案：(1)A(2)B 探究一探究二思维辨析探究二充要条件的证明【例2】求证:关于x的一元二次不等式ax2-ax+1>0对于一切实数x都成立的充要条件是0<a<4.分析：第一步,审题,分清条件与结论:“p是q的充要条件”中p是条件,q是结论;“p的充要条件是q”中,p是结论,q是条件.本题中条件是“0<a<4”,结论是“关于x的一元二次不等式ax2-ax+1>0对一切实数x都成立”.第二步,根据要求确定解题步骤.分别证明“充分性”与“必要性”,先证必要性:“结论⇒条件”;再证充分性:“条件⇒结论”. 探究一探究二思维辨析证明：①必要性:若ax2-ax+1>0对于一切实数x都成立,所以若0<a<4,则ax2-ax+1>0对于一切实数x都成立.由①②知,命题得证. 探究一探究二思维辨析 探究一探究二思维辨析变式训练2导学号03290005在△ABC中,求证A,B,C成等差数列的充要条件是B=60°.证明：充分性:在△ABC中,A+B+C=180°.∵B=60°,∴A+C=120°,∴A+C=2B.∴A,B,C成等差数列.必要性:∵A,B,C成等差数列,∴A+C=2B.又∵A+B+C=180°,∴3B=180°,∴B=60°.故A,B,C成等差数列的充要条件是B=60°. 探究一探究二思维辨析因考虑不周而致误典例导学号03290006“直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍”是“直线l的斜率等于-2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件错解若直线l的斜率等于-2,则直线l在y轴上的截距一定是它在x轴上的截距的2倍,反之,当直线l在y轴上的截距是它在x轴上的截距的2倍时,其斜率也一定等于-2,所以是充要条件,故选C.正解若直线l的斜率等于-2,则直线l在y轴上的截距一定是它在x轴上的截距的2倍;但当直线l在y轴上的截距是它在x轴上的截距的2倍时,其斜率不一定等于-2,因为直线l可以经过原点,其斜率可以为任意值.所以“直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍”是“直线l的斜率等于-2”的必要不充分条件. 探究一探究二思维辨析 探究一探究二思维辨析变式训练若m>0,n>0,则“logmn<0”是“(m-1)(n-1)<0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：由logmn<0,得m>1,0<n<1或0<m<1,n>1,∴(m-1)(n-1)<0;当(m-1)(n-1)<0时,可得m>1,0<n<1或0<m<1,n>1,即logmn<0,于是“logmn<0”是“(m-1)(n-1)<0”的充要条件.答案：C 1.设a∈R,则<1是a>1的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：B 2.α≠是sinα≠1的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：A 3.“a=1”是“函数f(x)=x2-4ax+3在区间[2,+∞)上为增函数”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：由函数f(x)=x2-4a+3在区间[2a,+∞)上为增函数,得2a≤2,即a≤1,故选B.答案：B 4.已知a,b是实数,则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的条件.解析：a>0且b>0⇒a+b>0且ab>0,a+b>0且ab>0⇒a>0且b>0,故为充要条件.答案：充要 5.求证:一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.证明：充分性:因为ac<0,所以一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac>0.故一元二次方程一定有两个不相等实根,设为x1,x2,则x1x2=<0,所以方程的两根异号.即方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根.必要性:一元二次方程有一正根和一负根,设为x1,x2,则由根与系数的关系得x1x2=<0,即ac<0,综上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.