人教A版选修2-1课件2.4.1 抛物线及其标准方程

2.4抛物线 2.4.1抛物线及其标准方程 1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.这个定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线. 做一做1若动点P到点(3,0)的距离和它到直线x=-3的距离相等,则动点P的轨迹是()A.椭圆B.抛物线C.直线D.双曲线解析：由抛物线定义知,动点轨迹为抛物线.答案：B 2.抛物线的标准方程 做一做2(1)抛物线x2=y的开口向,焦点坐标为,准线方程是.(2)若抛物线的准线方程是x=5,则其标准方程为,焦点坐标为. 思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2)抛物线实质上就是双曲线的一支.()(3)若抛物线的方程为y2=-4x,则其中的焦参数p=-2.()(4)抛物线y=6x2的焦点在x轴的正半轴.()×××× 探究一探究二探究三思维辨析探究一根据抛物线方程求焦点坐标以及准线方程【例1】求下列各条抛物线的焦点坐标和准线方程:(1)y2=-12x;(2)3x2-4y=0;(3)x=32y2;(4)y2=ax(a≠0).分析：先将所给方程转化为标准方程的形式,确定其开口方向,求出p的值,然后写出焦点坐标和准线方程.解：(1)由方程y2=-12x知,抛物线开口向左,焦点在x轴的负半轴上,2p=12,所以p=6,,因此焦点坐标为(-3,0),准线方程为x=3. 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析变式训练1(1)抛物线x2+2y=0的准线方程为()(2)抛物线y=-x2的焦点坐标为()答案：(1)C(2)D 探究一探究二探究三思维辨析探究二求抛物线的标准方程【例2】根据下列条件求抛物线的标准方程.(1)经过点M(-8,4);(2)焦点在直线x+4y+6=0上;(3)焦点到准线的距离等于双曲线的实轴长.分析：先根据题意确定焦点的位置,从而确定标准方程的形式,设出其标准方程,然后求出参数p的值,代入即得抛物线标准方程.解：1)因为点M(-8,4)在第二象限,所以抛物线焦点在y轴的正半轴或x轴的负半轴上.设抛物线方程为x2=2py(p>0)或y2=-2px(p>0).将点M(-8,4)代入可得(-8)2=2p·4或42=-2p·(-8),解得2p=16或2p=2,故所求抛物线方程为x2=16y或y2=-2x. 探究一探究二探究三思维辨析(3)双曲线的实轴长2a=2×3=6,因此焦点到准线的距离等于6,即p=6,2p=12,故所求抛物线方程为y2=12x或y2=-12x或x2=12y或x2=-12y. 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析变式训练2(1)以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆x2+y2-2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是()A.y=3x2或y=-3x2B.y=3x2C.y2=-9x或y=3x2D.y=-3x2或y2=9x答案：D 探究一探究二探究三思维辨析(2)若抛物线的准线与y轴平行,且焦点到准线的距离为3,则抛物线的标准方程为.解析：(2)因为抛物线的准线与y轴平行,所以焦点在x轴上,标准方程的形式为y2=±2px(p>0).又焦点到准线的距离为3,即p=3,所以抛物线的标准方程为y2=±6x.答案：y2=±6x 探究一探究二探究三思维辨析探究三利用抛物线的定义解决轨迹问题【例3】已知动点M(x,y)满足,则动点M的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.直线D.抛物线答案：D 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析变式训练3一个动圆经过点A(2,0),并且和直线l:x=-2相切,则动圆圆心M的轨迹方程是.解析：设动圆的半径为R.因为动圆经过点A(2,0),所以|MA|=R.又因为动圆和直线l:x=-2相切,所以圆心M到直线l:x=-2的距离d=R,即圆心M到定点A的距离与到定直线l的距离相等,故其轨迹是抛物线,且A是焦点,l是准线,并且有=2,所以p=4,故动圆圆心M的轨迹方程是y2=8x.答案：y2=8x 探究一探究二探究三思维辨析忽视抛物线标准方程的形式致误典例导学号03290043求抛物线x=-ay2(a≠0)的准线方程和焦点坐标. 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析变式训练导学号03290044设抛物线y=mx2(m≠0)的准线与直线y=1的距离为3,求抛物线的标准方程. 1.在平面内,“点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：当定点恰好在定直线上时,点P的轨迹不是抛物线,而是一条直线,但当点P的轨迹为抛物线时,抛物线上的点到某定点的距离等于其到某条定直线的距离,故是必要不充分条件.答案：B 2.对抛物线x2=4y,下列描述正确的是()解析：抛物线x2=4y开口向上,焦点为(0,1),故选A.答案：A 3.若点P(x,y)到点F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,则P(x,y)的轨迹方程为()A.y2=8xB.y2=-8xC.x2=8yD.x2=-8y解析：依题意得点P(x,y)到点F(0,2)的距离与它到直线y+2=0的距离相等,并且点F(0,2)不在直线y+2=0上,所以点P的轨迹是抛物线,并且F是焦点,y+2=0是准线,于是抛物线方程为x2=8y.答案：C 4.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线关于x轴对称,顶点在原点O,且过点P(2,4),则该抛物线的方程是.解析：由题意可设抛物线方程为y2=2ax.因为点P(2,4)在抛物线上,所以42=4a,故a=4,即所求抛物线的方程为y2=8x.答案：y2=8x 5.若抛物线顶点在原点,对称轴是x轴,点P(-5,2)到焦点的距离是6,求抛物线的标准方程.解：设焦点为F(a,0),依题意有|PF|=,即a2+10a+9=0,解得a=-1或a=-9.当焦点为F(-1,0)时,p=2,抛物线开口方向向左,其方程为y2=-4x;当焦点为F(-9,0)时,p=18,抛物线开口方向向左,其方程为y2=-36x.