山西省太原市2022-2023学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析）

2022~2023学年第二学期高二年级期中质量监测数学试卷说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间90分钟，满分100分.一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.某班有25名同学，春节期间若互发一条问候微信，则他们发出的微信总数是（）A.50B.100C.300D.600【答案】D【解析】【分析】利用排列及排列数公式即可求解.【详解】由题意可知，他们发出的微信总数是.故选：D.2.某市对机动车单双号限行进行了调查，在参加调查的2748名有车人中有1760名持反对意见，2652名无车人中有1400名持反对意见，在运用这些数据说明“拥有车辆”与“反对机动车单双号限行”是否相关时，用下列哪种方法最有说服力（）A.平均数B.方差C.独立性检验D.回归直线方程【答案】C【解析】【分析】根据在参加调查的2748名有车人中有1760名持反对意见，2652名无车人中有1400名持反对意见，求出的值判断.【详解】解：由在参加调查的2748名有车人中有1760名持反对意见，2652名无车人中有1400名持反对意见，得，所以有的把握认为“拥有车辆”与“反对机动车单双号限行”有关，故利用独立性检验方法最有说服力，故：C3.的展开式中的系数为（）A.15B.12C.6D.1 【答案】A【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式，确定出是第几项，进而确定出这一项的系数．【详解】展开式的通项公式为，令，解得，故展开式中的系数为.故选∶A4.在端午小长假期间，某办公室要从4名职员中选出若干人在3天假期坚守岗位，每天只需1人值班，则不同的排班方法有（）A.12种B.24种C.64种D.81种【答案】C【解析】【分析】分析每天排班方法数，再由分步计数原理求解即可【详解】根据题意，第一天值班可以安排4名职员中的任意1人，有4种排班方法，同理第二天和第三天也有4种排班方法，根据分步计数原理可知，不同的排班方法有种，故选：C5.设随机变量，若，则等于（）A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8【答案】D【解析】【分析】根据正态曲线的对称性可得，再根据概率的性质可得结果.【详解】因为正态曲线关于对称，且，所以，所以.故选：D【点睛】本题考查了正态曲线的对称性，考查了概率的性质，属于基础题.6.根据历年气象统计资料，某地4月份的任一天刮东风的概率为，下雨的概率为，既刮东风又下雨的概率为．则4月8日这一天，在刮东风的条件下下雨的概率为（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设事件表示吹东风，事件表示下雨，得到，，结合，即可求解．【详解】由题意，设事件表示吹东风，事件表示下雨，则，，，所以在吹东风的条件下下雨的概率为．故选：D．7.随机变量X的取值为0，1，2，若，，则（）A.B.C.D.1【答案】B【解析】【分析】设，，则由，，求出，，由此能求出．【详解】设，，由题意得，解得，，.故选：B8.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设，，为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为.若，，则的值可以是（）A.2020B.2021C.2022D.2023 【答案】B【解析】【分析】利用二项式定理化简得，展开可得被5除得的余数为1，由此可求出符合条件的的值.【详解】，被5除得的余数为1，选项中的数被5除得的余数为1的只有2021.故选：B二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.对于样本相关系数，下列说法正确的是（）A.的取值范围是B.越大，相关程度越弱C.越接近于0，成对样本数据的线性相关程度越强D.越接近于1，成对样本数据的线性相关程度越强【答案】AD【解析】【分析】根据已知条件，结合相关系数的定义，即可依次求解.【详解】对于样本相关系数，取值范围是，越大，越接近于1，成对样本数据的线性相关程度越强；越小，越接近于0，成对样本数据的线性相关程度越弱.故选：AD10.某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到，，三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（）A所有不同分派方案共种B.若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种C.若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到企业，则所有不同分派方案共12种D.若企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种 【答案】BCD【解析】【分析】求得所有不同分派方案数判断选项A；求得每家企业至少分派1名医生的所有不同分派方案数判断选项B；求得每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到企业的所有不同分派方案数判断选项C；求得企业最多派1名医生的所有不同分派方案数判断选项D【详解】选项A：所有不同分派方案共种.判断错误；选项B：若每家企业至少分派1名医生，先把4名医生分成3组（2人，1人，1人）再分配.则所有不同分派方案共（种）.判断正确；选项C：若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到企业，则企业可以只有医生甲，也可以有医生甲和另一名医生，则所有不同分派方案共（种）.判断正确；选项D：若企业最多派1名医生，则企业可以有1名医生和没有医生两种情况,则不同分派方案共（种）.判断正确.故选：BCD11.人民日报智慧媒体研究院在2020智慧媒体高峰论坛上发布重磅智能产品—人民日报创作大脑，在AI算法的驱动下，无论是图文编辑､视频编辑，还是素材制作，所有的优质内容创作都变得更加容易.已知某数据库有视频a个､图片b张，从中随机选出一个视频和一张图片，记“视频甲和图片乙入选”为事件A，“视频甲入选”为事件B，“图片乙入选”为事件C，则下列判断中正确的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式，结合选项，逐项判定，即可求解.【详解】由相互独立事件的概率的乘法计算公式，可得A错误，B正确；事件包含“视频甲未入选，图片乙入选”、“视频甲入选，图片乙未入选”、“视频甲､图片乙都未入选” 三种情况，所以，则，所以C正确；由题可知，，，因为a，，，所以，即，故D错误.故选:BC.12.第22届世界杯足球赛于2022年11月20日到12月18日在卡塔尔举行.世界杯足球赛的第一阶段是分组循环赛，每组四支队伍，每两支队伍比赛一场，比赛双方若有胜负，则胜方得3分，负方得0分；若战平，则双方各得1分.已知某小组甲､乙､丙､丁四支队伍小组赛结束后，甲队积7分，乙队积6分，丙队积4分，则（）A.甲､丁两队比赛，甲队胜B.丁队至少积1分C.乙､丙两队比赛，丙队负D.甲､丙两队比赛，双方战平【答案】ACD【解析】【分析】分析得到甲胜乙和丁，平丙，乙胜丙和丁，丙胜丁，平甲，丁全负，对比选项得到答案.【详解】甲队积7分，胜两场平一场；乙队积6分，胜两场负一场，负的一场一定是负给甲的，乙队胜了丙､丁两队，对.丙队积了4分，胜平负各一场，负是输给乙，当甲､丙平时，丙胜丁，甲胜丁；当丙､丁平时，丙胜甲,不可能.故甲丙平，甲胜丁，AD对，丁队全负，B错误.故选：ACD.三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）13.某市的有线电视可以接收中央台12个频道，本地台8个频道和其他省市40个频道的节目.若有3个频道正在转播同一个节目，其余频道正在播放互不相同的节目，则一台电视可以选看的不同节目共有______个.【答案】58【解析】【分析】直接计算即可.【详解】由题意可得该市的有线电视可接收12+8+40=60个频道，而其中3个频道播放1个节目，其余57个频道互不相同，则可选看57+1=58个节目.故答案为：58 14.已知回归方程，而试验中的一组数据是，，，则其残差平方和是______.【答案】0.03【解析】【分析】利用残差的定义求解，求得的残差平方后求和即可.【详解】残差，当时，，当时，，当时，，残差平方和为故答案为：0.03.15.某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手8人.若一、二、三级射手通过选拔进入比赛的概率分别是0.9，0.7，0.4.则任选一名射手通过选拔进入比赛的概率是______.【答案】0.62##【解析】【分析】分别求出选中一级射手．二级射手、三级射手并通过选拔进入比赛的概率，再求和即可【详解】射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手8人，若一、二、三级射手通过选拔进入比赛的概率分别是0.9，0.7，0.4.则任选一名射手能够通过选拔进入比赛概率.故答案为：0.6216.已知一袋中有标有号码1、2、3、4的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当四种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取6次卡片时停止的概率为______.【答案】【解析】【分析】恰好取6次卡片时停止，说明前5次出现了3种号码且第6次出现第4种号码.分两类，三种号码出现的次数分别为3,1,1或者2,2,1.每类中可以分步完成，先确定三种号码卡片出现顺序有种，再分别确定这三种号码卡片出现的位置(注意平均分组问题)，最后让第四种颜色出现有一种方法,相乘可得，最后根据古典概型求概率即可.【详解】由分步乘法计数原理知，每次从中取出一张，记下号码后放回，进行6次一共有种不同的取法.恰好取6次卡片时停止，说明前5次出现了3种号码且第6次出现第4 种号码，三种号码出现的次数分别为3,1,1或者2,2,1,三种号码分别出现3，1，1且6次时停止的取法有种，三种号码分别出现2，2，1且6次时停止的取法有种，由分类加法计数原理知恰好取6次卡片时停止，共有种取法，所以恰好取6次卡片时停止的概率为:，故答案为：【点睛】本题主要考查了概率的求法，计数原理等基础知识，考查了排列组合的应用，难点在于平均分组问题，属于难题.四、解答题（本题共5小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在的展开式中，前三项的二项式系数之和等于79.（1）求的值；（2）若展开式中的常数项为，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据二项式系数的定义及组合数计算即可；（2）设二项式的展开式通项，待定系数计算即可.【小问1详解】因为前三项的二项式系数之和等于79，所以，解得或.因，所以.【小问2详解】设的通项为，所以当时，，此时，常数项为，解得. 18.某校高二年级为研究学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从高二学生中抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：语文成绩合计优秀不优秀数学成绩优秀503080不优秀4080120合计90110200（1）根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？（2）在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”.请利用样本数据，估计的值.附：.0.050.010.0013.8416.63510.828【答案】（1）能（2）【解析】【分析】（1）计算出，与的临界值比较，得出结论；（2）根据条件概率的计算公式，利用样本数据，估计的值.【小问1详解】零假设为：数学成绩与语文成绩无关，据表中数据计算得， 根据的独立性检验，我们推断不成立，认为数学成绩与语文成绩有关.【小问2详解】表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”，利用样本数据，则有，，所以，则估计的值为.19.某种人脸识别方法，采用了视频分块聚类自动识别系统.规定：某区域内的个点的深度的均值为，标准差为，深度的点视为孤立点.下表给出某区域内8个点的数据：15.115.215.315.415.515.415.413.815.114.214.314.414.515.414.415.42012131516141218（1）根据以上数据，计算的值；（2）判断表中各点是否为孤立点.【答案】（1）（2）都不是【解析】【分析】（1）直接根据公式计算和即可；（2）计算出，，从而判断出各点不是孤立的点. 【小问1详解】，.【小问2详解】，，则，因为12，13，14，15，16，18，20均属于，所以各点都不是孤立点.20.在某次数学考试中，共有四道填空题，每道题5分.已知某同学对于前三道题，每道题答对的概率均为，答错的概率均为；对于第四道题，答对和答错的概率均为.（1）求该同学在本次考试中填空题得分不低于15分的概率；（2）设该同学在本次考试中，填空题的总得分为，求的分布列及均值.【答案】（1）（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）记该同学前三道题答对道为事件，第四道答对为事件，由求解；（2）由的取值可能为0，5，10，15，20，分别求得其概率，列出分布列，再求均值.【小问1详解】解：记该同学前三道题答对道为事件，第四道答对为事件，，，，∴. 【小问2详解】的取值可能为0，5，10，15，20，，，，，.则的分布列为：05101520.该同学填空题得分的均值是14.5分.21.在某次数学考试中，共有四道填空题，每道题5分.已知某同学对于前两道题，每道题答对的概率均为，答错的概率均为；对于第三道题，答对和答错的概率均为；对于最后一道题，答对的概率为，答错的概率为.（1）求该同学在本次考试中填空题得分不低于15分的概率；（2）设该同学在本次考试中，填空题的总得分为，求的分布列及均值.【答案】（1）（2）分布列见解析，12.5【解析】【分析】（1）根据互斥事件的概率加法公式和独立事件的概率乘法公式求解即可．（2）先写出X的所有可能取值，再求出相应的概率，列出分布列即可． 【小问1详解】记该同学前两道题答对道为事件，第三道答对为事件，第四道答对为事件，则.【小问2详解】的取值可能为0，5，10，15，20，，，，，，则的分布列为：05101520.该同学填空题得分的均值是12.5分.22.随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，2020年的考研人数是341万人，2021年考研人数是377万人.某中学数学兴趣小组统计了本省5所大学 2022年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），收集数据如下表所示.A大学B大学C大学D大学E大学2022年毕业人数（千人）765432022年考研人数（千人）2.52.31.81.91.5（1）利用最小二乘估计建立关于的线性回归方程；（2）该小组又利用上表数据建立了关于的线性回归方程，并把这两条拟合直线画在同一坐标系下，横坐标，纵坐标的意义与毕业人数和考研人数一致.请比较前者与后者的斜率与的大小.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接利用最小二乘法公式计算得，，继而得出，即可；（2）直接利用最小二乘法公式计算得，比较即可.【小问1详解】由题意得，，，又，∴，，所以关于的线性回归方程为. 【小问2详解】设前者和后者的斜率分别为，由，得，由（1）知，∴.23.随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，2020年的考研人数是341万人，2021年考研人数是377万人.某中学数学兴趣小组统计了本省15所大学2022年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），经计算得：，，，.（1）利用最小二乘估计建立关于的线性回归方程；（2）该小组又利用收集的数据建立了关于的线性回归方程，并把这两条拟合直线画在同一坐标系下，横坐标，纵坐标的意义与毕业人数和考研人数一致.①比较前者与后者的斜率与的大小；②求这两条直线公共点的坐标.附：关于的回归方程中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；相关系数：.【答案】（1）（2）①；② 【解析】【分析】（1）根据公式直接计算可得回归方程；（2）利用两个斜率与相关系数的关系可判断斜率大小关系，根据回归直线过样本中心可得公共点坐标.【小问1详解】，，，，故回归方程为.【小问2详解】设前者和后者的斜率分别为，，，即①显然有，故，即前者斜率小于后者.②注意到，两直线都过，且，故公共点仅有.