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浙江省金华十校2021-2022学年高三数学下学期4月模拟考试试题(Word版附解析)

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2022年4月金华十校高三联考数学试题一、选择题1.已知集合,若,则实数的取值范围是()A.B.C.D.或【答案】C【解析】【分析】利用交集的定义即得.【详解】∵集合,,∴.故选:C.2.已知复数,其中是虚数单位,,下列选项中正确的是()A.若是纯虚数,则这个纯虚数为B.若为实数,则C.若在复平面内对应的点在第一象限,则D.当时,【答案】D【解析】【分析】根据复数的乘法运算得,再由复数的基本概念逐一判断可得选项.【详解】解:,对于A:当是纯虚数时,则且,解得,此时这个纯虚数为,故A不正确;对于B:当为实数时,则,解得,故B不正确;对于C:当在复平面内对应的点在第一象限,则,解得,故C不正确;对于D:当时,,所以,故D正确,故选:D.3.我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”:今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几 何?其意为:一女子每天织布的尺数是前一天的2倍,5天共织布5尺,问第五天织布的尺数是多少?你的答案是()A.B.1C.D.【答案】D【解析】【分析】由题可知该女子每天织布的尺数成等比数列,根据等比数列通项公式和前n项和公式即可求解.【详解】根据题意可知该女子每天织布的尺数成等比数列,设该等比数列为,公比q=2,则第1天织布的尺数为,第5天织布的尺数为,前5天共织布为,则,∴.故选:D.4.直线平面,直线平面,则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用线面平行、线面垂直的性质结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】因为直线平面,直线平面,若,则、平行、相交或重合,即“”“”;若,则直线平面,设过直线的平面与平面相交,交线为,因为直线平面,直线平面,平面平面直线,所以,直线直线,因为直线平面,直线平面,所以,直线直线,故直线直线,即“”“”.因此,“”是“”的必要不充分条件.故选:B. 5.若二项式的展开式中含有常数项,则可以取()A.5B.6C.7D.8【答案】A【解析】【分析】由通项公式求出,得到,其中且,通过检验得到正确答案.【详解】的通项公式,其中且,要想展开式中含有常数项,则,即,当时,满足要求,经检验,其他选项均不合题意.故选:A6.已知满足不等式组,若中有最大值,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意,作出可行域,然后利用线性规划进行数形结合求解【详解】等价于,则可行域如图所示,令,,当时,过或点时,能够取得到最大值,而在之外时,无最大值,故选:A 7.已知函数,则图象为下图的函数可能是()A.B.C.D.【答案】C【解析】分析】A选项,利用当时,排除A选项,B选项,利用时,排除B选项,D选项,利用奇偶性排除D选项,C选项,满足图象要求.【详解】A选项,,其中当时,恒成立,故A选项错误;B选项,,当时,,不合要求,B错误;C选项,,当时,,当时,,当时,,且为非奇非偶函数,故符合要求.D选项,,定义域为R,且,故为奇函数,图象关 于原点对称,不合题意,D错误.故选:C8.三棱锥中,,若三角形和都是等腰直角三角形,则可能的不同取值有()A.1种B.2种C.3种D.至少4种【答案】C【解析】【分析】对三角形和三角形的各边位置关系进行分类讨论,求解出不同情况下的取值,进而得出所有可能取值的种数.【详解】根据题意可画简图如下,为等边三角形,且都是等腰直角三角形,分类讨论如下:时,,此时中,所以,此时,时,,此时中,,此时,此时;时,,此时中,,此时,此时 所以的取值有3种不同情况.故选:C.9.设,则有()A.存在成立B.任意恒成立C.任意恒成立D.存在成立【答案】B【解析】【分析】利用配方法可得,即得.【详解】∵又,∴恒成立,即恒成立,故ACD错误.故选:B.10.已知数列满足,则下列有可能成立的是()A.若为等比数列,则B.若为递增的等差数列,则C.若为等比数列,则D.若为递增的等差数列,则【答案】B 【解析】【分析】若为等比数列,可得,进而可得可判断AC;若为递增的等差数列,利用累乘法可得,再利用裂项相消法可得,利用累加法可得,进而可得,可判断BD.【详解】因为,∴,即,若为等比数列,则的公比为,∴,由,可得,∴,故AC错误;若为递增的等差数列,,公差,由则,∴,∴,即,∴,∴,又, ∴,又则,∴当时,不等式恒成立,故,故B正确,D错误故选:B.二、填空题11.直线的斜率为________,直线,若,则________.【答案】①.②.【解析】【分析】把直线方程化为斜截式即得,利用直线垂直的关系即得.【详解】由题可得,故直线的斜率为;由可得,,解得.故答案为:;.12.香囊,又名香袋、花囊,是我国古代常见的一种民间刺绣工艺品,香囊形状多样,如图1所示的六面体就是其中一种,已知该六面体的所有棱长均为2,其平面展开图如图2所示.则图2中两线段与,在图1的六面体中实际所成的角为________,若该六面体的正视图由一菱形与其两条对角线组成(如图3所示),则这个菱形的面积为________. 【答案】①.##②.##【解析】【详解】根据题意,六面体为两个正四面体的叠加,如图与,是对棱,由对称性知与垂直,故六面体中实际所成的角,由六面体的正视图为菱形,可得正视图对应长度为:则的正投影为中点,作平面于,为中心,的俯视图在点,由棱长为得,所以,所以菱形的面积为. 故答案为:,.13.口袋中有个黑球、个白球,个红球,从中任取个球,每取到一个黑球记分,每取到一个白球记分,每取到一个红球记分,用表示得分数,则________,________.【答案】①.②.【解析】【分析】“”表示取出的球为“黑红”或“白”,利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得的值;写出随机变量的分布列,可求得的值.【详解】解:“”表示取出的球为“黑红”或“白”,所以,;由题意可知,随机变量的可能取值有、、、、,则,,,,.所以,随机变量的分布列如下表所示:因此,.故答案为:.14.已知函数,则函数的最大值为________,若函数在上为增函数,则的取值范围为________.【答案】①.②. 【解析】【分析】①根据正弦函数值域即可求f(x)最大值;②根据区间为单调区间求出ω的最大值;求出f(x)的增区间为A,则根据即可求出ω关于整数k的范围,令k为具体的整数即可求出ω的具体范围.【详解】①当sin=1时,f(x)取最大值3;②函数在上为增函数,根据正弦函数的性质可知,区间的长度最长为该正弦型函数最小正周期的一半,即.令,则,k∈Z;则,k∈Z;∵,∴时,;时,;时,∵,故不符题意;综上,ω∈.故答案为:3;.15.年北京冬奥会大约招募了万名志愿者.名金华籍志愿者被安排在运动场馆,每名志愿者只能去一个场馆,若可供安排个场馆中至少有个要安排他们,则不同的安排种数有________.【答案】 【解析】【分析】对所需场馆的数量进行分类讨论,按照先分组再分配的方法,结合分类加法与分步乘法计数原理可求得结果.【详解】若有个场馆需要安排,将名志愿者分为三组,每组人数分别为、、或、、,此时共有种安排方法;若有个场馆需要安排,将名志愿者分为四组,每组人数分别为、、、,此时共有种安排方法;若有个场馆需要安排,则每个场馆只安排人,此时共有种安排方法.综上所述,共有种安排方法.故答案为:.16.过双曲线的左焦点的直线,在第一象限交双曲线的渐近线于点,与圆相切于点.若,则离心率的值为________.【答案】【解析】【分析】设双曲线的右焦点为,设,,则,则由题意可得,,从而可求得,所以,从而可得,进而可求出离心率【详解】设双曲线的右焦点为,在中,是的一个外角,设,,则,因为直线与圆相切于点,所以,在中,,所以,因为,所以, 所以在直角中,,在直角中,,因为,所以,因为为直线的倾斜角,直线为双曲线的渐近线,所以,所以,所以,所以,所以离心率为,故答案为:17.已知向量,若对于满足的任意向量,都存在,使得恒成立,则向量的模的最大值为________.【答案】##【解析】【分析】设出向量,根据题干条件得到关于的不等式问题,由根的判别式得到不等关系,求出,从而求出的模的最大值.【详解】设,,满足, 即满足①,都存在,使得恒成立,即存在,使得②,由①②可知:存在,使得成立即,即,化简得:③,即③式恒成立,则必须满足,解得:,即,所以的最大值为.故答案为:【点睛】有关于向量模长的取值问题或最值问题,坐标化处理是一种重要方法和思路,结合题目特征,合理设出向量,利用向量的坐标运算公式,二次函数根的分布或基本不等式,导函数等进行求解.三、解答题18.已知函数.(1)求函数的周期及对称轴:(2)在锐角中,分别是角的对边.若,求的面积.【答案】(1)周期为,对称轴为,.(2)【解析】【分析】(1)通过三角恒等变换,化为,然后求解 (2)由(1)得,,解出,余弦定理可得,再化简求解得到,最后即可计算面积【小问1详解】(1),,∴.由得:,故函数的对称轴为,.【小问2详解】(2),得,∵,∴,∴,,.由余弦定理可得.所以,∴或.当时,,舍去.当时,满足,所以.19.已知四棱锥,底面是梯形,,,侧面底面,为的中点,,,,.(1)求证:平面; (2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)利用余弦定理结合勾股定理可得出,利用线面垂直的判定可证得平面,结合可证得结论成立;(2)证明出平面,设,以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】证明:不妨设,则,.在中,,所以,,即,,则,,平面,,平面.【小问2详解】解:因为平面平面,平面平面,,平面,平面,又因为,以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系,设,则、、、、, 设平面的法向量为,,,则,取,可得,,所以,,因此,直线与平面所成角的正弦值为.20.已知数列单调递增且,前项和满足,数列满足,且,.(1)求数列、的通项公式;(2)若,求证:.【答案】(1),(2)证明见解析【解析】【分析】(1)由结合可求得的值,令,由题意推导出数列是等差数列,确定该数列的首项和公差,可求得数列的通项公式,分析可知数列为等比数列,确定的该数列的公比,结合的值可求得数列的通项公式;(2)由时,,由时,利用放缩法可得出,再利用等比数列的求和公式可证得结论成立.【小问1详解】解:当时,,所以或,因为,故;当时,,即,因为是单调递增的数列,所以,,则,即, 所以,是等差数列,公差为,首项是,所以,.由得,,所以是等比数列,,,则数列的公比为,所以,.【小问2详解】解:当时,,当时,.所以,.综上可知,对任意的,成立.21.已知抛物线的焦点为为上异于原点的任意一点,过作直线的垂线,垂足为为轴上点.且四边形为平行四边形.直线与抛物线的另一个交点分别为(1)求抛物线的方程;(2)求三角形面积最小值.【答案】(1) (2)16【解析】【分析】(1)由平行四边形对边相等和,求出得到,由抛物线定义可知:是抛物线准线,从而求出抛物线方程;(2)设出直线AD方程,与抛物线联立后得点D的坐标,从而求出AD的长,利用点到直线距离求出点E到直线AD的距离,表达出三角形ADE的面积,利用基本不等式求出最小值.【小问1详解】∵四边形为平行列边形,∴,因为.∴,因为点F是抛物线焦点,由抛物线定义可知:为抛物线的准线.即抛物线C的方程为.【小问2详解】设,,设的方程为.代入得:,∴∴,,∴,又∵,∴,∴.由题意可得,设AE为,联立抛物线方程得:.∴,, 则点E到直线AD的距离为.∴,当且仅当,即时等号成立.即当时,三角形面积的最小值为16.【点睛】对于求解圆锥曲线中的面积问题,要想用变量表达出三角形或者四边形的面积,结合换元法,基本不等式,二次函数或者导函数求出最值.22.已知函数,.(1)求函数在处的切线方程;(2)(i)若函数在为递减函数,求的值;(ii)在(i)成立的条件下,若且,求的最大值.【答案】(1)(2)(i)(ii)【解析】【分析】(1)根据题意求出斜率,求解计算即可;(2)(i)设,讨论单调性求解即可;(ii)根据条件得,分和两种情况构造函数求解即可.【小问1详解】因为,所以.函数在处即过点的切线方程:, 故所求的切线方程为:.【小问2详解】(i)设,则,,当时,,在为增函数.当时,,在为增函数与在为减函数矛盾;当时,时,在增函数,时,,在减函数,,因为在为减函数,所以成立.记,则,因为时,,时,,所以,又,所以.(ii)由(i)成立的条件,即,则.因为,(不妨设).所以又在为减函数,而,所以只有和两种情况.当时,,所以,当时,所以.,记 ,所以在为递增函数,又,在为递减函数,所以又时,,,因为,所以.【点睛】导数是研究函数单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系.(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数.(3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.

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发布时间:2023-04-19 01:21:02 页数:22
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文章作者:随遇而安

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