四川省 2022-2023学年高一数学下学期期中考试试题（Word版附解析）

2022-2023学年度下期高2025届半期考试数学试卷考试时间：120分钟满分：150分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据向量的加减法的几何意义，即可求得答案.【详解】由题意可得,故选：D2.的值为（）AB.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据诱导公式结合特殊角的正弦值即可求解.【详解】解：.故选：C.3.已知，，若，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据向量的线性运算，即可求得答案.【详解】由可得，故选：A4.已知函数的图象的一部分如图（1），则图（2）的函数图象所对应的函数解析式可以为第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】试题分析：因为图（2）中的图象可以看作是图（1）中的图象先向右平移一个单位，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的二分之一倍而得到，所以图（2）所对应的函数解析式应是.故选B.考点：三角函数的图象变换.5.角的终边上有一点，则的值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据三角函数定义求得的值，利用诱导公式结合两角和的正弦公式，展开求值，可得答案.【详解】由题意角的终边上有一点，则,故，故第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 ，故选：B6.如图，飞机飞行的航线和地面目标在同一铅直平面内，在处测得目标的俯角为，飞行10千米到达处，测得目标的俯角为，这时处与地面目标的距离为（）．A.5千米B.千米C.4千米D.千米【答案】B【解析】【分析】将题意转化为解三角形问题，利用正弦定理计算即可.【详解】根据题意可知，.在中，由正弦定理得,即.故选:B7.已知函数，其在一个周期内的图象分别与x轴、y轴交于点A、点B，并与过点A的直线相交于另外两点C、D.设O为坐标原点，则（）A.B.C.D.第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 【答案】B【解析】【分析】根据图象结合三角函数求点，进而求，即可得结果.【详解】因为，可得，即，由图可知：点A为减区间的对称中心，令，解得，取，则，即，可得，因为点A为线段CD的中点，则，所以.故选：B.8.在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.若恒成立，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由正弦定理边化角结合两角和差的正弦公式可得，推出，则,结合锐角三角形确定B的范围，继而将不等式恒成立转化为恒成立，结合对勾函数的单调性，即可求得答案.【详解】由可得，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 结合,可得，即，由于在锐角中，，故，则,则,又，所以恒成立，即恒成立，即恒成立，因为，故，令，则函数在内单调递增，故，即，故，故选：C【点睛】方法点睛：（1）三角等式含有边角关系式时，一般利用正弦定理转化为角或边之间的关系进行化简；（2）不等式恒成立问题一般转化为函数单调性或最值问题解决；（3）一般要注意利用基本不等式或者函数单调性比如对勾函数的单调性，求解函数最值或范围.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下面给出的关系式中，正确的是（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】根据向量数乘的含义可判断A；根据数量积的运算律可判断B，C，D.第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 【详解】根据向量的数乘的含义可知向量的数乘的结果仍是向量，故，A正确；根据向量的数量积的运算律可知，B正确；根据数量积的含义可知是一个实数，故是与共线的向量，同理是与共线的向量，但是不一定共线，故不一定成立，C错误；当为非零向量且方向相反时，，而，即，D错误，故选：AB10.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则（）A.若，则为直角三角形B.若，则为等腰三角形C.若，则D.若，则为钝角三角形【答案】ACD【解析】【分析】对于A：根据平面向量的模长以及数量积的运算律分析运算；对于B：利用余弦定理分析运算；对于C：利用正弦定理分析运算；对于D：结合正切值小于0即可判断【详解】对于A：因为，即，则，整理得，所以，即为直角三角形，故A正确；对于B：若，则由余弦定理可得，整理得，则或，可得或，所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误；对于C：若，则，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 由正弦定理可得，故C正确；对于D：因为可知中至少一个为负值，即中必有一个钝角，所以为钝角三角形，故D正确；故选：ACD.11.设，（其中），下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.存在，使得D.的最大值为3【答案】CD【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示可判断A；根据向量平行求得，判断B；可举例说明C；根据向量模的计算可判断D.【详解】对于A，∵，∴，且，∴或，∴或，A错误；对于B，∵，∴，且，∴或，故或，B错误；对于C，当时，，，方向相同，故C正确；对于D，，则，，故时，取最大值9，取最大值3，D正确，故选：CD12.黄金三角形被称为最美等腰三角形，因此它经常被应用于许多经典建筑中，例如图中第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 所示的建筑对应的黄金三角形，它的底角正好是顶角的两倍，且它的底与腰之比为黄金分割比（黄金分割比）.在顶角为的黄金中，D为BC边上的中点，则（）A.B.C.在上的投影向量为D.是方程的一个实根【答案】ABD【解析】【分析】根据诱导公式、同角三角函数的基本关系式、三角恒等变换、余弦定理、投影向量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】设，则，解得，则，则，A正确.，，B正确.依题意可设，则，则由余弦定理得，过B作，垂足为E，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 则在上的投影向量为，C错误.由图可知，则，设，则，整理得，D正确.故选：ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在菱形ABCD中，，，则______.【答案】【解析】【分析】由菱形的对角线互相垂直得，再利用向量垂直的坐标运算计算即可.【详解】在菱形ABCD中对角线互相垂直，所以,所以，所以.故答案为：.14.已知定义域为的函数同时满足以下三个条件：（1）函数的图象不过原点；（2）对任意，都有；（3）对任意，都有.则符合上述条件的函数表达式可以为______.（答案不唯一，写出一个即可）【答案】1（答案不唯一，符合题意即可）【解析】【分析】取特列，根据题意分析判断.【详解】取，则，符合（1）；第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 对任意，都有，符合（2）；对任意，都有，符合（3）；综上所述：符合题意.故答案为：1.15.已知等边三角形ABC的边长为2，，，，那么______.【答案】【解析】【分析】确定向量之间的夹角，根据数量积的定义计算，即可得答案.【详解】由题意可知等边三角形ABC的边长为2，则的夹角为，以及的夹角也为，则，同理，故，故答案为：16.已知向量，满足，，对恒成立，若，则，夹角的最小值是______.【答案】##【解析】【分析】根据平面向量的模长运算可得，结合二次函数的最值分析运算即可.【详解】设，夹角为，则，可得，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 因为，则当时，取到最小值，由题意可得，解得，又因为，则，所以，夹角的最小值是.故答案为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知，向量，.（1）如图，若四边形OACB为平行四边形，求点C的坐标；（2）若点P为线段AB的靠近点B的三等分点，求点P的坐标.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意可得，结合向量的坐标运算求解；（2）根据题意可得，结合向量的坐标运算求解.【小问1详解】设点C的坐标为，因为，，，可得，则，若四边形OACB为平行四边形，可得，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 则，解得，故点C的坐标为.【小问2详解】设点P的坐标为，由（1）可知：，则，若点P为线段AB的靠近点B的三等分点，则，则，解得，故点P的坐标为.18.如图，在中，已知，，，，，AM，BN相交于点P.设，.（1）用向量，表示；（2）求，夹角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算求解；（2）由题意可得，结合数量积的定义以及运算律运算求解.【小问1详解】由题意可得：.第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 【小问2详解】因为，由题意可得：，可得，，，即，所以，故，夹角的余弦值为.19.已知函数.（1）求的值；（2）在中，若，求的最大值.【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换整理得，代入运算求解即可；（2）根据题意结合正弦函数可得，再利用三角恒等变换整理得，进而可求最大值.【小问1详解】由题意可得：，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 故.【小问2详解】因为，且，则，所以，解得.故，因为，则，所以，可得，故的最大值为.20.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求；（2）若，的面积为，求的周长．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理，把边化为角，结合三角形的内角和定理，利用三角恒等变换化简可得，进一步求得；（2）根据（1）结论，根据三角形的面积公式可得，再利用余弦定理变形可得，进而求得的周长；【小问1详解】因为，由正弦定理得，所以，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 所以，因为，所以，即，所以，因，所以，所以即；【小问2详解】因为的面积为，，由三角形的面积公式得，化简得，又根据余弦定理得，所以，所以，所以，故周长为21.已知，，其中，函数的最小正周期为.（1）求函数的单调递增区间；（2）若关于x的不等式在内恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量的数量积的坐标表示，结合三角恒等变换化简，可得到表达式，利用函数周期求得参数，即可得函数解析式，结合正弦函数的性质，即可求得答案；（2）将化简整理，从而将恒成立问题转化第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 为函数最值问题，即分离参数后得，对恒成立，令，从而可构造函数，利用其单调性求得最值，即可求得答案.【小问1详解】因为，,则,，故，因为最小正周期为，所以，∴，故，由,解得，所以的单调递增区间为.【小问2详解】在内恒成立，即在内恒成立，，整理得：，由于，，则，故，对恒成立，令，则，故，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 设，当时函数为单调递增函数，故，故，即，所以m的取值范围为．【点睛】方法点睛：解决不等式恒成立问题的一般方法，就是将问题转化为求函数的最值问题解决，即分离参数后，或，其中要注意对不等式进行适当的变形，从而可构造恰当的函数.22.十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置.如图1所示，十字测天仪由杆AB和横档CD构成，并且E是CD的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动.十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从A点观察.滑动横档CD使得A，C在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点D，DE的影子恰好是AE.然后，通过测量AE的长度，可计算出视线和水平面的夹角（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置.（1）若在某次测量中，横档的长度为20，测得太阳高度角，求影子AE的长；（2）若在另一次测量中，，横档的长度为20，求太阳高度角的正弦值；（3）在杆AB上有两点，满足.当横档CD的中点E位于时，记太阳高度角为，其中，都是锐角.证明：.【答案】（1）（2）（3）证明见解析.【解析】【分析】(1)由题意结合图形，在中用正切函数的定义即可求出.第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 (2)先求出，用余弦定理求出的值，再用同角的平方关系即可求出；或先求出和，再用正弦的二倍角公式求出.(3)先求出，通过变形得到讨论函数在上的单调性，即可证明结论.【小问1详解】如图1，由题意得，，，且E是的中点，，，所以在中，.【小问2详解】解法一：由题意，.由于E是中点，且，所以，且.由余弦定理得从而即太阳高度角的正弦值为.解法二：由题意，.由于E是的中点，且，所以，且，于是且，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 从而,即太阳高度角的正弦值为.【小问3详解】由题意，，因为，都是锐角，则，所以，从而.根据，可知因为函数在单调递增，且，所以，即.【点睛】方法点睛：新文化题出题的特点，就是先给出一段材料，然后利用材料中的有用信息解决问题，这种题目的特点，就是把要解决的实际问题转化为数学公式或者概念.在本题中，要把物体的长度，太阳高度角等实际生活中的条件转化为三角形中的长度和角度，从而利用三角函数的有关知识解答.第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司