人教A版选修2-1课件2.1 曲线与方程

第二章　圆锥曲线与方程 2.1曲线与方程 1.曲线的方程与方程的曲线的定义一般地,在直角坐标系中,如果曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.这个方程就叫做曲线的方程,这条曲线就叫做方程的曲线. 做一做1如果曲线C的方程,点M(a,b),那么点M在曲线C上的充要条件是.解析：点M在曲线C上,那么点M的坐标满足曲线C的方程,于是有,即为点M在曲线C上的充要条件.答案：做一做2方程y=|x|所表示的曲线为()A.一条直线B.两条直线C.一条射线D.两条射线解析：由y=|x|可得y=x(x≥0)或y=-x(x<0),因此该方程所表示的曲线为两条射线.答案：D 2.求曲线方程的一般步骤求曲线的方程,一般有如下步骤:(1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;(2)写出适合条件p的点M的集合P={M|p(M)};(3)用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;(4)化简方程f(x,y)=0为最简形式;(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上. 做一做3到两坐标轴的距离之差等于3的点的轨迹为()A.|x|-|y|=3B.|y|-|x|=3C.|x|-|y|=±3D.x-y=±3解析：设动点为(x,y),则它到x轴、y轴的距离分别为|y|,|x|,依题意有||y|-|x||=3,即|x|-|y|=±3.答案：C 3.坐标法与解析几何研究的对象(1)借助坐标系,用坐标表示点,把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹,用曲线上的点的坐标(x,y)所满足的方程f(x,y)=0表示曲线,通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质,这就叫做坐标法.(2)由坐标法研究几何图形的知识所形成的学科叫做解析几何,解析几何研究的主要问题是:①根据已知条件,求出表示曲线的方程;②通过曲线的方程,研究曲线的性质. 思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)若以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上,则方程f(x,y)=0即为曲线C的方程.()(2)若曲线C上的点满足方程F(x,y)=0,则坐标不满足方程F(x,y)=0的点不在曲线C上.()(3)方程x+y-2=0是以A(2,0),B(0,2)为端点的线段的方程.()(4)在求曲线方程时,对于同一条曲线,建立不同的坐标系,所得到的曲线方程也不一样.()(5)化简方程“|x|=|y|”为“y=x”是恒等变形.()(6)按照求曲线方程的步骤求解出的曲线方程不用检验.()×√×√×× 探究一探究二探究三探究一对“曲线的方程”与“方程的曲线”概念的理解【例1】判断下列命题是否正确,并说明理由.(1)到x轴距离为3的点的轨迹方程为y=-3;分析：根据曲线的方程与方程的曲线的定义进行判断.探究四思维辨析 探究一探究二探究三解：(1)错误.因为到x轴距离为3的点的轨迹方程为|y|=3,不满足完备性.(2)错误.到原点的距离等于4的点的轨迹方程应为x2+y2=16,不满足完备性.(3)正确.由方程,得x=1或y+2=0(x≥1),因此该方程表示一条直线x=1和一条射线y+2=0(x≥1).(4)错误.点(4,0)在方程x2+y2=16(x≥0)表示的曲线上,但点(-2,2)不在该曲线上.探究四思维辨析 探究一探究二探究三探究四思维辨析 探究一探究二探究三变式训练1判断下列命题是否正确,并说明理由:(1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程为x=3;(2)△ABC的顶点A(0,-3),B(1,0),C(-1,0),D为BC中点,则中线AD的方程为x=0;(3)方程(x+y-1)=0表示的是一条直线和一个圆.解：(1)正确.满足曲线方程的定义,故结论正确.(2)错误.因为中线AD是一条线段,而不是直线,所以其方程应为x=0(-3≤y≤0),故结论错误.(3)错误.由方程可得x2+y2=4或x+y-1=0(x2+y2≥4),所以该方程表示的是一个圆或两条射线.探究四思维辨析 探究一探究二探究三探究二曲线与方程关系的应用【例2】已知方程x2+4x-1=y.(1)判断点P(-1,-4),Q(-3,2)是否在此方程表示的曲线上;(2)若点M在此方程表示的曲线上,求实数m的值;(3)求该方程表示的曲线与曲线y=2x+7的交点的坐标.分析：对于(1)和(2),可将点的坐标代入曲线方程进行判断和求解;对于(3),可通过解方程组求得交点坐标.解：(1)因为(-1)2+4×(-1)-1=-4,(-3)2+4×(-3)-1≠2,所以点P坐标适合方程,点Q坐标不适合方程,即点P在曲线上,点Q不在曲线上.探究四思维辨析 探究一探究二探究三探究四思维辨析 探究一探究二探究三探究四思维辨析 探究一探究二探究三变式训练2(1)若直线x-2y-2k=0与y=x+k的交点在曲线x2+y2=25上,则k的值是()A.1B.-1C.1或-1D.以上都不对(2)已知方程xy+3x+ky+2=0表示的曲线经过点(2,-1),则k的值等于.解析：(1)联立得方程组解得交点为(-4k,-3k),代入圆的方程中,即(-4k)2+(-3k)2=25,所以k=±1.(2)依题意有2×(-1)+3×2+k(-1)+2=0,解得k=6.答案：(1)C(2)6探究四思维辨析 探究一探究二探究三探究三直接法求动点的轨迹方程【例3】已知点M到x轴的距离和点M与点F(0,4)的距离相等,求点M的轨迹方程.分析：由题意知已经建立了直角坐标系,因此只需设出点M的坐标,套用两点间距离公式根据条件建立等式即可.解：设动点M的坐标为(x,y),且点M到x轴的距离为d,则d=|y|.探究四思维辨析 探究一探究二探究三探究四思维辨析 探究一探究二探究三变式训练3导学号03290020一个动点到直线x=8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍,求动点的轨迹方程.解：设动点P坐标为(x,y),则动点P到直线x=8的距离d=|x-8|,化简得3x2+4y2=48.故动点的轨迹方程为3x2+4y2=48.探究四思维辨析 探究一探究二探究三探究四思维辨析探究四代入法(相关点法)求动点轨迹方程【例4】已知圆O:x2+y2=4,点A(-3,5),点M在圆O上移动,且点P满足,求点P的轨迹方程.分析：点P与点M有关,点M是点P的相关点,只需找到点P与点M的坐标之间的关系即可求得点P的轨迹方程. 探究一探究二探究三探究四思维辨析 探究一探究二探究三探究四思维辨析 探究一探究二探究三探究四思维辨析 探究一探究二探究三探究四思维辨析 探究一探究二探究三探究四思维辨析求动点轨迹方程时对动点满足的条件考虑不全致误典例导学号03290021在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且a,c,b成等差数列,a>c>b,|AB|=2,试求顶点C的轨迹方程.错解以直线AB为x轴,线段AB的中点为原点,建立直角坐标系(如图),则A(-1,0),B(1,0),设C(x,y).因为a,c,b成等差数列,所以a+b=2c,即|AC|+|BC|=2|AB|,化简整理得3x2+4y2=12. 探究一探究二探究三探究四思维辨析正解以直线AB为x轴,线段AB的中点为原点,建立直角坐标系(如图),则A(-1,0),B(1,0),设C(x,y).因为a,c,b成等差数列,所以a+b=2c,即|AC|+|BC|=2|AB|, 探究一探究二探究三探究四思维辨析 探究一探究二探究三探究四思维辨析变式训练若△ABC的边AB是定长2a,边BC的中线为定长m,则顶点C的轨迹方程为.解析：取AB的中点O为原点,直线AB为x轴,建立直角坐标系(如图),则A(-a,0),B(a,0).化简得(x+3a)2+y2=4m2.又点C在直线AB上时不能组成三角形,故y≠0,因此顶点C的轨迹方程是(x+3a)2+y2=4m2(y≠0).答案：(x+3a)2+y2=4m2(y≠0)(答案不唯一) 1.方程x2+xy=x所表示的图形是()A.一个点B.一条直线C.两条直线D.一个点和一条直线解析：原方程等价于x(x+y-1)=0⇔x=0或x+y-1=0,故原方程所表示的图形是两条直线.答案：C 2.若方程x-2y-2k=0与2x-y-k=0所表示的两条直线的交点在方程x2+y2=9的曲线上,则k等于()A.±3B.0C.±2D.一切实数解析：两直线的交点为(0,-k),由已知点(0,-k)在曲线x2+y2=9上,故可得k2=9,故k=±3.答案：A 3.动点在曲线x2+y2=1上移动时,它和定点B(3,0)连线的中点P的轨迹方程是()A.(x+3)2+y2=4B.(x-3)2+y2=1C.(2x-3)2+4y2=1D.解析：设点P坐标为(x,y),曲线上对应点为(x1,y1),所以x1=2x-3,y1=2y.因为(x1,y1)在曲线x2+y2=1上,所以,故(2x-3)2+(2y)2=1,即(2x-3)2+4y2=1.答案：C 4.在平面直角坐标系xOy中,若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足,则点P的轨迹方程是.解析：=(x,y)·(1,2)=x+2y=4,x+2y=4,即为所求轨迹方程.答案：x+2y=4