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山西省太原市2022-2023学年高二数学上学期期末试题(Word版附解析)

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2022~2023学年第一学期高二年级期末考试数学试卷一、选择题(本题共8小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知等差数列中,,公差,则等于()A.B.C.24D.27【答案】B【解析】【分析】直接根据等差数列通项即可得到,代入计算即可.【详解】由题意得,故选:B.2.抛物线的焦点坐标为()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据抛物线方程直接求出焦点坐标作答.【详解】抛物线的焦点在x轴上,其坐标为.故选:D3.已知某物体在平面上作变速直线运动,且位移(单位:米)与时间(单位:秒)之间的关系可用函数:表示,则该物体在秒时的瞬时速度为()A.米/秒B.米/秒C.米/秒D.米秒【答案】A【解析】【分析】直接对位移关于时间的函数求导,代入即可.【详解】由题得,当时,,故瞬时速度为米/秒,故选;A. 4.设是等比数列,且,则()A.8B.12C.16D.24【答案】C【解析】【分析】由等比数列的性质求得,再代入中即可求得的值.【详解】,.故选:C.5.有一条渐近线为且过点的双曲线的标准方程为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据给定的渐近线方程,设出双曲线方程,再将已知点代入计算作答.【详解】依题意,双曲线的渐近线方程为,设所求双曲线的方程为,因此,即有,所以所求双曲线的标准方程为.故选:B6.已知数列为等比数列,且,设等差数列的前项和为,若,则()A.7B.14C.D. 【答案】B【解析】【分析】利用等比数列的性质求出,再利用等差数列性质及前n项和求解作答.【详解】等比数列中,,而,解得,即,等差数列中,.故选:B7.已知曲线,直线分别是曲线与直线上的动点,则的最小值为()A.1B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件,利用点到直线的距离公式求出曲线上点到直线距离最小值作答.【详解】依题意,设曲线上点,而点在直线上,由消去x得,,即直线与曲线相离,则,当且仅当,即,且时取等号,所以的最小值为.故选:D8.已知函数,若有三个不等零点,则实数的取值范围是()A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】函数有三个不等零点转化为方程有三个不等实根.分两种情况讨论:当时,,令,结合的单调性讨论根的情况;当时,得,当时,显然方程无实根;当时,,令,利用导数研究函数的性质,作出函数图象,数形结合得答案.【详解】由有三个不等零点,等价于有三个不等实根,当时,,由,得,即,令,当时,单调递增,故,故当时,方程无实根;当时,方程在上有一实根.当时,,由,得当时,显然方程无实根;当时,,令,,当时,,单调递增;当时,,单调递减;即当时,函数取得极大值;;当时,;当时,, 作出函数的图象如图,要使有三个不等实根,需满足:在上有一实根,在上有两个实根.由图可知与的图象有两个交点时,,即,综上,,即实数的取值范围是.故选:C.二、多选题(本题共4小题,每小题3分,共12分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得3分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.已知数列,满足为的前项和,且,则()A.数列为等差数列B.C.D.或时,取得最大值【答案】ACD【解析】【分析】对A,等式移项即可判断,对B,根据等差数列下标和性质求出,则可求出,则得到其通项,对C,直接利用等差数列前项和公式即可判断,对D,利用二次函数性质即可判断.【详解】对A,,则数列为等差数列,故A正确, 对B,,则,则,则,则,则,故B错误,对C,,则,故C正确,对D,,开口向下,对称轴为,,故当或时,取得最大值,故D正确,故选:ACD.10.已知点为抛物线上一点,为抛物线的焦点,则下列结论正确的是()A.点的坐标为B.点到准线的最小距离为1C.若点到焦点的距离为5,则点的纵坐标是4D.若点的坐标为,则的最小值为5【答案】BD【解析】【分析】根据给定的抛物线,求出焦点坐标、准线方程判断AB;利用抛物线定义求出点P的横坐标判断C;利用抛物线定义结合几何图形推理计算判断D作答.【详解】设抛物线上点,,而抛物线的焦点,准线的方程,A错误;对于B,点P到准线距离为,当且仅当时取等号,即点到准线的最小距离为1,B正确;对于C,点到焦点的距离为5,即,解得,则,解得,C错误;对于D,如图,作,垂足分别为,交抛物线于点,连接, 则,当且仅当点重合时取等号,所以,D正确.故选:BD11.已知函数,下列说法正确的是()A.有两个极值点B.的极大值点为C.的极小值为D.的最大值为【答案】AB【解析】【分析】求出函数的导数,再利用导数求出函数的极值判断ABC,取特值判断D作答.【详解】函数定义域为R,求导得,由得:或,由得:,因此函数在上单调递增,在上单调递减,于是函数在处取极大值,在处取极小值,C错误;函数有两个极值点,且是的极大值点,A正确,B正确;显然,D错误 故选:AB12.已知双曲线为双曲线的左、右焦点,若直线过点,且与双曲线的右支交于两点,下列说法正确的是()A.双曲线离心率为B.若的斜率为2,则的中点为C.周长的最小值为10D.周长的最小值为16【答案】BD【解析】【分析】对A直接计算离心率即可判断,对B,直接得到直线方程,并联立曲线方程,利用韦达定理即可求出的中点坐标即可判断,对C和D,利用双曲线定义将三角形周长用弦长,则题目转化为求的最值,设线联立方程,再利用弦长公式即可得到答案.【详解】对A,由双曲线方程得,故,则离心率,故A错误,对B,由方程知,则直线的方程为,联立双曲线方程化简得,设,则,故,而,则,故的中点为,故B正确,对C和D,根据双曲线定义得,两式相加得, 设的周长为,故,则题目求周长的最小值转化为求弦长的最小值,设直线的方程为,联立双曲线方程得,根据直线与双曲线有两个交点,则,即,,当直线与渐近线平行时,此时,若要直线与双曲线交点在右支上,则,,设,则 令,则,则当,即时,,此时直线方程为,故的周长的最小值为16,故C错误,D正确,故选:BD【点睛】关键点点睛:本题对C,D选项的判断,首先要灵活运用双曲线定义从而得到,然后题目即转化为经典的弦长最值问题,常用的方法是设线法,联立双曲线方程,得到韦达定理式,再利用弦长公式表示出,设直线时因为直线所过定点在轴上,故为了简便运算引入参数,同时要注意双曲线较椭圆更为复杂,尤其是直线与渐近线平行时的特殊情况.三、填空题(本题共4小题,每小题4分,共16分)13.抛物线的准线方程是_______【答案】【解析】【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及,再直接代入即可求出其准线方程.【详解】因为抛物线的标准方程为,焦点在y轴上,所以:,即,所以,所以准线方程为:,故答案是:.【点睛】该题考查的是有关抛物线的几何性质,涉及到的知识点是已知抛物线的标准方程求其准线方程,属于简单题目.14.曲线在点处的切线方程为__________.【答案】 【解析】【分析】求出函数的导数及在处的导数值,再利用导数的几何意义求出切线方程作答.【详解】依题意,,,所以曲线在点处的切线方程为,即.故答案为:15.一个正方形被等分成九个相等的小正方形,将最中间的一个正方形挖掉,得图①;再将剩下的每个正方形都分成九个相等的小正方形,并将其最中间的一个正方形挖掉,得图②;如此继续下去,则图③中共挖掉了__________个正方形,请写出每次挖掉的正方形个数所构成的数列的一个递推公式__________.【答案】①.②.【解析】【分析】根据图形得出图③中共挖掉了多少个,与每次挖掉的正方形个数所构成的数列的通项,即可根据等比数列的定义得出递推公式.【详解】图③中共挖掉了个,设每次挖掉的正方形个数为,根据图形得,,,,则,则递推式为.故答案为:;.16.已知,若对于任意的,不等式恒成立,则 的最小值为__________.【答案】##【解析】【分析】先利用同构法将题设不等式转化为,再构造函数,利用导数与函数单调性的关系得到,从而将问题转化为,再次构造函数求得最值即可得解.【详解】因为,所以可化为,令,则,所以在上递增,因为,,所以,,,所以可化为,则,即在上恒成立,即,令,则,令,则;令,则;所以在上单调递增,在上单调递减,所以,所以,即的最小值为.故答案为:.【点睛】关键点睛:本题的突破口是利用同构法将题设不等式转化为 ,从而构造函数得到,由此得解.四、解答题(本题共5小题,共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知函数.(1)求函数的单调区间;(2)求在上的值域.【答案】(1)函数在上单调递增,在上单调递减;(2)【解析】【分析】(1)根据导数的正负得出其单调性;(2)根据第一问的函数单调性得出其值域.【小问1详解】函数,则,当时,,当,,故函数在上单调递增,在上单调递减;【小问2详解】由(1)可得函数在上单调递增,在上单调递减,且,,则在上的最大值,最小值,故在上的值域为.18.已知各项为正的等比数列满足,设的前项和为,且.(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和. 【答案】(1),(2)【解析】【分析】(1)由题得,解出则可得到通项,降次作差可得,再检验值即可;(2),利用乘公比错位相减法即可得到.【小问1详解】因为为各项为正的等比数列,设公比为q,,即,解得,所以.当时,,当时,,适合上式,所以【小问2详解】设的前项和为,则,,两式相减,得则.19.已知抛物线为坐标原点,过抛物线焦点的直线交抛物线于两点. (1)若直线的斜率为1,求;(2)若与的面积之差的绝对值为,求直线的方程.【答案】(1)(2)或【解析】【分析】(1)先根据题意得到直线的方程,再联立抛物线方程得到的值,从而利用弦长公式即可得解;(2)假设直线为,联立抛物线方程得到的值,再分别求得与的面积关于的表达式,进而得到关于的方程,解之即可得解.【小问1详解】依题意,设,因为抛物线的焦点为,又直线的斜率为1,所以直线方程为,联立,消去,得,则,所以.【小问2详解】易知直线斜率为时,与抛物线只有一个交点,不合题意;设直线方程为,联立,消去,得,则, 因为,,所以,解得,所以直线的方程为或,即或.说明:请同学们在(A)、(B)两个小题中任选一题作答.20.已知双曲线的左、右焦点分别为,离心率为,是上一点.(1)求双曲线的方程;(2)若直线过原点,且与双曲线交于两点,为双曲线上一点(不同于).求直线与直线的斜率之积.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)先由双曲线的离心率求得,再利用点代入求得,从而得解;(2)根据题意设出的坐标,再利用点差法即可求得,由此得解.【小问1详解】因为,所以,即,所以,所以双曲线,因为是双曲线上一点,所以,解得,则所以双曲线的方程为.【小问2详解】 依题意,设,因为直线过原点,且与双曲线交于两点,所以由双曲线的对称性可得关于原点对称,则,所以,,因为为双曲线上的点,所以,两式相减得,所以.所以直线与直线的斜率之积为.21.已知双曲线的左、右焦点分别为,离心率为,是上一点.(1)求双曲线的方程;(2)直线过点,与双曲线的右支交于两点,点与点关于轴对称,求证:两点所在直线过点.【答案】(1);(2)证明负了解析.【解析】【分析】(1)根据双曲线离心率可得,再将给定点代入计算作答.(2)设出直线的方程,与双曲线方程联立,利用韦达定理结合向量共线的坐标表示推理作答.【小问1详解】双曲线的离心率,则,即, 又点在上,即,解得,所以双曲线的方程为.【小问2详解】显然直线不垂直于坐标轴,设直线的方程为:,由(1)知,双曲线渐近线,而直线l与双曲线右支交于两点,则,即,由消去x并整理得:,,则,设,则,于是,则,而,有,因此,即,而有公共点,从而三点共线,所以两点所在直线过点.【点睛】思路点睛:圆锥曲线中动直线过已知定点问题,根据条件求出动直线与圆锥曲线的两个交点的坐标关系,再借助共线向量的坐标表示推理解决.说明:请同学们在(A)、(B)两个小题中任选一题作答.22.已知函数.(1)讨论函数在上单调性;(2)若有两个极值点,求的取值范围.【答案】(1)见解析(2) 【解析】【分析】(1),分和讨论即可;(2),题目转化为有两个零点,利用分离参数法得,设,利用导数研究得图像即可得到答案.【小问1详解】,,当,则若,则在上单调递增;若,令,即,则在上单调递增.令,解得,则在上单调递减,综上,当时,在上单调递增,当时,在上单调递增,在上单调递减.【小问2详解】,,因为有两个极值点,所以有两个零点,显然,1不是的零点,由,得.即直线与有两个交点,,令,令,解得,且当时,,当时, 所以在上单调递增,在上单调递减,而,故,所以在,和上单调递减,又在上,趋近于0时,趋近于正无穷,趋近于1时,趋近于负无穷,故函数在之间存在唯一零点,在上,趋近于1时,趋近于正无穷,趋近于正无穷时,趋近于0.作出图形如下图所示:所以.【点睛】关键点睛:本题第二问的关键在于等价转化为导函数在定义域上有两零点,然后利用分离参数法,得到,转化为直线与有两个交点,研究的图象,数形结合即可得到的范围.23.(B)已知函数.(1)讨论函数在上的单调性;(2)若有两个极值点,且,求证:.(参考数据:) 【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【解析】【分析】(1)先对求导,再分类讨论与,结合导数与函数单调性的关系即可得解;(2)先将问题转化为的图像与的图像有两个交点,从而利用导数研究的图像得到;再利用极值点偏移,构造函数证得,由此得证.【小问1详解】因为,所以,因为,所以,当时,即时,,则在上单调递增;当,即时,,,令,得;令,得,则在上单调递减,在上单调递增;综上:当时,在上单调递增;当时,在上单调递减,在上单调递增.【小问2详解】因为,所以,因为有两个极值点,所以有两个零点,即方程有两个根,令,则的图像与的图像有两个交点, 又,令,得;令,得;所以在上单调递增,在上单调递减,则,又当时,,则;当时,,则;当趋于无穷大时,的增长速率远远小于的增长速率,所以趋于,由此作出的图像如下:所以,则,又,则,故,因为,令,则,令,则,,令,则,令,则,所以在上单调递增,则,即,所以在上单调递增,则, 故当时,,,则,所以在上单调递增,又,则,即,所以,故,即,又,所以.【点睛】方法点睛:导函数中常用的两种常用的转化方法:一是利用导数研究含参函数的单调性,常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用;二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2023-04-10 09:12:02 页数:23
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文章作者:随遇而安

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