山西省太原市2022-2023学年高二数学上学期期末试题（Word版附解析）

2022~2023学年第一学期高二年级期末考试数学试卷一､选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知等差数列中，，公差，则等于（）A.B.C.24D.27【答案】B【解析】【分析】直接根据等差数列通项即可得到，代入计算即可.【详解】由题意得，故选：B.2.抛物线的焦点坐标为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据抛物线方程直接求出焦点坐标作答.【详解】抛物线的焦点在x轴上，其坐标为.故选：D3.已知某物体在平面上作变速直线运动，且位移（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系可用函数：表示，则该物体在秒时的瞬时速度为（）A.米/秒B.米/秒C.米/秒D.米秒【答案】A【解析】【分析】直接对位移关于时间的函数求导，代入即可.【详解】由题得，当时，，故瞬时速度为米/秒，故选；A. 4.设是等比数列，且，则（）A.8B.12C.16D.24【答案】C【解析】【分析】由等比数列的性质求得，再代入中即可求得的值.【详解】,.故选：C.5.有一条渐近线为且过点的双曲线的标准方程为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据给定的渐近线方程，设出双曲线方程，再将已知点代入计算作答.【详解】依题意，双曲线的渐近线方程为，设所求双曲线的方程为，因此，即有，所以所求双曲线的标准方程为.故选：B6.已知数列为等比数列，且，设等差数列的前项和为，若，则（）A.7B.14C.D. 【答案】B【解析】【分析】利用等比数列的性质求出，再利用等差数列性质及前n项和求解作答.【详解】等比数列中，，而，解得，即，等差数列中，.故选：B7.已知曲线，直线分别是曲线与直线上的动点，则的最小值为（）A.1B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用点到直线的距离公式求出曲线上点到直线距离最小值作答.【详解】依题意，设曲线上点，而点在直线上，由消去x得，，即直线与曲线相离，则，当且仅当，即，且时取等号，所以的最小值为.故选：D8.已知函数，若有三个不等零点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】函数有三个不等零点转化为方程有三个不等实根.分两种情况讨论：当时，，令，结合的单调性讨论根的情况；当时，得，当时，显然方程无实根；当时，，令，利用导数研究函数的性质，作出函数图象，数形结合得答案．【详解】由有三个不等零点，等价于有三个不等实根，当时，，由，得，即，令，当时，单调递增，故，故当时，方程无实根；当时，方程在上有一实根．当时，，由，得当时，显然方程无实根；当时，，令，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；即当时，函数取得极大值；；当时，；当时，， 作出函数的图象如图，要使有三个不等实根，需满足：在上有一实根，在上有两个实根．由图可知与的图象有两个交点时，，即，综上，，即实数的取值范围是．故选：C.二､多选题（本题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知数列，满足为的前项和，且，则（）A.数列为等差数列B.C.D.或时，取得最大值【答案】ACD【解析】【分析】对A，等式移项即可判断，对B，根据等差数列下标和性质求出，则可求出，则得到其通项，对C，直接利用等差数列前项和公式即可判断，对D，利用二次函数性质即可判断.【详解】对A，，则数列为等差数列，故A正确， 对B，，则，则，则，则，则，故B错误，对C，，则，故C正确，对D，，开口向下，对称轴为，，故当或时,取得最大值，故D正确，故选：ACD.10.已知点为抛物线上一点，为抛物线的焦点，则下列结论正确的是（）A.点的坐标为B.点到准线的最小距离为1C.若点到焦点的距离为5，则点的纵坐标是4D.若点的坐标为，则的最小值为5【答案】BD【解析】【分析】根据给定的抛物线，求出焦点坐标、准线方程判断AB；利用抛物线定义求出点P的横坐标判断C；利用抛物线定义结合几何图形推理计算判断D作答.【详解】设抛物线上点，，而抛物线的焦点，准线的方程，A错误；对于B，点P到准线距离为，当且仅当时取等号，即点到准线的最小距离为1，B正确；对于C，点到焦点的距离为5，即，解得，则，解得，C错误；对于D，如图，作，垂足分别为，交抛物线于点，连接， 则，当且仅当点重合时取等号，所以，D正确.故选：BD11.已知函数，下列说法正确的是（）A.有两个极值点B.的极大值点为C.的极小值为D.的最大值为【答案】AB【解析】【分析】求出函数的导数，再利用导数求出函数的极值判断ABC，取特值判断D作答.【详解】函数定义域为R，求导得，由得：或，由得：，因此函数在上单调递增，在上单调递减，于是函数在处取极大值，在处取极小值，C错误；函数有两个极值点，且是的极大值点，A正确，B正确；显然，D错误 故选：AB12.已知双曲线为双曲线的左､右焦点，若直线过点，且与双曲线的右支交于两点，下列说法正确的是（）A.双曲线离心率为B.若的斜率为2，则的中点为C.周长的最小值为10D.周长的最小值为16【答案】BD【解析】【分析】对A直接计算离心率即可判断，对B，直接得到直线方程，并联立曲线方程，利用韦达定理即可求出的中点坐标即可判断，对C和D，利用双曲线定义将三角形周长用弦长，则题目转化为求的最值，设线联立方程，再利用弦长公式即可得到答案.【详解】对A，由双曲线方程得，故，则离心率，故A错误，对B，由方程知，则直线的方程为，联立双曲线方程化简得，设,则，故，而，则，故的中点为，故B正确，对C和D，根据双曲线定义得，两式相加得， 设的周长为，故，则题目求周长的最小值转化为求弦长的最小值，设直线的方程为，联立双曲线方程得，根据直线与双曲线有两个交点,则，即，，当直线与渐近线平行时，此时，若要直线与双曲线交点在右支上，则，，设，则 令，则，则当，即时，，此时直线方程为，故的周长的最小值为16，故C错误，D正确，故选：BD【点睛】关键点点睛：本题对C,D选项的判断，首先要灵活运用双曲线定义从而得到，然后题目即转化为经典的弦长最值问题，常用的方法是设线法，联立双曲线方程，得到韦达定理式，再利用弦长公式表示出，设直线时因为直线所过定点在轴上，故为了简便运算引入参数，同时要注意双曲线较椭圆更为复杂，尤其是直线与渐近线平行时的特殊情况.三､填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）13.抛物线的准线方程是_______【答案】【解析】【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及，再直接代入即可求出其准线方程.【详解】因为抛物线的标准方程为，焦点在y轴上，所以：，即，所以，所以准线方程为：，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关抛物线的几何性质，涉及到的知识点是已知抛物线的标准方程求其准线方程，属于简单题目.14.曲线在点处的切线方程为__________.【答案】 【解析】【分析】求出函数的导数及在处的导数值，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.【详解】依题意，，，所以曲线在点处的切线方程为，即.故答案为：15.一个正方形被等分成九个相等的小正方形，将最中间的一个正方形挖掉，得图①；再将剩下的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将其最中间的一个正方形挖掉，得图②；如此继续下去，则图③中共挖掉了__________个正方形，请写出每次挖掉的正方形个数所构成的数列的一个递推公式__________.【答案】①.②.【解析】【分析】根据图形得出图③中共挖掉了多少个，与每次挖掉的正方形个数所构成的数列的通项，即可根据等比数列的定义得出递推公式.【详解】图③中共挖掉了个，设每次挖掉的正方形个数为，根据图形得，，，，则，则递推式为.故答案为：；.16.已知，若对于任意的，不等式恒成立，则 的最小值为__________.【答案】##【解析】【分析】先利用同构法将题设不等式转化为，再构造函数，利用导数与函数单调性的关系得到，从而将问题转化为，再次构造函数求得最值即可得解.【详解】因为，所以可化为，令，则，所以在上递增，因为，，所以，，，所以可化为，则，即在上恒成立，即，令，则，令，则；令，则；所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题的突破口是利用同构法将题设不等式转化为 ，从而构造函数得到，由此得解.四､解答题（本题共5小题，共48分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）求在上的值域.【答案】（1）函数在上单调递增，在上单调递减；（2）【解析】【分析】（1）根据导数的正负得出其单调性；（2）根据第一问的函数单调性得出其值域.【小问1详解】函数，则，当时，，当，，故函数在上单调递增，在上单调递减；【小问2详解】由（1）可得函数在上单调递增，在上单调递减，且，，则在上的最大值，最小值，故在上的值域为.18.已知各项为正的等比数列满足，设的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和. 【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由题得，解出则可得到通项，降次作差可得，再检验值即可；（2），利用乘公比错位相减法即可得到.【小问1详解】因为为各项为正的等比数列，设公比为q,,即，解得，所以.当时,,当时,，适合上式，所以【小问2详解】设的前项和为,则，，两式相减，得则.19.已知抛物线为坐标原点，过抛物线焦点的直线交抛物线于两点. （1）若直线的斜率为1，求；（2）若与的面积之差的绝对值为，求直线的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）先根据题意得到直线的方程，再联立抛物线方程得到的值，从而利用弦长公式即可得解；（2）假设直线为，联立抛物线方程得到的值，再分别求得与的面积关于的表达式，进而得到关于的方程，解之即可得解.【小问1详解】依题意，设，因为抛物线的焦点为，又直线的斜率为1，所以直线方程为，联立，消去，得，则，所以.【小问2详解】易知直线斜率为时，与抛物线只有一个交点，不合题意；设直线方程为，联立，消去，得，则， 因为，，所以，解得，所以直线的方程为或，即或.说明：请同学们在（A）､（B）两个小题中任选一题作答.20.已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为，是上一点.（1）求双曲线的方程；（2）若直线过原点，且与双曲线交于两点，为双曲线上一点（不同于）.求直线与直线的斜率之积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先由双曲线的离心率求得，再利用点代入求得，从而得解；（2）根据题意设出的坐标，再利用点差法即可求得，由此得解.【小问1详解】因为，所以，即，所以，所以双曲线，因为是双曲线上一点，所以，解得，则所以双曲线的方程为.【小问2详解】 依题意，设，因为直线过原点，且与双曲线交于两点，所以由双曲线的对称性可得关于原点对称，则，所以，，因为为双曲线上的点，所以，两式相减得，所以.所以直线与直线的斜率之积为.21.已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为，是上一点.（1）求双曲线的方程；（2）直线过点，与双曲线的右支交于两点，点与点关于轴对称，求证：两点所在直线过点.【答案】（1）；（2）证明负了解析.【解析】【分析】（1）根据双曲线离心率可得，再将给定点代入计算作答.（2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理结合向量共线的坐标表示推理作答.【小问1详解】双曲线的离心率，则，即， 又点在上，即，解得，所以双曲线的方程为.【小问2详解】显然直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为：，由（1）知，双曲线渐近线，而直线l与双曲线右支交于两点，则，即，由消去x并整理得：，，则，设，则，于是，则，而，有，因此，即，而有公共点，从而三点共线，所以两点所在直线过点.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中动直线过已知定点问题，根据条件求出动直线与圆锥曲线的两个交点的坐标关系，再借助共线向量的坐标表示推理解决.说明：请同学们在（A）､（B）两个小题中任选一题作答.22.已知函数.（1）讨论函数在上单调性；（2）若有两个极值点，求的取值范围.【答案】（1）见解析（2） 【解析】【分析】（1），分和讨论即可；（2），题目转化为有两个零点，利用分离参数法得，设，利用导数研究得图像即可得到答案.【小问1详解】，，当，则若,则在上单调递增；若,令，即，则在上单调递增.令，解得，则在上单调递减，综上，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减.【小问2详解】，，因为有两个极值点,所以有两个零点,显然,1不是的零点，由,得.即直线与有两个交点，，令,令，解得，且当时，，当时， 所以在上单调递增,在上单调递减,而,故,所以在,和上单调递减，又在上,趋近于0时,趋近于正无穷，趋近于1时,趋近于负无穷，故函数在之间存在唯一零点，在上,趋近于1时,趋近于正无穷，趋近于正无穷时,趋近于0.作出图形如下图所示：所以.【点睛】关键点睛：本题第二问的关键在于等价转化为导函数在定义域上有两零点，然后利用分离参数法，得到，转化为直线与有两个交点，研究的图象，数形结合即可得到的范围.23.（B）已知函数.（1）讨论函数在上的单调性；（2）若有两个极值点，且，求证：.（参考数据：） 【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先对求导，再分类讨论与，结合导数与函数单调性的关系即可得解；（2）先将问题转化为的图像与的图像有两个交点，从而利用导数研究的图像得到；再利用极值点偏移，构造函数证得，由此得证.【小问1详解】因为，所以，因为，所以，当时，即时，，则在上单调递增；当，即时，，，令，得；令，得，则在上单调递减，在上单调递增；综上：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.【小问2详解】因为，所以，因为有两个极值点，所以有两个零点，即方程有两个根，令，则的图像与的图像有两个交点， 又，令，得；令，得；所以在上单调递增，在上单调递减，则，又当时，，则；当时，，则；当趋于无穷大时，的增长速率远远小于的增长速率，所以趋于，由此作出的图像如下：所以，则，又，则，故，因为，令，则，令，则，，令，则，令，则，所以在上单调递增，则，即，所以在上单调递增，则， 故当时，，，则，所以在上单调递增，又，则，即，所以，故，即，又，所以.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．