陕西省汉中市2023届高三数学（理）下学期第二次质量检测试题（Word版附答案）

汉中市2023届高三年级教学质量第二次检测考试数学（理科）（命题学校:西乡一中）本试卷共23小题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集为，集合，，则（）A.B.C.D.2.已知复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.若，且，则的值为（）A．B．C．D．4.蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时，“蚊香”的长度为（）A.B.C.D.5.设，则“”是“直线与直线平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知点在圆上，且，为圆上任意一点，则的最 小值（）A.0B.C.D.7.定义在上的函数满足以下三个条件：①对于任意的，都有；②函数的图象关于轴对称；③对于任意的，都有；则、、的大小关系是（）A.B.C.D.8.如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列叙述不正确的结论是（）A.直线平面B.三棱锥的体积为定值C.异面直线与所成角的取值范围是D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为9.已知函数满足下列两个条件：①函数是奇函数；②，且．若函数在上存在最小值，则实数的最小值为（）A．B．C．D．10.已知函数的定域为，图象恒过点，对任意，当时，都有，则不等式的解集为（  ）A．B．C．D．11.已知双曲线左，右焦点分别为，以为圆心，为半径的圆与该双曲线的两条渐近线在轴左侧交于两点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．C.D．12.设分别是函数和的零点（其中），则的取值范围是（  ）A．B．C．D． 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，，且与垂直，则______．14.在中，，，,在线段上，若与的面积之比为，则__________.15.已知的展开式中各项系数的和为，则该展开式中的常数项为________.16.已知为坐标原点，抛物线的方程为，直线与交于两点，若，则面积的最小值为________.三、解答题：共70分.解答题写出文字说明、证明过程和演算步骤.第17～21题是必考题，每个考生都必须作答.第22、23题是选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心.据此，某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况，调查数据表明，参与调查的人员中关注生态文明建设的约占80%.现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.（1）求这200人的平均年龄（每一组用该组区间的中点值作为代表）；（2）现在要从年龄在第1，2组的人员中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求抽取的3人中至少1人的年龄在第1组中的概率；（3）用频率估计概率，从所有参与生态文明建设关注调查的人员（假设人数很多，各人是否关注生态文明建设互不影响）中任意选出3人，设这3人中关注生态文明建设的人数为X，求随机变量X的分布列及期望.18.（本小题满分12分）如图，等腰梯形中，，，，E为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置（平面ABCD）．（1）求证：；（2）若把折起到当时，求二面角的余弦值． 19.（本小题满分12分）已知数列的前项和为，.从:①；②；③中选出一个能确定的条件，补充到横线处，并解答下面问题.（1）求数列的通项公式；（2）设数列，求数列的前项和.20.（本小题满分12分）已知过点的椭圆：的焦距为2，其中为椭圆的离心率．(1)求的标准方程；(2)设为坐标原点，直线与交于两点，以，为邻边作平行四边形，且点恰好在上，试问：平行四边形的面积是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是，说明理由．21.（本小题满分12分）已知函数的图象在点处的切线与直线平行．（1）求实数的值，并求函数的单调区间；（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．（二）选考题：共10分.考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；(2)设，直线与曲线交于两点，求.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设，（1）求的解集；（2）设的最小值为,若求的最小值. 汉中市2023届高三年级教学质量第二次检测考试理科数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.题号123456789101112答案BABDADDCCBAD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.14.115.-64016.16三、解答题：共70分.第17～21题是必考题，第22、23题是选考题，考生根据情况作答.（一）必考题：每小题12分，共60分.17.解：(1)由小矩形面积和等于1可得：，＝0.035平均年龄····2分(2)第1组总人数为200×0.01×10＝20，第2组总人数为200×0.015×10＝30故用分层抽样后，第1组抽取人，第2组抽取人再从这5人中抽取3人，设至少1人的年龄在第1组中的事件为A，其概率为·········6分(3)由题意可知X服从二项分布X～B（3，），，，.········10分∴X的分布列为：X0123P的数学期望········12分18.解：（1）连接，设的中点为， ∵，，······2分∴四边形为平行四边形，∴，∴，为等边三角形，∴，，折叠后，，又，∴平面，又平面，∴·······6分（2）若，即平面，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，∴，，设平面的一个法向量为，则，即，令得，······8分又平面，∴为平面的一个法向量，·······10分设平面与平面夹角为，则，由图观察知，二面角是钝角，二面角的余弦值为．··········12分19.选①作条件因为，数列奇数项确定，但未知，故数列偶数项不确定，因此数列不确定，不能选①选②作条件，，故，则当········2分，所以········4分又因为对任意正整数，，所以是以1位首项，2为公差的等差数列， ·······6分选③作条件所以是以1位首项，2为公差的等差数列，········3分又因为，所以·······6分（2）由（1）知，等差数列的通项公式，于是，·····8分所以·······12分20.解：（1）设椭圆的焦距为，则，由题意可得解得故的标准方程为········4分（2）平行四边形的面积为定值，理由如下：由（1）可得：，则有：当直线的斜率不存在时，设，若为平行四边形，则点为长轴顶点，不妨设，可得解得故平行四边形的面积；·······6分当直线的斜率存在时，设，联立方程消去y得········7分则可得∵， 若为平行四边形，则点在椭圆上，则整理可得，满足，则，可得·······10分点到直线的距离····11分故平行四边形的面积综上所述：平行四边形的面积为定值.·······12分21.解：函数的定义域为，，因为函数的图象在点处的切线与直线平行，所以，故，解得，·······2分所以，所以．当时，，又，则，故，所以在上单调递减．······3分设，则，当时，，，是增函数，即在上单调递增，所以，因此在上单调递增，所以的单调递增区间是，单调递减区间是．·······6分(2)不等式可化为，设，由已知可得在上恒成立，满足题意．·······7分因为，令，则，令，则，所以即在上是增函数，，当时，，·······8分函数即在上单调递增，所以，在上单调递增， 所以恒成立，原不等式恒成立；······9分当时，则，又，所以存在，使得，时，，即在上单调递减，时，，即在上单调递增，······10分又，所以时，，从而在上单调递减，于是当时，，不合题意．综上，实数a的取值范围是．······12分（二）选考题：共10分.考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.解：直线的参数方程为(为参数)，消去得，直线的普通方程为；······2分由得，，将代入得，曲线的直角坐标方程为.·····5分（2）将直线的参数方程代入曲线，······6分整理得，，······7分记两点对应的参数分别为，则，······8分故，故.······10分23.解：（1）（1）由题知,······4分原不等式的解集······5 分（2）由，所以，即·······6分所以的最小值为3，此时······10分