四川省 2022-2023学年高一数学下学期期中试题（Word版附解析）

高一数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数的最小正周期是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】直接利用正弦型函数的周期公式求解即可.【详解】因为，所以，则，即函数的最小正周期为，故选：C.2.已知，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据向量的线性运算即可.【详解】，故选：D.3.把函数的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】根据三角函数平移和伸缩的原则即可得到答案.【详解】将函数的图象向右平移个单位长度得，再把图象上点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得，故选：B.4.某班有男生20名，女生30名．一次数学考试（所有学生均参加了考试），男生数学成绩平均为92，女生数学成绩平均分为97，则该班数学成绩平均分为（）A.94B.94.5C.95D.95.5【答案】C【解析】【分析】根据平均数的计算公式即可得到答案.【详解】设该班数学成绩平均分为，根据平均数定义得分，故选：C.5.在中，,，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由正弦定理可求得结果.【详解】，由正弦定理得，得.故选：A6.在中，，，则该三角形的面积（）A.B.C.2D. 【答案】B【解析】【分析】利用向量的数量积公式得，再根据三角形面积公式计算即可.【详解】因为在中，，，所以，则，故.故选：B.7.已知平面向量，，满足，，且.若，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设，根据向量垂直、数量积的坐标表示列方程求，最后用坐标公式求模即可.【详解】令，则，可得，所以.故选：A8.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，的最小值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】对原式化简得，再将其代入余弦定理结合基本不等式即可求出最值.【详解】，化简得， ，当且仅当时等号成立，故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.函数的部分图象如图，，是的两个相邻正零点，其中是最小的正零点．则（）A.B.C.曲线的对称轴是D.在区间上单调递减【答案】BCD【解析】【分析】由图象可知，求出周期，再利用周期公式可求出，再由是最小的正零点可求出的值，从而可求出的解析式，然后逐个分析判断.【详解】由图象可知，，则，所以，，得， 所以，因为是最小的正零点，所以，则，因为，所以，所以，所以A错误，B正确；对于C，由，得，所以曲线的对称轴是，所以C正确；对于D，由，得，所以的减区间为，所以在区间上单调递减，所以D正确.故选：BCD10.已知，则（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】将已知等式两边平方得，将配方，利用二倍角正弦公式可求出，可知A正确；利用二倍角的余弦公式求出，可知B不正确；由弦化切可得C正确；联立求出，可知D不正确. 【详解】因为，所以，所以，所以，所以，，故A正确；由得，故B不正确；由得，得，得，得，故C正确；联立，解得或，故D不正确.故选：AC11.已知复数，，均为虚数，，则（）A.B.C.为实数D.存在某个实系数三次方程，这个三次方程的三个根为，，【答案】BD【解析】【分析】令，则，然后逐个分析判断即可.【详解】令，则， 对于A，，所以A错误，对于B，因为，，所以，所以B正确，对于C，，不一定为实数，所以C错误，对于D，因为，，，所以，，是方程的根，所以D正确，故选：BD12.在中，，，，AD是三角形的中线．E，F分别是AB，AC边上的动点，，（x，），线段EF与AD相交于点G．已知的面积是的面积的2倍，则（）A.B.x＋y的取值范围为C.若，则的取值范围为D.的取值范围为【答案】ACD【解析】【分析】利用三角形面积公式即可得到，利用对勾函数的性质和基本不等式即可判断B，利用共线向量定理的推论即可判断C，利用转化法计算即可判断D. 【详解】对A，，，又因为，即，解得，故A正确，对B，因为，，则，解得，则，则，当且仅当时等号成立，根据对勾函数的图象与性质可知当或1时，，则，故B错误，对C，因为，，所以，因为点三点共线，则存在，使得则有，则，，故C正确；对D，，，则 ，因为，则，则，故D正确.故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题较难的CD选项的判定，需要利用共线向量定理的推论，从而得到，然后解出，从而得到其范围；对于D选项，则利用转化法来计算，最后得到，再进行消元转化为单变量表示即可得到其范围.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知复数满足，则a＝______．【答案】1【解析】【分析】根据复数乘法以及共轭复数的概念代入计算即可得到关于的方程，解出即可.【详解】，则，解得，故答案为：1.14.心理健康问题是青少年成长的重要问题，某校为了解1500名高一新生（其中男生700名）心理健康情况，按性别分层用分层抽样的方法从中抽取45人进行科学的心理健康调查，抽取的女生人数是______．【答案】【解析】【分析】利用分层抽样比例一样求解即可. 【详解】设抽取的女生人数为，则抽取的男生人数为，所以，解得.所以抽取的女生人数为.故答案为：.15.已知向量，，当取得最大值时，______．【答案】【解析】【分析】先利用向量数量积的坐标表示与辅助角公式，求得取得最大值时的值，从而求得，再利用向量模的运算公式即可得解.【详解】因为，，所以，当且仅当，即时取最大值，此时，所以，所以故答案为：.16.在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝2，，则b的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】利用正、余弦定理得，再利用正弦定理得，最后根据三角形为锐角三角形求出的范围即可得到答案.【详解】由余弦定理得， 则，则根据正弦定理得，又因为，，即，化简得，因为是锐角三角形，则，则，则则，则，则，解得，根据正弦定理有，，，故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知复数z满足．（1）求z；（2）若为纯虚数，求k的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设，，根据复数的乘法运算和共轭复数的概念即可得到方程组，解出即可；（2）根据复数的乘除法运算即可得到答案.【小问1详解】设，，，，， ，则【小问2详解】，因为为纯虚数，则，且，解得.18.已知角，的顶点都在原点O，始边都与x轴非负半轴重合，点在的终边上，点在终边上．（1）求的值；（2）若，，，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角函数定义和两角和与差的余弦公式即可得到答案；（2）首先求出，再利用两角和与差的正弦公式以及正切公式即可得到答案.【小问1详解】由题意得，，，，则.【小问2详解】，，又，， 因为，所以，所以，所以，所以，，.19.在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，面积为，．（1）若，求；（2）若，，求S．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据三角形面积公式，得，再根据正弦定理，边角互化，结合，即可求解；（2）根据条件，变形得，再结合余弦定理求，代入三角形面积公式，即可求解.【小问1详解】因为，所以， 因为，所以，即，所以，且，所以.【小问2详解】因为，所以，即，因为，，，即，所以，由余弦定理，得，解得或（舍去），所以.20.已知函数．（1）求曲线对称中心的坐标；（2），，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化简，根据正弦函数的对称中心可求出结果；（2）利用正弦函数的最值求解可得结果.【小问1详解】， 由，得，所以的对称中心的坐标为.【小问2详解】当时，，，又，所以，解得.21.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．（1）求的最大值；（2）求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理结合已知条件可得，再利用基本不等式可求出，从而可求出的最大值；（2）由已知条件结合基本不等式可得，再由正弦定理得，所以，由（1）知，则可求出的范围，从而可求得结果.【小问1详解】由余弦定理得，因为，所以，因为，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，因，所以，所以的最大值为，【小问2详解】因为，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，所以由正弦定理得，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，由（1）知，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，即的取值范围为.22.已知H是内的一点，．（1）若H是的外心，求∠BAC；（2）若H是的垂心，求∠BAC的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设为中点，为中点，利用基底法得，再计算 得，同理利用得，联立即可得到的大小；（2）利用基底法得，再结合向量数量积的含义和余弦定理有，同理根据得，再利用余弦定理即可得到答案.【小问1详解】设为的中点，为中点，是外心，所以，点H在边和的垂直平分线上，，，，即①，同理，可得②，联立①②得，而，则，，.【小问2详解】是的垂心，，即，， 化简得，①同理，化简得，②，联立①②得，则，，则.【点睛】关键点睛：本题的关键是通过基底法转化计算向量数量积，从而得到方程组，再结合余弦定理得到角的余弦值.