人教A版选修2-3课件 习题课 离散型随机变量的均值与方差的综合应用

习题课——离散型随机变量的均值与方差的综合应用 1.常用分布的均值与方差(1)二点分布的均值与方差若随机变量X服从参数为p的二点分布,则E(X)=1×p+0×(1-p)=p,D(X)=p(1-p).(2)二项分布的均值与方差在n次独立重复试验中,若X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).2.离散型随机变量方差的性质当a,b为常数时,随机变量Y=aX+b,则D(Y)=D(aX+b)=a2D(X).(1)当a=0时,D(Y)=D(b)=0;(2)当a=1时,D(Y)=D(X+b)=D(X);(3)当b=0时,D(Y)=D(aX)=a2D(X). 做一做1若随机变量X的方差D(X)=1,则D(2X+1)的值为()A.2B.3C.4D.5解析：D(2X+1)=4D(X)=4×1=4.答案：C做一做2已知离散型随机变量X的可能取值为x1=-1,x2=0,x3=1,且E(X)=0.1,D(X)=0.89,则对应x1,x2,x3的概率p1,p2,p3分别为,,.解析：由题意知,-p1+p3=0.1,1.21p1+0.01p2+0.81p3=0.89.又p1+p2+p3=1,解得p1=0.4,p2=0.1,p3=0.5.答案：0.40.10.5 探究一探究二规范解答探究一均值与方差的综合【例1】在某地举办的射击比赛中,规定每位射手射击10次,每次一发,记分的规则为:击中目标一次得3分;未击中目标得0分;并且凡参赛者一律另加2分.已知射手小李击中目标的概率为0.9,求小李在比赛中得分的数学期望与方差.分析：首先理解题意,将实际问题正确地转化为数学模型,直接代入随机变量的方差计算公式.解：设击中次数为X,比赛得分为Y,则Y=3X+2.由题意知X~B(10,0.9),所以E(X)=10×0.9=9,D(X)=10×0.9×(1-0.9)=0.9.E(Y)=E(3X+2)=3E(X)+2=29,D(Y)=D(3X+2)=9D(X)=8.1.所以小李在比赛中得分的数学期望为29,方差为8.1. 探究一探究二规范解答 探究一探究二规范解答变式训练1在某电视台的一次有奖竞猜活动中,主持人准备了A,B两个相互独立的问题,并且宣布:幸运观众答对问题A可获100分,答对问题B可获200分,先答哪个题由观众自由选择,但只有第一个问题答对,才能再答第二题,否则终止答题.答题终止后,获得的总分将决定获奖的档次.若你被选为幸运观众,且假设你答对问题A,B的概率分别为.(1)记先回答问题A的得分为随机变量X,求X的数学期望与方差.(2)你觉得应先回答哪个问题才能使你的得分更高?请说明理由. 探究一探究二规范解答解：(1)由题意知先回答问题A的得分为X分,则随机变量X的可能取值为0,100,300. 探究一探究二规范解答 探究一探究二规范解答探究二均值与方差在实际问题中的应用【例2】某保险公司新开设了一项保险业务,若在一年内事件E发生,该公司要赔偿a元.设在一年内E发生的概率为p,为使公司收益的期望值等于a的10%,公司应要求顾客交多少保险金?解：设保险公司要求顾客交x元的保险金,若以X表示公司每年的收益额,则X是一个随机变量,其分布列为因此,公司每年收益的期望值为E(X)=x(1-p)+(x-a)p=x-ap.为使公司收益的期望值等于a的10%,只需E(X)=0.1a,即x-ap=0.1a,故可得x=a(p+0.1),即当顾客交的保险金为a(p+0.1)元时,可使公司期望获益0.1a元. 探究一探究二规范解答 探究一探究二规范解答变式训练2已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X的分布列和均值(数学期望).解：(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A, 探究一探究二规范解答 探究一探究二规范解答列表法求离散型随机变量的分布列与期望典例如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机在3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天. 探究一探究二规范解答(1)求此人到达当日空气重度污染的概率.(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与均值.(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)【审题策略】第一步,审条件.给出了3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量优良与重度污染的数据.第二步,审结论.第(1)问求此人到达当日空气重度污染的概率;第(2)问求分布列与均值;第(3)问求从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大.第三步,建联系.(1)重度污染只有2天,由于到达是随机的,根据古典概型求得;(2)随机变量X=0,1,2,求出分布列与期望;(3)根据方差表示数据偏离均值的程度,结合图中数据可得. 探究一探究二规范解答 探究一探究二规范解答所以X的分布列为(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.【答题模板】①求随机变量的取值—明确随机变量的所有可能取值以及每个值所表示的意义;②求概率—利用概率有关知识求出随机变量每个取值的概率;③求分布列、均值—规范写出分布列,并用分布列的性质验证,求均值. 探究一探究二规范解答变式训练导学号78430061一次考试共有12道选择题,每道选择题都有4个选项,其中有且只有一个是正确的.评分标准规定:“每题只选一个选项,答对得5分,不答或答错得零分”.某考生已确定有8道题的答案是正确的,其余题中:有两道题可以判断两个选项是错误的,有一道题可以判断一个选项是错误的,还有一道题因不理解题意只好乱猜.请求出该考生:(1)得60分的概率;(2)所得分数X的分布列和均值.解：(1)设“可判断两个选项是错误的题选对”为事件A,“可判断一个选项是错误的题选对”为事件B,“不理解题意的题选对”为事件C, 探究一探究二规范解答 探究一探究二规范解答 1.已知X的分布列如下表,且Y=aX+3,E(Y)=,则a的值为()答案：B 2.已知随机变量X满足D(X)=5,则D(4X+3)等于()A.20B.40C.80D.100解析：∵D(4X+3)=42D(X)=16D(X),而D(X)=5,∴D(4X+3)=16×5=80.答案：C 3.若X~B(n,p),且E(X)=6,D(X)=3,则P(X=1)的值为()A.3×2-2B.2-4C.3×2-10D.2-8解析：∵X~B(n,p),∴E(X)=np=6,D(X)=np(1-p)=3.答案：C 4.在一个均匀小正方体的六个面中,三个面标有数字0,两个面标有数字1,一个面标有数字2.将这个小正方体抛掷2次,则向上的数字之积的数学期望是. 5.甲、乙两人独立解一道数学题,已知该题被甲独立解出的概率为0.6,该题被解出的概率为0.92.(1)求该题被乙独立解出的概率;(2)求解出该题的人数X的均值和方差.解：(1)甲、乙分别解出此题的事件记为A,B,设甲独立解出此题的概率为p1,乙独立解出此题的概率为p2.则P(A)=p1=0.6,P(B)=p2.∴P(A∪B)=1-(1-p1)·(1-p2)=1-0.4(1-p2)=0.6+0.4p2=0.92.∴0.4p2=0.32,即p2=0.8. E(X)=0×0.08+1×0.44+2×0.48=0.44+0.96=1.4,D(X)=(0-1.4)2×0.08+(1-1.4)2×0.44+(2-1.4)2×0.48=0.1568+0.0704+0.1728=0.4.