2023九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程课时7课件（人教版）

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系九年级上册RJ初中数学解一元二次方程 1.一元二次方程的一般式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0).2.利用判别式b2-4ac来判断一元二次方程根的情况.对一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0).b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根.b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根.b2-4ac<0时，方程无实数根.3.一元二次方程的求根公式：.知识回顾 1.了解一元二次方程的根与系数的关系.2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.学习目标 课堂导入一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为：两个根的和、积与a,b,c有怎样的关系呢？，.,==. 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根与系数的关系为：知识点新知探究根与系数的关系特别地，若方程可以化为x2＋px＋q＝0的形式，则有x1＋x2＝－p，x1x2＝q.=.注意：满足上述关系的前提条件b2-4ac≥0. 例1不解方程，求下列方程两个根x1，x2的和与积：(1)x2－6x－15＝0;(2)3x2＋7x－9＝0;(3)5x－1＝4x2.跟踪训练新知探究解:(1)x1+x2=-(-6)=6，x1x2=-15.注意公式自身的符号及系数的符号.(2)x1+x2=-=-，x1x2===-3. 例1不解方程，求下列方程两个根x1，x2的和与积：(3)5x-1＝4x2.跟踪训练新知探究(3)化一般式，得4x2-5x+1＝0，用根与系数的关系前，一定要化成一般式.x1+x2=-=-=，x1x2==. 拓展：与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x1，x2有关的几个代数式的变形1.=;2.=-2;3.=;4.(+++1;5.==;6.=;求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和、两根之积的形式，再整体代入. 例2已知实数a，b分别满足a2-6a+4=0，b2-6b+4=0，且a≠b，则的值是()A.B.C.D.解：∵a2-6a+4=0和b2-6b+4=0两个等式的形式相同，且a≠b，∴a，b可以看成是方程x2-6x+4=0的两个根，∴a+b=6，ab=4，A∴. 解：设方程的两根分别为x1，x2，例3已知关于x的一元二次方程2x2-mx-2m+1=0的两根的平方和为，求m的值.由已知得因为，所以，所以，解得m1=-11，m2=3. 当m=-11时,方程为2x2+11x+23=0,Δ=121-4×2×23=-63<0，方程无实数根，不合题意，应舍去；当m=3时,方程为2x2-3x-5=0，Δ=(-3)2-4×2×(-5)=49>0，方程有两个不相等的实数根.综上所述，m的值为3.求解此类问题时，必须将求出的字母的值代回原方程进行检验，看是否满足判别式Δ>0，否则可能会多解. 1.不解方程，求下列方程两个根的和与积.(1)x2－3x＝15；(2)3x2＋2＝1－4x；(3)5x2－1＝4x2＋x；(4)2x2－x＋2＝3x＋1.解：(1)方程化为x2－3x－15＝0，x1＋x2＝－(－3)＝3，x1x2＝－15.(2)方程化为3x2＋4x＋1＝0，x1＋x2＝－，x1x2＝.随堂练习 解：(3)方程化为x2－x－1＝0，x1＋x2＝－(－1)＝1，x1x2＝－1.1.不解方程，求下列方程两个根的和与积.(1)x2－3x＝15；(2)3x2＋2＝1－4x；(3)5x2－1＝4x2＋x；(4)2x2－x＋2＝3x＋1.(4)方程化为2x2－4x＋1＝0，x1＋x2＝－＝2，x1x2＝. 2.已知关于x的一元二次方程x2-6x+q＝0有一个根为2，求方程的另一根和q的值.解：设方程的另一个根为a，则2+a=-(-6)=6，解得a=4，则q=2×4=8.本题也可利用根的定义求解，见《教材帮》数学RJ九上21.2节方法帮 解：(1)∵关于x的一元二次方程x2+(2k+3)x+k2＝0有两个不相等的实数根，∴Δ=(2k+3)2-4k2>0，解得k>.3.已知关于x的一元二次方程x2+(2k+3)x+k2=0有两个不相等的实数根x1,x2.(1)求k的取值范围； ∴，解得k1=3，k2=-1.注意b2-4ac>0.经检验，k1=3，k2=-1都是原分式方程的根，∵k>，∴k=3.(2)若，求k的值.(2)∵x1，x2是方程x2+(2k+3)x+k2＝0的实数根，∴x1+x2=-(2k+3)，x1x2=k2， 解：根据题意，得x1+x2=-3，x1x2=-1，所以x1-1+x2-1=-5,(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=3，所以以x1-1和x2-1为根的一个一元二次方程可以是x2+5x+3=0(答案不唯一).4.已知x1，x2是方程x2+3x-1=0的两个根，求以x1-1和x2-1为根的一元二次方程. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系数学语言文字语言一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.使用条件(1)方程是一元二次方程，即二次项系数不为0；(2)方程有实数根，即Δ≥0.重要结论(1)若一元二次方程x2+px+q=0的两根为x1，x2，则x1+x2=-p，x1x2=q.(2)以实数x1，x2为两根的二次项系数为1的一元二次方程是x2-(x1+x2)x+x1x2=0.课堂小结 1.（2020•黄冈中考）已知x1，x2是一元二次方程x2-2x-1＝0的两根，则=．对接中考解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，∴x1x2＝﹣1，则-1 2.（2020·玉林中考）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若方程的两个不相等的实数根是a，b，求的值.解:(1)∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝4+4k＞0，解得k＞﹣1．∴k的取值范围为k＞﹣1.(2)由根与系数关系得a+b＝﹣2，ab＝﹣k，∴