人教A版选修1-2课件3.1.1 数系的扩充和复数的概念

3.1数系的扩充和复数的概念 3.1.1数系的扩充和复数的概念 1.复数的概念及代数表示法(1)定义:我们把集合C={a+bi|a,b∈R}中的数,即形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位,全体复数所成的集合C叫做复数集,规定i·i=i2=-1.(2)表示:复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R).这一表示形式叫做复数的代数形式.对于复数z=a+bi,以后不作特殊说明,都有a,b∈R,其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部. 做一做1(1)复数z=2+5i的实部等于,虚部等于.(2)若复数z=(2a-1)+(3+a)i(a∈R)的实部与虚部相等,则a=.解析:(1)复数z=2+5i的实部等于2,虚部等于5.(2)由已知得2a-1=3+a,所以a=4.答案:(1)25(2)4 2.复数相等的充要条件在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),我们规定a+bi与c+di相等的充要条件是a=c且b=d. 做一做2若a,b∈R,且2016+ai=2015i-b,则实数a=,b=.解:析:由复数相等的充要条件可得所以a=2015,b=-2016.答案:2015-2016 3.复数的分类(1)对于复数a+bi,当且仅当b=0时,它是实数;当且仅当a=b=0时,它是实数0;当b≠0时,叫做虚数;当a=0,且b≠0时,叫做纯虚数.这样,复数z=a+bi(a,b∈R)可以分类如下:(2)集合表示如下. 思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)若复数z=x+yi,则复数z的实部与虚部分别为x,y.()(2)在复数z=x+yi(x,y∈R)中,若x=0,则复数z为纯虚数.()(3)复数可以分为两大类:实数与虚数.()(4)若复数z等于0,则其实部与虚部都等于0.()(5)若i是虚数单位,则3+2i>1+i.()××√√× 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测对复数相关概念的理解:【例1】给出下列说法:①复数由实数、虚数、纯虚数构成;②若复数z=3m+2ni,则其实部与虚部分别为3m,2n;③在复数z=x+yi(x,y∈R)中,若x≠0,则复数z一定不是纯虚数;④若a∈R,且a≠0,则(a+3)i是纯虚数.其中正确的说法的序号是.分析:根据复数及其相关概念进行分析判断,注意列举反例.解析:①错,复数由实数与虚数构成,在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数.②错,只有当m,n∈R时,才能说复数z=3m+2ni的实部与虚部分别为3m,2n.③正确,复数z=x+yi(x,y∈R)为纯虚数的条件是x=0且y≠0,只要x≠0,复数z就一定不是纯虚数.④错,只有当a∈R,且a≠-3时,(a+3)i才是纯虚数.答案:③ 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练1下列命题中,正确的是()A.1-ai(a∈R)是一个复数B.形如a+bi(b∈R)的数一定是虚数C.两个复数一定不能比较大小D.若a>b,则a+i>b+i解析:由复数的定义知A正确;当a∈R,b=0时a+bi(b∈R)表示实数,故B项错误;如果两个复数同时是实数时,可以比较大小,故C项错误;a+i与b+i不能比较大小,故D项错误.答案:A 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测复数分类及其应用【例2】已知复数z=(m2-2m)+,其中m∈R.试求当m为何值时,(1)z是实数；(2)z是虚数；(3)z是纯虚数. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练2已知m∈R,复数z=lgm+(m2-1)i,当m为何值时,(1)z为实数;(2)z为虚数;(3)z为纯虚数. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测复数相等的充要条件及应用【例3】求解下列各题;(1)若(4x-2y)i=x+1,求实数x,y的值;(2)若不等式m2-(m2-2m)i<9+成立,求实数m的值.分析:对于(1),可直接根据两个复数相等的充要条件建立关于x,y的方程组求解;对于(2),应先根据两个复数能够比较大小,确定它们都是实数,然后再根据大小关系建立不等式组求解. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练3(1)若4-3a-a2i=a2+4ai,则实数a的值为()A.1B.1或-4C.-4D.0或-4解析:由题意知解得a=-4.答案:C(2)已知复数z=(a+1)-(a2-1)i,若z=0,则实数a的值为.解析:由已知得解得a=-1.答案:-1 探究二探究三探究一思维辨析当堂检测对复数相关概念的理解不清致误典例给出下列命题:①若x+yi=0,则x=y=0;②若a+bi=3+8i,则a=3,b=8;③若x为实数,且(x2-4)+(x2+2x)i是纯虚数,则x=±2;④如果3x+mi<0,则有x<0.其中正确命题的序号是.错解:四个命题都是正确的.答案:①②③④答案:④ 探究二探究三探究一思维辨析当堂检测 探究二探究三探究一思维辨析当堂检测变式训练若k∈R,且(2k2-5k-3)+(2k2-k-1)i为纯虚数,则实数k等于.答案:3 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:D2.若z=(m2-1)+(m-1)i(m∈R)是纯虚数,则有()A.m=±1B.m=-1C.m=1D.m≠1解析:∵z是纯虚数,∴m=-1.故选B.答案:B 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.设A={实数},B={纯虚数},C={复数},全集U=C,则下面结论正确的是()A.A∪B=CB.∁UA=BC.A∩(∁UB)=⌀D.B∪(∁UB)=C解析:由复数的分类可知D项正确.答案:D4.若x,y∈R,且3x+y+3=(x-y-3)i,则x=,y=.解析:由题意,答案:0-3 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测5.如果(m2-1)+(m2-2m)i>0,求实数m的值.解:因为当两个复数都是实数时才能比较大小,所以当m=2时,(m2-1)+(m2-2m)i>0.