四川省 2022-2023学年高一数学下学期期中试题（Word版附解析）

成都十八中2022-2023学年度下期高一半期考试数学试卷考试时间：120分钟总分：150分命审人：高一数学组第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（每小题5分，共40分）1.下列几何体中，面的个数最小的是（）A.四面体B.四棱锥C.三棱柱D.三棱台【答案】A【解析】分析】根据棱柱棱锥得结构特征逐一判断即可.【详解】四面体有个面，四棱锥有个面，三棱柱有个面，三棱台有个面，所以下列几何体中，面的个数最小的是四面体.故选：A.2.已知，，则的值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用二倍角余弦公式可求得的值.【详解】由题意知，，故选：D.3.已知平面向量，，且//，则=（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示列方程求参数即可.【详解】由题设，则.故选：B4.我国南宋著名数学家秦九韶（约1202—1261）提出“三斜求积”求三角形面积的公式．以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上．余四约之，为实．一为从隅开方得积．如果把以上这段文字写成公式，就是：．在中，已知角A、B、C所对边长分别为，其中为方程的两根，，则的面积为（）A.1B.2C.D.【答案】C【解析】【分析】由根与系数关系及三角形面积公式求的面积即可.【详解】由题意，则.故选：C5.已知曲线，，则下面结论正确的是（）A.将曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上的各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线B.把上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C.把上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线D.将曲线向左平移个单位长度，再把得到曲线上的各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线【答案】B 【解析】【分析】利用三角函数的变换即可得出答案.【详解】对于答案：将曲线向左平移个单位长度得，再把得到的曲线上的各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到，故错误.对于答案:把上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变得到，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到，故正确.对于答案:把上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到，故错误.对于答案：将曲线向左平移个单位长度，得到，再把得到的曲线上的各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到故错误.故选：B6.在达州市北部的凤凰山上有一座标志性建筑—凤凰楼，某同学为测量凤凰楼的高度MN，在凤凰楼的正北方向找到一座建筑物AB，高约为，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，凤凰楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得凤凰楼顶部M的仰角为15°，凤凰楼的高度约为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理求得正确答案.【详解】在中，，在中，，， ，由正弦定理得，所以在等腰直角三角形中，有.故选：C7.在中，已知角所对边长分别为，且满足，为的中点，，则（）A.B.3C.D.4【答案】C【解析】【分析】在和中，利用余弦定理求出和，再利用建立关系式即可求出结果.【详解】因为，为的中点，，如图，中，根据余弦定理可得，，在中，根据余弦定理可得，，又因为，所以故有，得到，即，所以，故选：C.8.已知点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且，则的最小值是（）A.B.C.D.1 【答案】B【解析】【分析】根据平面向量共线定理推论可得且，再根据结合基本不等式即可得解.【详解】由，得，又因为点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，所以且，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是.故选：B.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.下列叙述中正确的是（）A.若，则B.若，则C.已知非零向量与且//，则与的方向相同或相反D.对任一非零向量一个单位向量【答案】CD【解析】【分析】A注意即可判断；B根据向量的性质判断；C由共线向量的定义判断；D由单位向量的定义判断.【详解】A：若时，不一定有，错误；B：向量不能比较大小，错误；C：非零向量与且//，则与的方向相同或相反，正确；D：非零向量，则是一个单位向量，正确. 故选：CD10.已知复数则（）A.复数在复平面内对应的点在第三象限B.复数的实部为C.D.复数的虚部为【答案】BC【解析】【分析】求解复数，根据复数的性质，依次判断各项正误.【详解】由题意得，故复数在复平面内对应的点为，在第四象限，故A选项错误；易知复数的实部为，故B选项正确；因为，所以，故C选项正确；因为，所以复数的虚部为，故D选项错误．故选：BC．11.下列说法错误的有（）A.在平面中若有一点满足，则为的垂心．B.已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为C.若，则与方向相同的单位向量坐标为D.在中，是的充要条件【答案】AB【解析】【分析】对于选项A，结合图形，由三角形重心的性质即可判断；对于选项B ，由向量的夹角公式即可解出实数x的取值范围；对于选项C，由向量共线且同向的性质和单位向量的模为即可计算；对于选项D，由正弦定理和三角形边角关系即可判断.【详解】对于选项A，如图，在中，取的中点，连接.则，又因为点满足，所以，即，所以是线段一个三等分点，，又因为是的一条中线，所以是的重心．故选项A错误.对于选项B，因为，，又因为与的夹角为锐角，所以解得且，所以当与的夹角为锐角时，实数x的取值范围为，故选项B错误.对于选项C，设与方向相同的单位向量坐标为，则解得，所以与方向相同的单位向量坐标为.故选项C正确.对于选项D，若在中，，则由正弦定理得，由三角形大边对大角得；反之，若在中，，则由三角形大角对大边得，则由正弦定理得，故选项D正确.故选：AB12.在中，角所对的边分别为，已知，则下列结论正确的是（）A.B. C.若，则的面积是15D.若，则外接圆半径是【答案】AD【解析】【分析】设，，，，求出，，，根据正弦定理可判断A正确；根据平面向量数量积和余弦定理可判断B不正确；根据余弦定理和三角形面积公式可判断C不正确；根据余弦定理和正弦定理可判断D正确.【详解】设，，，，则，，，对于A，，故A正确；对于B，，故B不正确；对于C，若，则，，，所以，所以，所以的面积是，故C不正确；对于D，若，则，则，则，，，所以，，所以外接圆半径为.故D正确.故选：AD第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（每小题5分，共20分）13.在中，是的中点，点在上，满足，设，则______________（用表示）． 【答案】【解析】【分析】根据向量对应线段的位置及数量关系用表示出，即可得结果.【详解】如下图示，.故答案为：14.如图是函数的部分图象，则______．【答案】【解析】【分析】先根据图象求出函数的周期，即可求得，再利用待定系数法求出，即可得解.【详解】由图可知，则，所以，则，由，且点在减区间上，得，所以，又，所以， 所以，故.故答案为：.15.（理）在直角坐标系x、y中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C在∠AOB的平分线上，且||＝2，求的坐标为_____________________．【答案】【解析】【分析】根据向量加法平行四边形法则以及菱形性质得,再根据||＝2，求t,即得结果.【详解】由题意可设所以，因为||＝2，所以,即的坐标为.【点睛】与共线的向量为，当时，为同向；当时，为反向；与共线的单位向量为；与垂直的向量为.与平分线共线的向量为.16.在中，若，AD是BC边上的高，，则AD的最大值为______．【答案】【解析】【分析】先利用余弦定理求出角，再利用基本不等式结合三角形得面积公式求出三角形面积得最大值，再利用等面积法即可得解.【详解】因为，所以，又，所以， 由，得，所以，当且仅当时，取等号，又，所以，即，所以AD的最大值为.故答案为：.四、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分）17.已知复数z=m（m+2）+（m2+m-2）i．（1）若z是纯虚数，求实数m的值；（2）若z在复平面内对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围．【答案】（1）m=0（2）（0，1）【解析】【分析】（1）根据纯虚数的概念，让实部等于零，虚部不等于零，列方程求解即可；（2）根据复数z在复平面内对应的点位于第四象限，得到实部大于零，虚部小于零，列不等式求解即可.【小问1详解】若复数是纯虚数，则，解得或且，，所以.【小问2详解】复数z在复平面内对应的点位于第四象限，则，解得，故的取值范围为.18.已知函数.（1）求的最小正周期和的单调递减区间； （2）当时，求函数的最小值及取得最小值时x的值.【答案】（1）π；；（2）当时，函数取得最小值，最小值为．【解析】【分析】（1）利用二倍角降幂公式、辅助角公式可得出，利用周期公式可计算出函数的最小正周期，解方程可得出函数的对称中心坐标；解不等式，可得出函数的单调递减区间；（2）由，计算出的取值范围，利用正弦函数的性质可得出该函数的最小值以及对应的的值.【详解】（1），所以，函数的最小正周期为.由，可得，函数的对称中心为；解不等式，解得.因此，函数的单调递减区间为；（2）当时，，当时，即当时，函数取得最小值，最小值为．【点睛】本题考查正弦型函数周期、对称中心、单调区间以及最值的求解，解题的关键就是要将三角函数解析式化简，借助正弦函数的基本性质求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 19.已知向量,.（1）当时,求；（2）当，，求向量与的夹角.【答案】（1）或（2）【解析】【小问1详解】向量,，则，.由,可得即，即，解得或,当,则,则,所以，当，，，综上.【小问2详解】由,,则由,可得,解得,所以,,又,所以.20.如图，在中，，，点在边上，且，.（1）求；（2）求的长. 【答案】（1）；（2）7.【解析】【详解】试题分析：（I）在中，利用外角的性质，得即可计算结果；（II）由正弦定理，计算得，在中，由余弦定理，即可计算结果．试题解析：（I）在中，∵，∴∴（II）在中，由正弦定理得：在中，由余弦定理得：∴考点：正弦定理与余弦定理．21.已知向量，，设函数的图像关于直线对称，其中，为常数，且，．（1）求函数的最小正周期；（2）若的图像经过点，，求函数在区间，上的取值范围．【答案】（1）（2），【解析】【分析】(1)通过两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简函数的解析式，再利用对称轴求出，求解函数的周期．(2)通过的范围求出相位的范围，利用三角函数的性质求解函数的最值即可．【小问1详解】向量，，，函数，所以 ，由直线是图像的一条对称轴，可得，所以，即．又，，所以时，．所以的最小正周期是．【小问2详解】由(1)可知，若的图像经过点，，则，解得，所以，由，得，所以，得，故函数在区间，上的取值范围为，．22.一个，它的内角所对的边分别为.（1）如果这个三角形为锐角三角形，且满足，求的取值范围；（2）若内部有一个圆心为P，半径为1的圆，它沿着的边内侧滚动一周，且始终保持与三角形的至少一条边相切.现用21米的材料刚好围成这个三角形，请你设计一种的围成方案，使得P 经过的路程最大并求出该最大值.（说明理由）【答案】（1）（2）设计方案答案见解析，路程最大值为，理由见解析【解析】【分析】由利用余弦定理消去参数，化简得到，再利用正弦定理把边化成角并化简得到，最后根据角的范围算出的取值范围；（2）数形结合得出P经过的路程并进行三角恒等变化得到：，最后利用基本不等式得出P经过的路程最大【小问1详解】由（消也可）即所以再由正弦定理，有：所以因为三角形为锐角三角形，所以，即得：由，则得：又，得：，因此可得：所以故【小问2详解】 ，，，P的路程L为：又所以两边同时除以可得：，当且仅当，等号成立.即故可得： 故路程最大值为，此时围成的三角形为边长为7的等边三角形.