山西省太原市2022-2023学年高一数学下学期期中试题（Word版附解析）

2022~2023学年第二学期高一年级期中质量监测数学试卷说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间90分钟，满分100分.一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.复数的共轭复数为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据共轭复数的概念，即可得出答案.【详解】根据共轭复数的概念，可知复数的共轭复数为.故选：C.2.已知向量满足，，则（）A.6B.8C.10D.12【答案】B【解析】【分析】根据数量积的运算，展开即可得出答案.【详解】.故选：B3.已知复数，则下列说法正确的是（）A.的虚部为4B.复数在复平面内对应的点位于第三象限C.D.【答案】D【解析】【分析】求复数的代数形式，再由复数虚部的定义，复数的几何意义，复数的乘法运算，复数的模的运算公式依次判断各选项. 【详解】因为，则的虚部为2，A错误；复数z在复平面内对应的点为，在第二象限，B错误；，C错误；，D正确.故选：D.4.已知向量，，若，则与夹角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由已知结合数量积的运算律，可求得，代入求出的值，即可得出答案.【详解】由已知可得，，即.又，，所以有，解得，所以，所以，，所以，，，所以，.故选：B.5.已知一圆锥的母线长为，侧面积为，则该圆锥的高为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】计算出圆锥的底面半径，利用勾股定理可求得该圆锥的高.【详解】设该圆锥的底面半径为，高为，圆锥的侧面积为，解得，因此，该圆锥的高为.故选：A.6.在四边形中，若，且，则该四边形是（）A.正方形B.菱形C.矩形D.等腰梯形【答案】C【解析】【分析】由结合平面向量数量积可得出，再结合可得出结论.【详解】因为，则，即，整理可得，易知、均为非零向量，则，因为，则且，所以，四边形为矩形.故选：C.7.在边长为2的正方形中，点为边上的动点，点为边上的动点，且，则的最小值为（）A.6B.5C.4D.3【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐标系，写出的坐标，求出数量积，即可得出答案.【详解】如图，建立平面直角坐标系，则，设，， 则，所以，，所以，，，所以，，所以当时，有最小值.故选：D.8.已知的面积为，，，则（）A.B.C.D.2【答案】A【解析】【分析】根据面积公式可求得.由余弦定理即可求出.根据正弦定理，即可推得.【详解】由可得，，所以.由余弦定理可得，，所以由正弦定理可得，故选：A.二、多选题（本题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（）A.三角形的直观图是三角形B.平行四边形的直观图是平行四边形C.正方形的直观图是正方形D.菱形的直观图是菱形【答案】AB 【解析】【分析】根据斜二测直观图的画法规则，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】由斜二测直观图的画法规则，平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变，可知三角形的直观图还是三角形，故A正确；平行四边形的直观图仍然是平行四边形，故B正确；正方形和菱形的直观图是平行四边形，故CD错误；故选：AB.10.已知复数、，则下列结论正确的是（）A.B.若，则C.若，则、中至少有个是D.若且，则【答案】ACD【解析】【分析】利用复数的模长公式可判断A选项；利用虚数不能比较大小可判断B选项；利用复数的三角形式的代数运算结合反证法可判断C选项；利用复数的运算性质结合C选项可判断D选项.【详解】设，，对于A选项，，所以，，因为，则，所以，，A对；对于B选项，若、中至少有一个为虚数，则、不能比较大小，B错； 对于C选项，若，假设、均不为零，则，，则存在、，使得，，则，因为，则、不可能同时为零，所以，，故假设不成立，所以，、中至少有一个为零，C对；对于D选项，，则，因为，则，由C选项可知，，即，D对.故选：ACD.11.在直角坐标系xOy中，已知点，则（）A.若，则B.若点P在BC上，则C.若，则D.若在方向上的投影向量是，则【答案】AC【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示计算可判断AB；由向量相等建立方程组求得，可判断C；先求得投影和与同向的单位向量，然后由投影向量列方程，变形可判断D.【详解】由题知，所以A中，因为，所以，即，A正确；B中，，因为点P在BC上，所以，所以，即，B错误；C中， 因为所以即，解得，所以，C正确；D中，与同向的单位向量为在上的投影所以所以，即，D错误.故选：AC12.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成，体现了数学的对称美.如图，二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体截去八个一样的四面体得到的，若它的所有棱长都为，则（）A.被截正方体的棱长为2B.被截去的一个四面体的体积为C.该二十四等边体的体积为D.该二十四等边体外接球的表面积为【答案】ACD【解析】【分析】由已知可推得，二十四等边体的各个顶点均为正方体各个棱的中点，即可得出A项；根据A项，可知四面体是三条侧棱两两垂直，即可得出三棱锥的体积，判断B项；根据B项的结果，以及正方体的体积公式，即可得出C项；设球心为，连结，取中点为，连结 ，构造，根据勾股定理，即可求出，即外接球的半径为，即可求出表面积得出D项.【详解】对于A项，由已知可推得，二十四等边体的各个顶点均为正方体各个棱的中点，如图1，则，所以，故A项正确；对于B项，如图1，由A知，四面体是三条侧棱两两垂直，且长度为的三棱锥，所以，故B项错误；对于C项，正方体的体积为，所以该二十四等边体的体积为，故C项正确；对于D项，如图2，设球心为，显然是正方体的中心，连结，取中点为，连结，因为分别是的中点，所以.又，，所以，在中，有，所以，所以，该二十四等边体外接球的半径，表面积为，故D项正确. 故选：ACD.三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分，把答案写在题中横线上）13.设复数满足，则__________.【答案】##【解析】【分析】利用复数的除法化简可得复数.【详解】因为，则.故答案为：.14.如图所示的图案，是由圆柱、球和圆锥组成，已知球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面，则图案中圆锥、球、圆柱的体积__________.【答案】【解析】【分析】由已知可设底面圆的半径为，进而由已知得出圆锥、球、圆柱的体积，即可得出答案.【详解】设底面圆的半径为，则圆柱的高为，球的半径为，所以，圆锥的体积，，，所以，图案中圆锥、球、圆柱的体积.故答案为：.15.如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是，则河流的宽度等于______. 【答案】【解析】【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案．【详解】由图可知，在中，在中，河流的宽度BC等于故答案为：.【点睛】本题给出实际应用问题，求河流在B,C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．16.已知向量，，且，则的取值范围是__________.【答案】 【解析】【分析】由题意设，，，由把用表示，由得出满足的关系式，用换元法，设，，这样可得用表示，从而可得其范围．【详解】设，，，则，由得，，，由得，设，，由，因，所以．故答案为：．四、解答题（本题共5小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知复数，且为纯虚数.（1）求实数的值； （2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求得的共轭复数，代入中，化简求得对应的实部与虚部，再由纯虚数的定义即可求得实数的值；（2）将代入中化简，求得复数的标准形式，及对应的点，再由第二象限点的特点，即可求得实数的取值范围.【小问1详解】因为，，又为纯虚数，，解得.【小问2详解】，因为复数所对应的点在第二象限，所以，解得，所以的取值范围是.18.如图，在中，已知，BC，AC边上的中线AM，BN相交于点P．设 ．（1）用表示；（2）求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据向量代数运算即可求解；（2）先证明点P为的重心，则，根据向量模求解公式即可求解．【小问1详解】；【小问2详解】因为AM，BN分别为BC，AC边上的中线所以点P为的重心，则由于所以，．19.如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，. （1）画出平面四边形的平面图，并计算其面积；（2）若该四边形以为轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积和表面积.【答案】（1）平面图见解析，面积为（2）几何体的体积为，表面积为【解析】【分析】（1）设与交点为，在中，求出，，即可得出答案；（2）先求出，.然后根据题意可推得旋转形成的几何体为圆柱挖去一个同底的圆锥，与一个同底的圆锥构成的组合体.进而根据组合体的构成，结合圆柱、圆锥的体积公式、表面积公式，即可得出答案.【小问1详解】如图1，设与交点为，因为，，所以，.的平面图如图2所示：则，.【小问2详解】 由（1）可得，在中，有，所以，，所以.如图3，分别过点作及其延长线的垂线，垂足为.矩形绕及其延长线，旋转一周得到一个底面半径，母线的圆柱；绕，旋转一周得到一个底面半径，母线，高的圆锥；绕及其延长线，旋转一周得到一个底面半径，母线，高的圆锥.所以，旋转形成的几何体为圆柱挖去一个同底的圆锥，与一个同底的圆锥构成的组合体.则旋转形成的几何体的体积即等于圆柱的体积，减去挖去的圆锥体积，加上组合的圆锥的体积，所以，旋转形成的几何体的体积.旋转形成的几何体的表面积即等于圆柱的侧面积，加上两个圆锥的侧面积之和，所以.20.的内角、、的对边分别为、、，已知向量与向量共线.（1）求；（2）若的面积为，，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量共线的坐标表示以及正弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角 的值；（2）由三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，再利用正弦定可求得的值.【小问1详解】解：在中，，向量与向量共线，，由正弦定理可得，，、，则，，.【小问2详解】解：由三角形的面积公式可得，得，由余弦定理，故，由正弦定理，得，所以.21.内角的对边分别为，已知向量与向量共线.（1）求；（2）若的面积为，求周长的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由向量共线的坐标运算可得，再根据正弦定理化简即可得出答案；（2）根据的面积公式可得，再根据余弦定理以及基本不等式化简即可得出结论.【小问1详解】在中，，向量与向量共线，， 由正弦定理可得，，又，所以【小问2详解】因为，所以，由余弦定理得：，所以，所以.所以周长的取值范围是.22.如图所示，是一块三角形空地，其中，，.当地政府计划将这块空地改造成一个休闲娱乐场所，拟在中间挖一个人工湖，其中、在边上，且，挖出的泥土堆放在地带形成假山，剩下的地带建成活动场所.（1）当时，求的长度；（2）若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地面积的倍，试确定的大小.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出，然后在中利用余弦定理可求得的长；（2）设，由可求出，然后在中，利用正弦定理结合三角恒等变换求出的值，求出的取值范围，可求得的值，即为所求. 【小问1详解】解：在中，因为，，，则，所以，在中，，，，由余弦定理得.【小问2详解】解：设，因为，所以，即，在中，由正弦定理，得，所以，即，由，得，所以，即.23.如图所示，是一块三角形空地，其中，，.当地政府规划将这块空地改造成一个休闲娱乐场所，拟在中间挖一个人工湖，其中在边上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带建成活动场所.（1）若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地面积的倍，试确定的大小；（2）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？【答案】（1） （2）时，的面积取得最小值，最小值为【解析】【分析】（1）由已知可推得.设，根据已知，推得.在中，由正弦定理得，即可得出，根据的范围，即可得出答案；（2）在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得.即可得出，根据的范围，即可得出答案.【小问1详解】在中，因为，，，所以.因为，所以.设，因为，所以，即.又，所以.在中，由正弦定理可得，，即.所以，整理可得.由，得，所以，即.【小问2详解】由（1）知， 所以，则.在中，由正弦定理可得，即，所以.在中，有，，，所以.由正弦定理可得，，整理可得，.因为，所以.因为，所以，所以当，即时，的面积取得最小值，此时最小值为.