人教A版选修2-1课件2.3.1 双曲线及其标准方程

2.3双曲线 2.3.1双曲线及其标准方程 1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点F1,F2叫做双曲线的焦点,两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 做一做1(1)给出下列条件,其中动点轨迹为双曲线的是()A.动点P到点(3,0)及点(-3,0)的距离之差的绝对值等于8B.动点P到点(3,0)及点(-3,0)的距离之差等于6C.动点P到点(3,0)及点(-3,0)的距离之差的绝对值等于4D.动点P到点(3,0)及点(-3,0)的距离之和等于4(2)动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2,则点P的轨迹是()A.双曲线B.双曲线的一支C.两条射线D.一条射线解析：(2)因为PM-PN=2,且MN=2,所以点P在线段MN的延长线上.答案：(1)C(2)D 2.双曲线的标准方程 做一做2(1)若双曲线方程为,则其焦点在轴上,焦点坐标为.(2)已知a=5,c=10,焦点在y轴上,则双曲线的标准方程为. 思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹就是双曲线.()(2)对于双曲线标准方程,三个参数a,b,c中,最大的一定是c.()×√√× 探究一探究二探究三思维辨析探究一对双曲线定义的理解【例1】已知点P(x,y)的坐标满足,则动点P的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.两条射线D.双曲线的一支解析：设A(1,1),B(-3,-3),则由已知得||PA|-|PB||=4,亦即动点P到两个定点A,B的距离之差的绝对值等于常数4,且|AB|=4,4<4,所以根据双曲线定义知,动点P的轨迹是双曲线.答案：B 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析变式训练1已知两定点F1(-3,0),F2(3,0),在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中,是双曲线的是()A.||PF1|-|PF2||=5B.||PF1|-|PF2||=6C.||PF1|-|PF2||=7D.||PF1|-|PF2||=0解析：A中,因为|F1F2|=6,所以||PF1|-|PF2||=5<|F1F2|,故动点P的轨迹是双曲线;B中,因为||PF1|-|PF2||=6=|F1F2|,所以动点P的轨迹是以F1或F2为端点的射线(含端点);C中,因为||PF1|-|PF2||=7>|F1F2|,所以动点P的轨迹不存在;D中,因为||PF1|-|PF2||=0,即|PF1|=|PF2|,根据线段垂直平分线的性质,动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线,故选A.答案：A 探究一探究二探究三思维辨析探究二对双曲线标准方程的理解【例2】给出曲线方程(1)若该方程表示双曲线,求实数k的取值范围;(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线,求实数k的取值范围.分析：根据双曲线方程的特征建立不等式(组)求解. 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析变式训练2(1)在方程mx2-my2=3n中,若mn<0,则该方程表示()A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在y轴上的双曲线(2)若方程x2sinα-y2cosα=1(0≤α<π)表示双曲线,则α的取值范围是. 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析探究三求双曲线的标准方程【例3】根据下列条件求双曲线的标准方程.(1)c=,经过点(-5,2),焦点在x轴上;(2)已知双曲线两个焦点的坐标为F1(0,-5),F2(0,5),双曲线上一点P到F1,F2的距离之差的绝对值等于6.分析：先根据已知条件设出双曲线的标准方程,再构造关于a,b的方程组,求得a,b即得,要注意对双曲线焦点位置的分析以及平方关系c2=a2+b2的运用. 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析变式训练3导学号03290034求满足下列条件的双曲线的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别是(-5,0),(5,0),双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8;(2)焦点在x轴上,经过点P(4,-2)和点Q(2,2).解：(1)由已知得,c=5,2a=8,即a=4.∵c2=a2+b2,∴b2=c2-a2=52-42=9. 探究一探究二探究三思维辨析忽视对双曲线焦点位置的讨论致误典例导学号03290035若双曲线的焦距等于6,求实数m的值.错解因为双曲线的焦距等于6,即2c=6,所以c=3,即a2+b2=c2=9,所以m-2+m-7=9,解得m=9,即实数m的值为9.正解因为双曲线的焦距等于6,即2c=6,所以c=3,即a2+b2=c2=9.(1)当双曲线焦点在x轴上时,方程为,a2=m-2,b2=m-7,所以m-2+m-7=9,解得m=9,即实数m的值为9.(2)当双曲线焦点在y轴上时,方程为,a2=7-m,b2=2-m,所以7-m+2-m=9,解得m=0,即实数m的值为0.综上可知,实数m的值为0或9. 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析变式训练若双曲线x2-3y2=k的焦距等于8,则实数k=.答案：12或-12 1.已知F1(-5,0),F2(5,0)为定点,动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,当a=3和a=5时,P点的轨迹分别为()A.双曲线和一条直线B.双曲线的一支和一条直线C.双曲线和一条射线D.双曲线的一支和一条射线解析：因为|F1F2|=10,|PF1|-|PF2|=2a,所以当a=3时,2a=6<|F1F2|,为双曲线的一支;当a=5时,2a=10=|F1F2|,为一条射线.答案：D 2.双曲线方程为x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为()答案：C 3.k>9是方程表示双曲线的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件解析：当k>9时,9-k<0,k-4>0.方程表示双曲线.当k<4时,9-k>0,k-4<0,方程也表示双曲线.所以k>9是方程表示双曲线的充分不必要条件.答案：B 4.双曲线的焦点为(-2,0)和(2,0),且b=1,则双曲线的标准方程是.解析：由条件知,双曲线焦点在x轴上,且c=2,b=1,所以a2=c2-b2=22-12=3,故双曲线的标准方程为.答案： 5.设双曲线与椭圆有共同的焦点,且与椭圆的一个公共点的纵坐标为4,求双曲线的标准方程.